范忠雄，馬少仙，王錦莉

（1.西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730030；2.陜西省榆林市第十一中學(xué)，陜西 榆林 719200）

1 問題提出

數(shù)感（Number Sense）是數(shù)學(xué)新課程標準中特別強調(diào)和重視的問題.《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準》）在總體目標中提出：“經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)符號和圖形描述現(xiàn)實世界的過程，建立初步的數(shù)感和符號感，發(fā)展抽象思維”.那么，什么是“數(shù)感”呢？美國國家數(shù)學(xué)教師委員會把它定義為：一種數(shù)的直覺.這種感知涉及5個方面：（1）數(shù)的意義；（2）數(shù)的關(guān)系；（3）數(shù)的相關(guān)量值；（4）數(shù)與量的有意義性；（5）與數(shù)的感知相關(guān).麥金托什等人說：“數(shù)感……體現(xiàn)的是應(yīng)用數(shù)字和量化方法作為交流、加工、解釋信息的傾向和能力.它使人們意識到數(shù)學(xué)是有某種規(guī)律的.”又說：“數(shù)感指的是一個人對數(shù)字和運算的一般理解力，以及靈活應(yīng)用這種理解力的傾向和能力，用這種方式可以做出明智的數(shù)學(xué)判斷，并開發(fā)出應(yīng)用數(shù)字和運算法則的有效策略.”（Mcintosh等，1992）[1]數(shù)感表現(xiàn)的最顯著的特點是對數(shù)的感知、感悟和反映[2～4]，而這種感知是一個民族歷史文化的沉淀.中國是一個多民族的國家，跨文化研究結(jié)果表明，不同民族學(xué)生數(shù)感存在顯著的地區(qū)差異[5].甘肅也是一個多民族的省份，全省現(xiàn)有54個少數(shù)民族，有天祝、肅南、肅北、阿克塞、東鄉(xiāng)、積石山、張家川7個民族自治縣.各個少數(shù)民族的居住環(huán)境也有很大的差異，大多居住在高寒山區(qū)和草原上.藏族、裕固族、蒙古族、哈薩克族以畜牧業(yè)為主，兼營林業(yè)和其它副業(yè).研究少數(shù)民族地區(qū)的小學(xué)生數(shù)感的差異性，對改進少數(shù)民族地區(qū)數(shù)學(xué)教育，發(fā)展民族地區(qū)學(xué)生的數(shù)感具有現(xiàn)實意義.

2 研究方法

2.1 測試對象及其特征

在甘肅省酒泉地區(qū)選取肅北縣蒙古族學(xué)校（該學(xué)校是十二年一貫制學(xué)校）、肅北縣城小學(xué)、阿克塞縣小學(xué)等3所學(xué)校共77名六年級學(xué)生，對他們進行數(shù)感測試，其中肅北蒙古族學(xué)校11名學(xué)生，肅北縣城小學(xué)36名學(xué)生，阿克塞縣小學(xué)30名學(xué)生（有一部分是漢族或其他如維吾爾族等少數(shù)民族）.發(fā)出問卷77份，收回有效問卷76份.肅北蒙古族學(xué)校采用蒙語授課，肅北縣城小學(xué)采用漢語授課，阿克塞縣小學(xué)采用漢語授課.所選取的3所學(xué)校都具有多語言、多文化的特點，肅北蒙古族自治縣以漢語、蒙古語為主要交流語言；阿克塞哈薩克族自治縣以漢語、哈薩克語為主要交流語言，少數(shù)人使用維吾爾語.由于這3所學(xué)校屬蒙古族自治縣和哈薩克族自治縣，地處甘肅、青海、新疆3?。▍^(qū)）交界處，是甘肅西北部高山草原與戈壁沙漠的交匯地，兩縣相距60多公里，轄地人口稀少，在校學(xué)生也就少，因此樣本量很小.

2.2 測試方法與數(shù)據(jù)處理

采用湯服成教授的數(shù)感測試題[5]，測試在教師的統(tǒng)一管理下進行，測試時間為60分鐘，要求學(xué)生不能采用任何其他工具，獨立作答.根據(jù)學(xué)生回答的接近程度分別賦予5、4、3、2、1分.評分時重在學(xué)生對數(shù)字的感知程度，而不關(guān)注操作的熟練程度和結(jié)果.用SPSS 16.0軟件對測試結(jié)果進行統(tǒng)計，作方差和標準差分析，得出比較結(jié)果.

3 結(jié)果分析

3.1 學(xué)生數(shù)感的差異分析

阿克塞小學(xué)六年級學(xué)生（哈薩克族）和肅北縣蒙古族學(xué)校、肅北縣城小學(xué)（蒙古族）數(shù)感比較分析數(shù)據(jù)見表1和表2.從表現(xiàn)數(shù)感的6個維度進行統(tǒng)計：W1表示理解數(shù)字的意義和大小，W2表示理解并使用與數(shù)字相等的量，W3表示知道運算的意義和作用，W4表示理解并使用相當(dāng)?shù)谋磉_，W5表示在心算、筆算和計算器使用中靈活的運用計算策略，W6表示度量的基準.

表1 蒙古族學(xué)生數(shù)感統(tǒng)計

表2 哈薩克族學(xué)生數(shù)感統(tǒng)計

表1、表2中數(shù)據(jù)表明，同一地區(qū)、同一年級哈薩克族和蒙古族學(xué)生數(shù)感不存在顯著差異，但學(xué)生數(shù)感的總體水平處于中下等且發(fā)展不平衡.因此，加強民族地區(qū)學(xué)生數(shù)感教學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)感能力是必要的.

3.2 數(shù)感能力的性別差異及其分析

哈薩克族和蒙古族學(xué)生數(shù)感能力的性別差異分析如表3所示.

表3 哈薩克族和蒙古族學(xué)生數(shù)感能力的性別差異分析

由表3中數(shù)據(jù)可以看出，哈薩克族和蒙古族學(xué)生數(shù)感能力在性別上沒有顯著差異.

3.3 數(shù)感能力發(fā)展的影響因素分析

3.3.1 影響哈薩克族學(xué)生數(shù)感發(fā)展的因素

（1）哈薩克語.語言在數(shù)感形成中起著重要的因素，哈薩克族有自己的語言——哈薩克語，在教學(xué)中使用的語言是漢語，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷處于語言轉(zhuǎn)化中，普通話—哈薩克語—普通話，所以由于語言障礙，哈薩克族學(xué)生理解數(shù)字的運算和意義是不同步的.

（2）哈薩克族的歷史.1949年以前，哈薩克族還處于宗法封建社會制度階段.哈薩克族絕大多數(shù)人過著逐水草而居的游牧生活.新中國成立以來的今天，依然狹小封閉的生活環(huán)境中小孩見識少，對有些問題理解的不夠清楚，距離感和長度感較差.在回答“估算學(xué)校離家有多遠？”時，回答“我家離學(xué)校125米，我來學(xué)校要走5分鐘，一分鐘走25步，用25乘以5”，可見哈薩克族學(xué)生對距離的概念較差.

（3）哈薩克族民族心理.哈薩克族學(xué)生在課堂上不主動積極回答問題，憑自己的感覺理解數(shù)字.從回答問題的語句中可以看到對數(shù)字間的關(guān)系缺少敏感性.

3.3.2 影響蒙古族學(xué)生數(shù)感發(fā)展的因素

（1）蒙古族的生活環(huán)境.蒙古族學(xué)生生活環(huán)境閉塞，對距離的觀念較差.從數(shù)據(jù)分析可以看出蒙古族學(xué)生在度量的基準的維度上與哈薩克族學(xué)生表現(xiàn)出顯著差異.因而在回答“估算學(xué)校離家有多遠？”時，“我家離學(xué)校1千米，因為我每天走5趟”.學(xué)生的數(shù)感水平與他們的生活經(jīng)驗有關(guān)，很多學(xué)生憑經(jīng)驗做題并沒有很好地領(lǐng)會題目的真正含義.封閉的教學(xué)內(nèi)容和機械的解題訓(xùn)練與思維定勢制約了學(xué)生數(shù)感的發(fā)展.

（2）蒙古族的性格特點.蒙古族有開放的心理和包容的性格，蒙古族文化首先是牧民文化，本質(zhì)就是開放的.蒙古族學(xué)生在學(xué)校里與老師的頻繁交流獲得對數(shù)字意義和大小的理解.因而在一些維度上數(shù)學(xué)感知能力較好.

3.3.3 比較分析

從表1和表2中可以看出，哈薩克族、蒙古族學(xué)生數(shù)感能力在各個維度表現(xiàn)出較好的一致性，在性別上沒有表現(xiàn)出顯著差異.研究表明：同一地區(qū)、同一年級哈薩克族和蒙古族學(xué)生的數(shù)感能力在統(tǒng)計意義上沒有顯著差異.但各民族總體水平偏低，因此加強民族地區(qū)學(xué)生的數(shù)感教學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)感能力，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有很大的促進作用.

4 對教學(xué)的思考與建議

4.1 注重在教學(xué)過程中體現(xiàn)數(shù)感

學(xué)生數(shù)感的建立不是一蹴而就的，是在學(xué)習(xí)過程中逐步體驗和建立起來的.教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)結(jié)合有關(guān)內(nèi)容，加強對學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，把數(shù)感的培養(yǎng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)過程之中.《標準》中強調(diào)，“要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己身邊具體、有趣的事物，通過觀察、操作、解決問題等豐富的活動，感受數(shù)的意義，體會數(shù)用來表示和交流的作用，初步建立數(shù)感”（第一學(xué)段）.在認識數(shù)的過程中，讓學(xué)生說一說自己身邊的數(shù)，生活中用到的數(shù)，如何用數(shù)表示周圍的事物等，會使學(xué)生感到數(shù)學(xué)就在自己身邊，運用數(shù)可以簡單明了地表示許多現(xiàn)象.如讓學(xué)生說一說自己家的門牌號，家里（人）的電話號碼；估計一頁書有多少字，一本故事書有多少字等.對這些具體數(shù)量的感知與體驗，是學(xué)生建立數(shù)感的基礎(chǔ)，這對學(xué)生理解數(shù)的意義會有很大的幫助.借助于圖形有利于培養(yǎng)高認知水平的理解，如教學(xué)(a+b)′(c+d)時可用矩形面積的計算來直觀解釋[6].（如圖1，由此，也可以用圖形來解釋說明兩位數(shù)乘兩位數(shù)）

圖1 用矩形面積的計算來教學(xué)(a+b)(c+d)

分數(shù)的意義和分數(shù)的乘法運算都可以用圖來解釋[1]（如圖2所示）.

圖2 分數(shù)乘法的圖形編碼

數(shù)字72，它即表示36的2倍，也可理解為70+2或80-8，也是4個18或18個4，又可理解為兩個30與兩個6的和；8×1/4可以理解為8個1/4，也是8÷4等.

4.2 在教學(xué)中要加強實踐操作從而內(nèi)化數(shù)感

小學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時基本上要借助于直觀手段和實際操作活動，這是由學(xué)生的年齡特征和認知水平所決定的.通過操作活動，能夠促使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識，從而建立數(shù)感，發(fā)展數(shù)感.例如，“一個學(xué)校有500人，如果所有的學(xué)生都在學(xué)校吃午飯，每次都用一次性筷子，估計一下一年要用多少雙這樣的筷子？大約需要多少棵普通的樹？”[7]可以讓學(xué)生收集10雙這樣的筷子，然后根據(jù)它的多少作為單位去估算.對這個問題的理解就是一個“數(shù)學(xué)化”的過程，學(xué)生在這個過程中逐步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)地理解和認識事物.

教學(xué)兩位數(shù)乘法可用“矩形法”、“格子乘法”[1]來內(nèi)化各位上數(shù)字相乘的意義.用矩形紙板來拼出(a+b)′(a-b)以及(a+b)′(c+d)的意義，等等.

4.3 加強學(xué)生估算能力的培養(yǎng)從而發(fā)展數(shù)感

加強估算是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的有效途徑之一.教師在教學(xué)中要善于抓住各種有利時機，創(chuàng)造性地開發(fā)教學(xué)資源，以學(xué)生熟悉的、感興趣的生活內(nèi)容為題材，從中體會估算的價值，增強估算意識，使學(xué)生在不斷地估算學(xué)習(xí)中發(fā)展數(shù)感.比如：1 200步大約有多長，1把豌豆大約有多少粒，1萬粒青稞大約有多重，100平方米的羊圈內(nèi)大約有多少只羊，估計1 200張紙大約有多厚，說出班級人數(shù)的四分之一是多少，一個足球場大約有幾個籃球場大，你家的具體位置在哪里（用方位說出可以增強方位感和空間觀念以及坐標觀念），你家離學(xué)校有多遠（用米或千米說出，可以增強距離感），你家的房子面積有多大等.

5 結(jié) 束 語

培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)的感知能力是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)至關(guān)重要的教學(xué)內(nèi)容，尤其對于小學(xué)生來講，更是重中之重.而對于邊遠少數(shù)民族地區(qū)的學(xué)生來說，要培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)感，就必須創(chuàng)造性地開發(fā)適合學(xué)生的教學(xué)材料來提高認知能力.“我們確實需要發(fā)展學(xué)生對于客觀事物和現(xiàn)象數(shù)量方面的敏感性，包括對數(shù)的相對大小做出迅速的判斷，也需要發(fā)展學(xué)生的估算能力.但是，在以下一些方面我們則應(yīng)做出新的不同要求：隨著學(xué)生年齡的增大，我們應(yīng)要求他們對客觀事物和現(xiàn)象的數(shù)量方面做出準確的刻畫，能準確而迅速地進行計算，并對運算的合理性做出說明.”對教師而言，需要具有一定的知識能力，也需要具備深層次的數(shù)感，才能夠駕馭教材，才能夠充分了解教學(xué)對象中的每一個個體.教師的數(shù)感正如徐文彬在文[1]后記中所言：“‘?dāng)?shù)感’是一個很廣泛的概念，它既指個人在學(xué)習(xí)過程中對數(shù)字、數(shù)字系統(tǒng)和運算等所形成的有意義的觀念，也指個人根據(jù)多年來的有關(guān)數(shù)字與運算的經(jīng)驗所發(fā)展出的一整套認知結(jié)構(gòu)或圖式.”

致謝：本文在全國數(shù)學(xué)教育研究會第十四次年會暨2012年國際學(xué)術(shù)會議第4分組報告的基礎(chǔ)上修改而成，在分組報告時孔凡哲教授提出了好的建議，并在年會論文評選中榮獲二等獎；在調(diào)研過程中得到了甘肅省教育廳民教處及甘肅省教育科學(xué)研究所的大力支持.在此一并表示感謝.

[1]朱莉亞·安吉萊瑞.如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感[M].徐文彬譯.北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

[2]史寧中，呂世虎.對數(shù)感及其教學(xué)的思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006，15（2）：9-11.

[3]徐文彬，喻平.“數(shù)感”及其形成與發(fā)展[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2007，16（2）：8-11.

[4]郭民，史寧中.小學(xué)生數(shù)感發(fā)展規(guī)律與特征的實證研究及其啟示[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（1）：23-25.

[5]湯服成，廖克順，葉蓓蓓.廣西巴馬縣壯、瑤族學(xué)生數(shù)感的比較分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006，15（3）：46-49.

[6]吳躍忠，葛鴛鴦，莫雷.不同認知水平的解答編碼對數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)的影響[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（3）：30-33.

[7]劉兼，孫曉天.數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2002.