楊凌宇 冷 寧 張 晶 申功璋

(北京航空航天大學(xué) 飛行器控制一體化技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100191)

飛機(jī)的結(jié)構(gòu)損傷會(huì)導(dǎo)致質(zhì)量、重心和氣動(dòng)特性發(fā)生突變，機(jī)體對(duì)稱(chēng)性遭到破壞，縱橫向間發(fā)生強(qiáng)烈的運(yùn)動(dòng)耦合，使整個(gè)系統(tǒng)變得更加難以控制，進(jìn)而威脅飛行安全.結(jié)構(gòu)損傷引起系統(tǒng)參數(shù)及結(jié)構(gòu)的不確定變化，要求控制策略做出相應(yīng)調(diào)整以滿足飛行安全需要.因此，自適應(yīng)控制已經(jīng)成為高安全性飛控系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要議題.

針對(duì)非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)受損飛機(jī)，文獻(xiàn)[1]對(duì)其氣動(dòng)特性變化做出了研究，利用擬合的方法得到了在一配平點(diǎn)附近的氣動(dòng)參數(shù).文獻(xiàn)[2－3]對(duì)非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)受損的情況推導(dǎo)了動(dòng)力學(xué)方程.綜合氣動(dòng)、動(dòng)力變化特性，可以得到對(duì)受損后的系統(tǒng)較為精確的描述.

由于模型參考自適應(yīng)控制(MRAC，Model Reference Adaptive Control)方案更具一般性且無(wú)需額外的損傷檢測(cè)模塊，眾多研究者對(duì)其在受損飛機(jī)重構(gòu)控制上的應(yīng)用產(chǎn)生了濃厚興趣[4－8].

基于高頻增益矩陣分解的多變量模型參考自適應(yīng)控制方法處理參數(shù)不確定變化的系統(tǒng)有很多優(yōu)勢(shì).文獻(xiàn)[4]針對(duì)多翼面損傷情況，設(shè)計(jì)了基于系統(tǒng)高頻增益矩陣LDS分解的MRAC控制器，設(shè)計(jì)的關(guān)鍵條件是受損前后系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)矩陣不變，且高頻增益矩陣的順序主子式符號(hào)不發(fā)生改變.文獻(xiàn)[5]研究了受損飛機(jī)非線性模型的線性化過(guò)程，并且設(shè)計(jì)了無(wú)需高頻增益矩陣順序主子式符號(hào)先驗(yàn)知識(shí)的MRAC控制器.文獻(xiàn)[8]針對(duì)文獻(xiàn)[4]中提到的關(guān)聯(lián)矩陣和高頻增益矩陣順序主子式符號(hào)是否會(huì)發(fā)生改變問(wèn)題進(jìn)行了初步研究，但是沒(méi)有結(jié)合受損飛機(jī)的物理特性對(duì)變化的合理性做出闡釋?zhuān)瑫r(shí)對(duì)于高頻增益矩陣順序主子式假設(shè)發(fā)生變號(hào)時(shí)參數(shù)變化程度沒(méi)有給出量化結(jié)果.針對(duì)這些問(wèn)題，本文推導(dǎo)了特定情況下高頻增益矩陣的詳細(xì)表達(dá)式，對(duì)假設(shè)發(fā)生變號(hào)時(shí)參數(shù)的變化程度給出了估算的量化結(jié)果，結(jié)合非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)損傷飛機(jī)模型闡述了其物理意義，并對(duì)結(jié)果的合理性做出了討論.

1 非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)受損飛機(jī)模型

1.1 非線性非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)受損飛機(jī)模型

由牛頓第二定律，可以得到帶重心偏移的飛機(jī)3軸力方程[3]:

式中，X，Y，Z為氣動(dòng)力在機(jī)體軸上的分量;u，v，w為飛機(jī)速度在機(jī)體軸分量;θ，φ為飛機(jī)的俯仰角和滾轉(zhuǎn)角;p，q，r為繞機(jī)體軸的姿態(tài)角速度;TL，TR分別為左右側(cè)發(fā)動(dòng)機(jī)推力;m為飛機(jī)質(zhì)量;Δx，Δy，Δz為受損后重心相對(duì)于原重心偏移量.當(dāng)機(jī)體發(fā)生不對(duì)稱(chēng)損傷時(shí)，m與氣動(dòng)力在機(jī)體軸上的分量X，Y，Z均會(huì)發(fā)生不確定變化，重心偏移量由零變?yōu)榉橇阒?

當(dāng)飛機(jī)模型正常時(shí)，重心處于機(jī)體軸x-z平面內(nèi)，所以轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iyz，Ixy為零.發(fā)生不對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)損傷時(shí)，重心不再處于x-z平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變?yōu)榉橇阒?受損后力矩方程組為

由式(1)以及式(2)可以得出結(jié)論，由于非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)損傷破壞了機(jī)體的對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，引起重心偏移以及附加轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，這將會(huì)帶來(lái)不確定的干擾加速度及干擾力矩，同時(shí)使縱橫向間發(fā)生耦合.動(dòng)力學(xué)過(guò)程變得更加復(fù)雜.

由φ，θ及偏航角ψ與繞機(jī)體軸角速度p，q，r之間的關(guān)系，可得運(yùn)動(dòng)方程組為

式(1)～式(3)可描述結(jié)構(gòu)損傷飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

1.2 非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)受損飛機(jī)模型線性化

在文獻(xiàn)[4]中，推導(dǎo)受非對(duì)稱(chēng)損傷影響的飛機(jī)六自由度動(dòng)力學(xué)方程與運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可表達(dá)為

式中，δe，δtl，δtr，δa，δr分別為升降舵、左側(cè)發(fā)動(dòng)機(jī)推力、右側(cè)發(fā)動(dòng)機(jī)推力、副翼和方向舵偏轉(zhuǎn)量.在模型正常時(shí)，Δx，Δy，Δz與Iyz，Ixy均為零，M矩陣的縱橫向可以分開(kāi);而發(fā)生損傷時(shí)，對(duì)應(yīng)量跳變?yōu)榉橇阒担v橫向間發(fā)生耦合.M由飛機(jī)質(zhì)量m、質(zhì)量變化量dm、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化量dI和重心偏移量Δx，Δy，Δz構(gòu)成，構(gòu)成量?jī)H和飛機(jī)的自身屬性相關(guān).當(dāng)損傷情況確定時(shí)，M隨之確定，與飛行姿態(tài)、狀態(tài)無(wú)關(guān).

將上述等式在配平點(diǎn)x0，U0展開(kāi)，忽略二階及二階以上項(xiàng)，并考慮控制舵面為升降舵、方向舵，輸出量為俯仰角和偏航角，有

式中

式中，下標(biāo)i表示不同程度的損傷情況，當(dāng)i=0時(shí)表示正常模型;fi為由于受損帶來(lái)的干擾，其中仍?xún)H與飛機(jī)的損傷情況有關(guān)，當(dāng)發(fā)生結(jié)構(gòu)損傷時(shí)，Ai，Bi將發(fā)生不確定變化.

2 MRAC控制器的設(shè)計(jì)

考慮形如式(6)的線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)控制律Δu的目標(biāo)是使輸出Δy跟蹤上指定的參考輸出:

定義控制器重要參數(shù)關(guān)聯(lián)矩陣ξm(s)和高頻增益矩陣KP，有

式中，ξm(s)選為穩(wěn)定可逆的三角矩陣，并保證KP是有限且非奇異的.

在控制器設(shè)計(jì)中，文獻(xiàn)[6]做出了相應(yīng)合理的假設(shè).由假設(shè)可以得出，對(duì)于每一組Gi(s)，都需要有共同的關(guān)聯(lián)矩陣ξm(s).而對(duì)于每一組高頻增益矩陣KPi，要求順序主子式的符號(hào)不發(fā)生改變且都是有限非奇異的.這兩個(gè)假設(shè)得到滿足是控制器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵條件.

2.1 高頻增益矩陣的LDS分解

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，令KP的順序主子式為Δi(i=1，2，…，m).對(duì)于KP，有不唯一的LDS分解:

式中，S為對(duì)稱(chēng)的正定矩陣;Ls為單位下三角矩陣，并且有

式中，γi＞0可以任意選取.

2.2 MRAC控制器結(jié)構(gòu)形式

設(shè)計(jì)的控制律有如下形式:

選擇自適應(yīng)律:

文獻(xiàn)[8]通過(guò)穩(wěn)定性分析證明，以上形式的控制律和自適應(yīng)律可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和漸進(jìn)輸出跟蹤特性.

3 關(guān)聯(lián)及高頻增益矩陣不變性證明

多變量模型參考自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵前提在于受損前后系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)矩陣不發(fā)生改變且高頻增益矩陣的順序主子式符號(hào)不發(fā)生改變.在這一節(jié)中，將結(jié)合非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)受損飛機(jī)的特性與實(shí)際情況來(lái)討論這兩個(gè)前提能否得到滿足.

文獻(xiàn)[9]提出了關(guān)聯(lián)矩陣與高頻增益矩陣的算法.針對(duì)式(6)的非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)受損飛機(jī)，由文獻(xiàn)[9]提出的算法，推導(dǎo)出系統(tǒng)高頻增益矩陣表達(dá)式:

關(guān)聯(lián)矩陣取

由于輸出固定為俯仰角和偏航角，所以C陣不變.按算法計(jì)算得到結(jié)果的物理含義為f3，f6對(duì)升降舵和方向舵的偏導(dǎo).舵面偏轉(zhuǎn)直接產(chǎn)生的是氣動(dòng)力與氣動(dòng)力矩，并不直接對(duì)姿態(tài)角構(gòu)成影響，所以CB為零矩陣[8].關(guān)聯(lián)矩陣相對(duì)階為2.這是由于被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)特性、選擇的輸入輸出所決定的，不隨損傷程度改變，且與飛行狀態(tài)無(wú)關(guān).ξm(s)中a的取值可根據(jù)飛行要求來(lái)選擇.

分析高頻增益矩陣順序主子式的符號(hào)情況.高頻增益矩陣每一項(xiàng)表達(dá)式均由6項(xiàng)構(gòu)成，分別由3部分參數(shù)構(gòu)成:M－1矩陣的第4行和第9行元素θ，φ姿態(tài)角和效率導(dǎo)數(shù).

分析一階順序主子式.計(jì)算可得

則KP(1，1)項(xiàng)主要由第4項(xiàng)決定大小與符號(hào)，即

式中

結(jié)構(gòu)損傷引起的質(zhì)量變化、重心偏移和非對(duì)稱(chēng)產(chǎn)生的附加轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都很小，將高階小量忽略，得到m44，m94的表達(dá)式.其中m44僅與飛機(jī)正常情況下的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)，對(duì)結(jié)構(gòu)損傷不敏感，受損前后基本不變.m94與損傷產(chǎn)生的附加轉(zhuǎn)動(dòng)慣量正比，量值與損傷程度正相關(guān).從推導(dǎo)出的表達(dá)式可以看出，M－1中元素對(duì)損傷敏感的原因?yàn)榕c損傷產(chǎn)生的附加量正比.在可重構(gòu)控制的損傷范圍內(nèi)，附加量非常小.

將推導(dǎo)出的m44，m94表達(dá)式代入式(14)，有

式中，對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量項(xiàng)K1，顯然所有元素均大于零，且不會(huì)發(fā)生變號(hào);對(duì)于姿態(tài)角項(xiàng)K2，在合理?yè)p傷范圍內(nèi)，平飛所需姿態(tài)角φ?90°，故其元素均大于零，且不會(huì)發(fā)生變號(hào);對(duì)于效率導(dǎo)數(shù)項(xiàng)K3，由于飛機(jī)的升降舵處于重心之后，且受損后重心向x軸正向偏移，不會(huì)出現(xiàn)重心偏移到升降舵后面的情況，所以升降舵正偏總會(huì)產(chǎn)生負(fù)向的俯仰力矩，即K3＜0，且不會(huì)發(fā)生變號(hào).綜上，高頻增益矩陣一階順序主子式不會(huì)發(fā)生變號(hào)的情況.

KP(2，2)的分析與KP(1，1)類(lèi)似.計(jì)算可知KP(2，2)同樣不會(huì)由于結(jié)構(gòu)損傷而發(fā)生變號(hào)的情況.

討論二階順序主子式的符號(hào).由于KP(1，1)與KP(2，2)不會(huì)發(fā)生變號(hào)情況，所以二階順序主子式若發(fā)生變號(hào)，KP(2，1)與KP(1，2)必須達(dá)到KP(1，1)與KP(2，2)相同的數(shù)量級(jí).以KP(2，1)為例來(lái)分析其可能性.

計(jì)算可得

即KP(2，1)的平均值遠(yuǎn)小于KP(1，1)的平均值.分析其原因，是由于KP(2，1)每項(xiàng)中都存在結(jié)構(gòu)損傷引起的附加項(xiàng)，而不像KP(1，1)中第4項(xiàng)，構(gòu)成元素都是對(duì)損傷不敏感項(xiàng).

一般損傷情況下，附加耦合項(xiàng)必然遠(yuǎn)小于直接控制項(xiàng).若假設(shè)KP(2，1)能夠達(dá)到與KP(1，1)相同的數(shù)量級(jí)，則上式取等號(hào)，以第1項(xiàng)為例，估算此時(shí)的重心偏移量，有

兩邊展開(kāi)，有

重心偏移已經(jīng)大于翼展，此時(shí)的結(jié)構(gòu)損傷已不合常理.事實(shí)上，在文獻(xiàn)[10]中提到，翼尖損傷對(duì)重心偏移影響很小.即使機(jī)翼折斷50%時(shí)，Δy仍小于半翼展的2.5%.當(dāng)今最大的民用客機(jī)，空客A380的翼展為79.8 m，對(duì)應(yīng)側(cè)向重心偏移Δy＜1.若重心偏移量以及各項(xiàng)損傷產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量足夠大，使

此時(shí)，Δy?1，機(jī)翼的損傷情況一定超過(guò)50%，飛機(jī)結(jié)構(gòu)損傷非常嚴(yán)重，升力面積減少，控制能力大幅下降，將難以維持平飛;另外，當(dāng)今絕大多數(shù)大型民用客機(jī)均采用翼下吊掛發(fā)動(dòng)機(jī)布局，超過(guò)50%的損傷將會(huì)導(dǎo)致發(fā)動(dòng)機(jī)與機(jī)體脫離.同時(shí)還可能會(huì)伴隨液壓系統(tǒng)失效，燃油泄漏等問(wèn)題.在此種嚴(yán)重的損傷情況下討論重構(gòu)控制已經(jīng)沒(méi)有意義.KP(1，2)可以得出相同的結(jié)論.因此，通過(guò)前面的估算與對(duì)合理性的討論可以得出結(jié)論，KP(2，1)、KP(1，2)不會(huì)達(dá)到與KP(1，1)、KP(2，2)相同的數(shù)量級(jí).進(jìn)而推出結(jié)論，二階順序主子式符號(hào)不會(huì)發(fā)生改變.

綜上，針對(duì)常規(guī)布局非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)受損飛機(jī)，以升降舵、方向舵為控制量，俯仰角、偏航角為輸出量的多變量模型參考自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)的兩個(gè)關(guān)鍵前提條件均可以得到滿足.

4 系統(tǒng)仿真

4.1 受損算例描述

飛機(jī)的非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)損傷包括翼尖折斷、機(jī)翼穿孔和水平安定面損傷等等.其中，單側(cè)翼尖折斷是一種比較典型的非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)損傷情況.在本文中，選取飛機(jī)左側(cè)翼尖受損為5%，10%，15%，20%，25%，30%幾種損傷程度進(jìn)行配平.在配平中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)受損程度為20%時(shí)，平飛所需副翼舵偏已經(jīng)接近舵偏極限.因此，在仿真中受損模型選擇左側(cè)翼尖受損20%的情況.

4.2 自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于正常飛機(jī)模型(A0，B0，C0)以及受損20%飛機(jī)模型(Ad，Bd，Cd)，可以分別確定傳遞函數(shù)G0(s)=C0(sI－A0)－1B0和Gd(s)=Cd(sIAd)－1Bd所有零點(diǎn)均穩(wěn)定，嚴(yán)格正定且滿秩，可觀測(cè)性指數(shù)為v=4.并且關(guān)聯(lián)矩陣不變，參數(shù)a取1.

對(duì)于高頻增益矩陣，驗(yàn)證可知受損前后均有界且非奇異，順序主子式分別為

如上一節(jié)分析，符號(hào)沒(méi)有發(fā)生改變.

對(duì)于多變量模型參考自適應(yīng)控制器，選擇:

可以得到w1(t)，w2(t).選擇f(s)=(s+3)2以及合適參數(shù)，構(gòu)建控制律(10)和自適應(yīng)律(11).對(duì)非對(duì)稱(chēng)損傷飛機(jī)的非線性模型為對(duì)象進(jìn)行仿真，同時(shí)以傳統(tǒng)的PID(Proportion Integration Differentiation)控制器作為仿真對(duì)比.

4.3 仿真結(jié)果

根據(jù)《有人駕駛飛機(jī)自動(dòng)駕駛儀通用規(guī)范》，輸入通常取5°左右觀察飛機(jī)各姿態(tài)影響.在仿真中，參考指令取 Δr(t)=[5，5]T，即給出俯仰角指令5°，偏航角指令5°.仿真結(jié)果如圖1和圖2所示.

圖1 俯仰角、偏航角跟蹤誤差

圖1、圖2分別為跟蹤誤差和舵面偏轉(zhuǎn)角度.在指令姿態(tài)穩(wěn)定，發(fā)生損傷后，誤差出現(xiàn)小幅波動(dòng)，經(jīng)過(guò)控制器自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整后又重新收斂于零.為補(bǔ)償不對(duì)稱(chēng)損傷造成的橫向干擾力矩，δr舵偏明顯增大.

MRAC控制器與傳統(tǒng)PID控制器效果對(duì)比如圖3和圖4所示.由于非對(duì)稱(chēng)損傷帶來(lái)的模型不確定變化，導(dǎo)致PID控制下的偏航響應(yīng)發(fā)散，而MRAC控制下的響應(yīng)良好.仿真結(jié)果表明MRAC控制器比PID控制器具備更好的控制能力.

圖2 升降舵、方向舵舵偏角度

圖3 不同控制器下俯仰角響應(yīng)

圖4 不同控制器下偏航角響應(yīng)

5 結(jié)論

本文研究了非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)受損飛機(jī)的多變量模型參考自適應(yīng)控制.結(jié)合受損飛機(jī)特性，推導(dǎo)了系統(tǒng)關(guān)聯(lián)矩陣和高頻增益矩陣表達(dá)式，針對(duì)其不變性給出了一般性證明，從理論上確立了模型參考自適應(yīng)方法用于非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)受損飛機(jī)的理論可行性，并以左側(cè)翼尖受損的GTM[10]為控制對(duì)象進(jìn)行了仿真驗(yàn)證.結(jié)果表明:多變量模型參考自適應(yīng)控制器可以對(duì)翼尖損傷造成的影響進(jìn)行補(bǔ)償，保證系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性，使系統(tǒng)輸出與參考指令信號(hào)的誤差收斂于零，比傳統(tǒng)的PID控制效果更好.

References)

[1]Ouellette J A.Flight dynamics and maneuver loads on a commercial aircraft with discrete source damage[D].Blacksburg，USA:Virginia Polytechnic Institute and State University，2010

[2]Nguyen.N，Krishnakumar K，Kaneshige J.Dynamics and adaptive control for stability recovery of damaged asymmetric aircraft[R].AIAA-2006-6049，2006

[3]Bacon B J，Gregory I M.General equations of motion for a damaged asymmetric aircraft[R].AIAA-2007-6306，2007

[4]Liu Yu，Tao Gang.Multivariable MRAC for aircraft with abrupt damages[C]//Proceedings of 2008 American Control Conference.Seattle，WA:American Automatic Control Council，2008:2981－2986

[5]Liu Yu，Tao Gang.Multivariable MRAC using Nussbaum gains for aircraft with abrupt damages[R].AIAA 2008－5207，2008

[6]Guo Jiaxing，Tao Gang，Liu Yu.Multivariable adaptive control of NASA generic transport aircraft model with damage[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，2011，34(5):123－135

[7]Guo Jiaxing，Tao Gang.A multivariable MRAC scheme applied to the NASA GTM with damage[R].AIAA 2010－8014，2010

[8]Liu Yu，Tao Gang，Joshi S M.Modeling and model reference adaptive control of aircraft with asymmetric damage[R].AIAA-2009-5617，2009

[9]鄭大鐘.線性系統(tǒng)理論[M].北京:清華大學(xué)出版社，1999:126－128

Zheng Dazhong.Linear system theory[M].Beijing:Tshinghua University Press，1999:126－128(in Chinese)

[10]Shah G H.Aerodynamic effects and modeling of damage to transport aircraft[R].AIAA 2008－6023，2008