劉志剛，張友萍，吳正鵬

(中國(guó)傳媒大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，北京100080)

基于單調(diào)函數(shù)的新強(qiáng)化緩沖算子及其性質(zhì)研究

劉志剛，張友萍，吳正鵬

(中國(guó)傳媒大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，北京100080)

在灰色系統(tǒng)緩沖算子公理體系下，本文利用反函數(shù)定理，構(gòu)造了4類(lèi)新強(qiáng)化緩沖算子，并將其與關(guān)氏強(qiáng)化緩沖算子進(jìn)行比較，論證了關(guān)氏強(qiáng)化緩沖算子為新算子的特例，研究了其特性及各種強(qiáng)化緩沖算子之間的內(nèi)在關(guān)系，從而大大地拓廣了強(qiáng)化緩沖算子的應(yīng)用范圍.對(duì)序列前一部分增長(zhǎng)(衰減)速度過(guò)快，而后一部分增長(zhǎng)(衰減)速度過(guò)慢的沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)數(shù)據(jù)序列在建模預(yù)測(cè)過(guò)程中常常出現(xiàn)的定量預(yù)測(cè)結(jié)果與定性分析結(jié)論不符的問(wèn)題，提供了多種解決方案，首次將緩沖算子的構(gòu)造與函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，從而為緩沖算子的構(gòu)造開(kāi)辟了新方向.

強(qiáng)化緩沖算子；灰色系統(tǒng)

1 引言

灰色系統(tǒng)的特色是研究“小樣本”與“貧信息”等不確定性問(wèn)題。因此充分開(kāi)發(fā)利用已占有的信息來(lái)挖掘系統(tǒng)本身固有的規(guī)律是灰色系統(tǒng)理論的基本準(zhǔn)則。我們可以通過(guò)社會(huì)，經(jīng)濟(jì)，生態(tài)等系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)來(lái)尋求因素之間或自身的變化規(guī)律?；疑到y(tǒng)理論認(rèn)為：盡管客觀系統(tǒng)的表象復(fù)雜，數(shù)據(jù)離亂，但它們總有自身的整體功能，必然蘊(yùn)藏某種內(nèi)在的規(guī)律，關(guān)鍵是如何選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)挖掘和利用它。在文獻(xiàn)[1，4，5，7]中，劉思峰等教授提出了沖擊擾動(dòng)緩沖算子的概念，并構(gòu)造出一種得到較廣泛應(yīng)用的強(qiáng)化緩沖算子，本文在他們的工作的基礎(chǔ)上，又構(gòu)造出4類(lèi)新強(qiáng)化緩沖算子。從而推廣了緩沖算子的類(lèi)型。

2 基本概念

定義2.1[3]設(shè)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，如

(1)?k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)>0，則稱(chēng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列。

(2)?k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)<0，則稱(chēng)X為單調(diào)衰減序列。

(3)若有k1，k2∈{2，3，…，n}，有x(k1)-x(k1-1)>0，x(k2)-x(k2-1)<0，則稱(chēng)X為振蕩序列。其中

M=max1≤k≤nx(k)，m=min1≤k≤nx(k)，稱(chēng)M-m為振蕩序列X的振幅。

定義2.2[3]設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為作用于X的算子，X經(jīng)算子D作用后所得到序列記為XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，則稱(chēng)D為序列算子。

對(duì)序列連續(xù)作用，可得二階算子，一直可以作用到r階算子，分別記為XD2，…，XDr。

公理2.1[3](不動(dòng)點(diǎn)公理)設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，則有x(n)d=x(n)。

公理2.2[3](信息充分利用公理) 系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序X列中的每一個(gè)數(shù)據(jù)x(k)(k=1，2，…，n)，都應(yīng)充分地參與算子作用的整個(gè)過(guò)程。

公理2.3[3](解析化與規(guī)范化公理) 任意的x(k)d(k=1，2，…，n)皆可以由一個(gè)統(tǒng)一的x(1)，x(2)，…，x(n)的初等表達(dá)式表達(dá)。

滿(mǎn)足上述三公理的序列算子稱(chēng)為緩沖算子。XD稱(chēng)為緩沖序列。

定義2.3[3]設(shè)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，當(dāng)X當(dāng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列，緩沖序列XD比行為數(shù)據(jù)序列X的增長(zhǎng)速度(或衰減速度)增強(qiáng)或振幅增大，則稱(chēng)緩沖算子D為強(qiáng)化算子。

定理1[3]

(1)設(shè)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列，XD為緩沖序列，則D為強(qiáng)化緩沖算子?x(k)≤x(k)d(k=1，2，…，n)(2)設(shè)X為單調(diào)衰減序列，XD為緩沖序列，則D為強(qiáng)化緩沖算子?x(k)≥x(k)d(k=1，2，…，n)

(3)設(shè)X為振蕩序列，XD為緩沖序列，D為強(qiáng)化緩沖算子，則

max1≤k≤nx(k)≤max1≤k≤n(x(k)d)，

min1≤k≤nx(k)≥min1≤k≤n(x(k)d)，

由定理2.1可知，單調(diào)增長(zhǎng)序列在強(qiáng)化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)萎縮;單調(diào)衰減序列在弱化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)膨脹。

3 強(qiáng)化緩沖算子的構(gòu)造

劉思峰，黨耀國(guó)，關(guān)葉青等學(xué)者在其文獻(xiàn)[4-7]中構(gòu)造了下列強(qiáng)化緩沖算子，設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，令XDi=(x(1)di，…，x(n)di)，i=1，2，3，4

(1)

(2)

(3)

(4)

(k=1，2，…，n)，

則當(dāng)為單調(diào)增長(zhǎng)序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，D1，D2，D3，D4皆為強(qiáng)化緩沖算子。

定理2設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，x(i)>0，則有

x(k)d1≤x(k)d2≤x(k)d3≤x(k)d4

當(dāng)且僅當(dāng)x(1)=x(2)=…=x(n)時(shí)，所有等號(hào)成立。

證明：見(jiàn)文獻(xiàn)[7]。

在此，我們?cè)趶?qiáng)化緩沖算子D1，D2，D3，D4基礎(chǔ)上，利用單調(diào)函數(shù)理論，構(gòu)建新強(qiáng)化緩沖算子。

(5)

令XE1=(x(1)e1，…x(n)e1)

則當(dāng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，E1為強(qiáng)化緩沖算子。

即E1滿(mǎn)足緩沖算子公理一。

至于緩沖算子公理二，公理三顯然成立，因而E1為緩沖算子。

因?yàn)閒為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，

下證當(dāng)：

(1)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列時(shí)，因?yàn)?

所以E1為強(qiáng)化緩沖算子。

(2)X為單調(diào)衰減序列時(shí)，因?yàn)閤(k)≥…≥x(n)>0，，得f2(x(k))≥…≥f2(x(n))>0，

所以E1為強(qiáng)化緩沖算子。

(3)當(dāng)X為振蕩序列時(shí)，令

x(k)=max1≤i≤nx(i)，x(h)=min1≤i≤nx(i)，

x(k)≥x(k)，…，x(n);x(h)≤x(h)，…，x(n)，

f2(x(k))≥f2(x(k))，…，f2(x(n))>0，

0

max1≤i≤nx(i)≤max1≤i≤nx(i)e1，

min1≤i≤nx(i)≥min1≤i≤nx(i)e1

故E1為強(qiáng)化緩沖算子。

定理4設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(i)>0，f>0，f為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，g為其反函數(shù)。其中

(6)

令XE4=(x(1)e4，…x(n)e4)

則當(dāng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，E4為強(qiáng)化緩沖算子。

證明：容易驗(yàn)證

即E4滿(mǎn)足緩沖算子公理一。

至于緩沖算子公理二，公理三顯然成立，因而E4為緩沖算子。

因?yàn)閒為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，

下證當(dāng)：

(1)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列時(shí)，因?yàn)?

0

所以E4為強(qiáng)化緩沖算子。

(2)X為單調(diào)衰減序列時(shí)，因?yàn)?0，

所以E4為強(qiáng)化緩沖算子。

(3)當(dāng)X為振蕩序列時(shí)，令

x(k)=max1≤i≤nx(i)，x(h)=min1≤i≤nx(i)，

x(k)≥x(k)，…，x(n);x(h)≤x(h)，…，x(n)，

f(x(k))≥f(x(k))，…，f(x(n))>0，

0

max1≤i≤nx(i)≤max1≤i≤nx(i)e4，

min1≤i≤nx(i)≥min1≤i≤nx(i)e4

故E4為強(qiáng)化緩沖算子。

定理5設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(i)>0，f>0，f為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，g為其反函數(shù)。其中

(7)

令XE2=(x(1)e2，…x(n)e2)

則當(dāng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，E2為強(qiáng)化緩沖算子。

證明： 見(jiàn)文獻(xiàn)[8]。

定理6設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(i)>0，f>0，f為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，g為其反函數(shù)。其中

(8)

令XE3=(x(1)e3，…，x(n)e3)

則當(dāng)X為單調(diào)增長(zhǎng)序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，E3為強(qiáng)化緩沖算子。

證明： 見(jiàn)文獻(xiàn)[8]。

定理7X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，x(i)>0，f>0，f為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，g為其反函數(shù)。則有

x(k)e1≤x(k)e2≤x(k)e3≤x(k)e4

當(dāng)且僅當(dāng)x(1)=x(2)=…=x(n)時(shí)，所有等號(hào)成立。

證明：由定理2及g的嚴(yán)格單調(diào)遞增即得。

以上結(jié)果對(duì)權(quán)重向量w=(w1，…，wn)，wi>0一樣成立，推導(dǎo)過(guò)程類(lèi)似。

當(dāng)f(x)=g(x)=x時(shí)，強(qiáng)化緩沖算E1，E2，E3，E4分別就是強(qiáng)化緩沖算子D1，D2，D3，D4。即強(qiáng)化緩沖算子D1，D2，D3，D4為我們的特例。當(dāng)然由于只要求f為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，這樣的f太多了，隨手可得。

4 結(jié)語(yǔ)

在緩沖算子的構(gòu)造過(guò)程中，以前都是一個(gè)一個(gè)去構(gòu)造。而我們是首次將緩沖算子的構(gòu)造與函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，一次構(gòu)造一大類(lèi)緩沖算子，為解決擾動(dòng)數(shù)據(jù)序列的建模提供了多種選擇，并開(kāi)辟了如何利用函數(shù)來(lái)構(gòu)造緩沖算子的新方向，進(jìn)一步研究正在進(jìn)行中。

[1]劉思峰.沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)預(yù)測(cè)陷阱與緩沖算子[J].華中理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1997，25(1)：25-27.

[2]Liu Sifeng.The three axioms of buffer operator and their application[J].The Journal of Grey System，1991，3(1)： 39-48.

[3]劉思峰，黨耀國(guó)，方志耕，灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用(第三版)[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[4]黨耀國(guó)，劉思峰，劉斌，唐學(xué)文，關(guān)于弱化緩沖算子的研究[J].中國(guó)管理科學(xué)，2004，12(2)：108-111.

[5]黨耀國(guó)，劉斌，關(guān)葉青，關(guān)于強(qiáng)化緩沖算子的研究[J].控制與決策，2005，20(12)：1332-1336.

[6]黨耀國(guó)，劉思峰，米傳民.強(qiáng)化緩沖算子性質(zhì)的研究[J].控制與決策，2007，22(7)：730-734.

[7]關(guān)葉青，劉思峰.基于不動(dòng)點(diǎn)的強(qiáng)化緩沖算子序列及其應(yīng)用[J].控制與決策，2007，22(10)：1189-1192.

[8]Wu Zhengpeng ，Liu Si-feng ，Mi Chuan-min.Study on the strengthening buffer operators based on the strictly monotone function[J].Journal of Grey System，2008，11(2)：113-118.

StudyontheStrengtheningBufferOperatorBasedontheStrictlyMonotoneFunction

LIU Zhi-gang，ZHANG You-ping，WU Zheng-peng

( College of Science，Communication University of China，Beijing 100024，China)

Based on the present theories of buffer operators，We propose in this paper several kinds of buffer operators based on the strictly monotone function，which all have the universality and practicability. we prove them to be strengthening buffer operators . The problem of some contradictions between qualitative analysis and quantiative forecast in pretreatment for vibration data sequences is resolved effectively.

strengthening buffer operator；grey system

2012-10-24

劉志剛(1989-)，男(漢族)，山東濰坊人，中國(guó)傳媒大學(xué)碩士.E-mail：liuzhigang@cuc.edu.cn

F830

A

1673-4793(2013)01-0052-05

(責(zé)任編輯：王謙)