肖 飛，楊和振，盧其進(jìn)，張黎邦

(1. 上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240;2. Mediterranean Shipping Company Kenny，Houston，TX77084，USA)

海流繞流立管時(shí)產(chǎn)生漩渦脫落，會(huì)對立管產(chǎn)生渦激力［6，7］。由于渦激力的作用，立管發(fā)生橫向運(yùn)動(dòng)，從而導(dǎo)致軸向張力的不斷波動(dòng)，當(dāng)張力波動(dòng)的頻率與立管橫向振動(dòng)的固有頻率比值滿足一定關(guān)系時(shí)，立管就發(fā)生了參量共振(圖1 為渦激力引起頂張力立管參量共振的示意圖)。由于發(fā)生參量共振的馬修不穩(wěn)定性區(qū)域是一個(gè)個(gè)連續(xù)的參量區(qū)間，因而在深水條件下，立管的橫向振動(dòng)固有頻率很可能落入不穩(wěn)定區(qū)域［8，9］。一旦發(fā)生參量共振，可導(dǎo)致立管因出現(xiàn)極限應(yīng)力或顯著疲勞而發(fā)生破壞，引起管道破裂和流體泄露，造成重大經(jīng)濟(jì)損失以及環(huán)境污染［14］。因此，避開這類共振是深海立管結(jié)構(gòu)安全設(shè)計(jì)中的重要要求。

圖1 渦激引起頂張力立管參量共振原理Fig.1 Schematic diagram of TTR's parametric resonance by vortex-induced vibration

最初是在模型試驗(yàn)中觀察到渦激引起了頂張力立管(Top Tensioned Riser，以下簡作TTR)張力波動(dòng)極值。1998年Huse［1］在空曠海域進(jìn)行了長90 m、縮尺比約1∶15 的鋼制立管模型試驗(yàn)，試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)渦激引起了大幅軸向張力波動(dòng)。在隨后的理論研究中Huse 指出，如果渦激的頻率等于軸向振動(dòng)一階模態(tài)頻率的一半時(shí)，會(huì)出現(xiàn)極大的軸向應(yīng)力。1999年Huse［2］經(jīng)過進(jìn)一步研究，得到了預(yù)測渦激引起深海立管軸向振動(dòng)更詳細(xì)的依據(jù)，特別是軸向極值響應(yīng)現(xiàn)象。

API 規(guī)范［3］中指出，對于具有張緊器的立管，其遭受相對于平均張力而言相當(dāng)大的張力波動(dòng)，由此導(dǎo)致橫向剛度明顯改變，并且對于這類立管的分析必須考慮軸向張力和橫向剛度的耦合。張［4］由TTR 軸向和橫向非線性耦合的梁柱方程推導(dǎo)出馬修方程，然后基于馬修不穩(wěn)定性理論，研究和解釋渦激振動(dòng)引起TTR張力以兩倍于渦激頻率波動(dòng)這一現(xiàn)象，指出深海立管易處于馬修不穩(wěn)定性區(qū)域。張［5］還指出在立管設(shè)計(jì)過程中，如果不考慮渦激振動(dòng)引起馬修不穩(wěn)定性，這一現(xiàn)象反過來又會(huì)增大立管軸向應(yīng)力和疲勞破壞。故研究渦激致參量共振對立管安全設(shè)計(jì)意義重大。

目前深海結(jié)構(gòu)參量共振的研究得到眾多研究人員關(guān)注，但國內(nèi)外研究大都基于單頻激勵(lì)。張［9］采用希爾無窮行列式法研究了波浪力作用于張力腿平臺的TTR 參量共振問題。Chandrasekaran［10］進(jìn)一步探討了張力腿平臺設(shè)計(jì)外形和吃水變化，引起立管張力幅值變化的馬修不穩(wěn)定性。近期，盧［11］對有纜遙控潛水器的臍帶纜母船垂蕩現(xiàn)象進(jìn)行了探討，研究表明一定條件下類似的大幅橫向振動(dòng)也會(huì)發(fā)生。Koo［12］探究了由spar 平臺大幅深沉運(yùn)動(dòng)引起平臺縱傾恢復(fù)力臂周期性變化導(dǎo)致的參量共振現(xiàn)象，并針對許多不同的情形對一個(gè)實(shí)際平臺進(jìn)行了系統(tǒng)的模擬和比較，指出阻尼對抑制參量不穩(wěn)定性非常重要。在傅［13］對深海鋼懸鏈立管觸地點(diǎn)進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析之后，楊［14］進(jìn)一步對參量激勵(lì)下深海立管不穩(wěn)定性進(jìn)行了評估，探討了阻尼影響，給出了不穩(wěn)定性抑制的若干建議。蘇［15］則具體就深海浮式結(jié)構(gòu)物錨泊阻尼的影響參數(shù)展開了研究。上述涉及馬修不穩(wěn)定性的研究都是基于單頻激勵(lì)開展，而海流繞流立管時(shí)產(chǎn)生漩渦脫落，進(jìn)而產(chǎn)生對立管的渦激力作用，在實(shí)際海洋環(huán)境下此作用具有隨機(jī)性，依賴于立管周圍流體動(dòng)力特性和結(jié)構(gòu)本身的運(yùn)動(dòng)［16］。因此，提出多頻疊加預(yù)測此激勵(lì)過程，并著重探討雙頻激勵(lì)研究渦激導(dǎo)致TTR 參量共振機(jī)理。建立了TTR 橫向和軸向運(yùn)動(dòng)非線性耦合的梁柱方程，并推導(dǎo)出TTR 系統(tǒng)相應(yīng)多頻激勵(lì)馬修方程，通過布勃諾夫－伽遼金法計(jì)算得到雙頻激勵(lì)馬修穩(wěn)定性圖，并對比分析了單頻和雙頻激勵(lì)分別預(yù)測TTR 參量穩(wěn)定性所具有的特性，最后結(jié)合工程算例探討了雙頻激勵(lì)參量不穩(wěn)定分析方法在頂張力立管設(shè)計(jì)過程的應(yīng)用。

1 基本理論

1.1 頂張力立管的振動(dòng)方程

頂張力立管(TTR)在海底通過接頭與基礎(chǔ)相連，海底約束條件取簡支，上部與平臺連接，設(shè)為簡支，作如下假設(shè):

1)因?yàn)閺埩Υ笥赥TR 自身重量，所以忽略張力沿高度方向的變化;

2)假定波流傳播沿同一方向，且流速沿水深的變化為線性;

3)TTR 的剛度和材料性能沿高度方向不變。

根據(jù)非線性應(yīng)變－位移關(guān)系，由基爾霍夫假設(shè)，可以得到TTR 梁－柱橫向運(yùn)動(dòng)靜力學(xué)學(xué)方程，在靜力方程中引入內(nèi)力，即得到TTR 梁－柱動(dòng)力學(xué)方程:

式中:M 為單位長度質(zhì)量，D 為立管外徑，h 為立管厚度，ρs為立管密度，ρw為水密度，ρ 為內(nèi)部液體密度，Ai為立管橫截面積。

在海流中，垂直于水流方向的流體力可分為兩部分:一個(gè)是升力渦激力，一個(gè)是TTR 橫向運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的拖曳力，其合力如下:

式(3)右邊前者為升力渦激力，后者為拖曳力，Cl為升力系數(shù)，Cd為水動(dòng)力拖曳系數(shù)，V 是流速。

將T 代入式(1)得到:

假設(shè)張力波動(dòng)滿足如下關(guān)系:T=T0+▽Tσ(t)，T0為平均張力，▽T 為張力波動(dòng)幅值。

實(shí)際工程問題中，頂張力立管張力波動(dòng)函數(shù)一般并非簡單的規(guī)則函數(shù)，而是多頻疊加的不規(guī)則函數(shù)，即為傅里葉展開的一系列簡單函數(shù)的疊加:以下將重點(diǎn)研究雙頻激勵(lì)最具有代表性的情形，即雙頻激勵(lì)情形σ(t)= a2cos2ωt + a4cos4ωt。

1.2 含阻尼項(xiàng)馬修方程

假設(shè)頂張力立管兩端鉸接，其n 階模態(tài)解為:

在解φ(t)附近取φ(t)+δφ，帶入式(6)得到式(7)，通過判斷式(7)解的有界性來判斷解φ(t)的穩(wěn)定性。

即得到有阻尼的馬修方程:

2 單頻和雙頻參量穩(wěn)定性對比研究

通過前面對單頻與雙頻激勵(lì)的實(shí)質(zhì)分析可知，考慮實(shí)際外激勵(lì)，選擇雙頻激勵(lì)研究渦激引起的頂張力管(TTR)參量共振更為合理。下面對比分析在單頻和雙頻分別激勵(lì)下TTR 馬修穩(wěn)定性和相應(yīng)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。

單頻:

雙頻:

式(9)、式(10)分別為單頻和雙頻激勵(lì)下系統(tǒng)相應(yīng)的馬修方程。圖2 是單頻/雙頻激勵(lì)下穩(wěn)定性圖。

表1 單/雙頻馬修穩(wěn)定性圖中有代表性點(diǎn)特性Tab.1 Property of representative dots in single/bi-frequency Mathieu stability diagram

圖2 單/雙頻分別激勵(lì)下系統(tǒng)馬修穩(wěn)定性Fig.2 Mathieu stability diagram of single/bifrequency induced system

下面以系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)為基礎(chǔ)進(jìn)行分析，在上述區(qū)域中選擇典型設(shè)計(jì)點(diǎn)A 和B，具體特性如表1。圖3和圖4 分別為單頻和雙頻激勵(lì)下設(shè)計(jì)點(diǎn)A 對應(yīng)系統(tǒng)在0 ～500 s 時(shí)間內(nèi)的動(dòng)力響應(yīng)特性。圖3 單頻激勵(lì)預(yù)測TTR 系統(tǒng)不發(fā)生參量共振;而圖4 雙頻激勵(lì)預(yù)測TTR 系統(tǒng)發(fā)生參量共振，設(shè)計(jì)點(diǎn)A 對應(yīng)TTR 系統(tǒng)在短短500 s 內(nèi)運(yùn)動(dòng)幅值增大到1066量級，立管系統(tǒng)將因發(fā)生不穩(wěn)定性破壞而失去正常工作性能。

圖3 單頻激勵(lì)下設(shè)計(jì)點(diǎn)A 運(yùn)動(dòng)響應(yīng)Fig.3 Single-frequency dynamic response at design point A

圖4 雙頻激勵(lì)下設(shè)計(jì)點(diǎn)A 運(yùn)動(dòng)響應(yīng)Fig.4 Bi-frequency dynamic response at design point A

圖5 單頻激勵(lì)下設(shè)計(jì)點(diǎn)B 運(yùn)動(dòng)響應(yīng)Fig.5 Single-frequency dynamic response at design point B

圖6 雙頻激勵(lì)下設(shè)計(jì)點(diǎn)B 運(yùn)動(dòng)響應(yīng)Fig.6 Bi-frequency dynamic response at design point B

圖5 和圖6 分別為單頻和雙頻激勵(lì)下設(shè)計(jì)點(diǎn)B 對應(yīng)系統(tǒng)在0 ～500 s 時(shí)間內(nèi)的動(dòng)力響應(yīng)特性。圖5 單頻激勵(lì)預(yù)測TTR 系統(tǒng)不發(fā)生參量共振;而圖6 雙頻激勵(lì)預(yù)測TTR 系統(tǒng)發(fā)生參量共振，在短短500 s 內(nèi)B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幅值增大到1016量級，立管系統(tǒng)同樣將因發(fā)生不穩(wěn)定性破壞而失去正常工作性能。上述情形較危險(xiǎn)，為避免發(fā)生參量共振，實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)選擇雙頻激勵(lì)函數(shù)描述真實(shí)外激勵(lì)，而后根據(jù)雙頻激勵(lì)預(yù)測的系統(tǒng)馬修穩(wěn)定性圖，指導(dǎo)設(shè)計(jì)、調(diào)整海洋結(jié)構(gòu)物參數(shù)，使得TTR 系統(tǒng)處于雙頻激勵(lì)下穩(wěn)定區(qū)域或者通過增大系統(tǒng)阻尼避開不穩(wěn)定區(qū)域。

通過以上研究可以發(fā)現(xiàn)，單頻激勵(lì)穩(wěn)定性圖中處于穩(wěn)定性區(qū)域的設(shè)計(jì)點(diǎn)，在雙頻激勵(lì)下有可能處于不穩(wěn)定性區(qū)域。因此，實(shí)際指導(dǎo)海洋結(jié)構(gòu)物設(shè)計(jì)時(shí)，采用單頻激勵(lì)對系統(tǒng)馬修不穩(wěn)定性進(jìn)行預(yù)測存在一定危險(xiǎn)性;多頻激勵(lì)是對實(shí)際隨機(jī)環(huán)境的合理性反映，可用于對實(shí)際系統(tǒng)穩(wěn)定性的預(yù)測。

3 算例分析

以工作于墨西哥灣的一個(gè)頂張力立管(TTR)為例，系統(tǒng)參數(shù)見表2。采用布勃諾夫－伽遼金法求解有阻尼馬修不穩(wěn)定性方程。通過計(jì)算得到雙頻激勵(lì)馬修穩(wěn)定性圖，由此探討雙頻激勵(lì)研究參量不穩(wěn)定性的特性，最終實(shí)現(xiàn)對雙頻激勵(lì)下渦激導(dǎo)致頂張力立管參量共振的探討。

表2 張力腿平臺及頂張力立管參數(shù)Tab.2 Characteristics of tension leg platform and top tensioned riser

通過對雙頻激勵(lì)預(yù)測參量穩(wěn)定性所具有特性的研究發(fā)現(xiàn)，激勵(lì)函數(shù)σ(t)=cos2t+dcos4T 中參數(shù)d 符號取正、負(fù)不同值時(shí)，預(yù)測的系統(tǒng)穩(wěn)定性特性有很大差異。因此下面以d= －0.6 和d=0.6 對應(yīng)的情形為例進(jìn)行探討，兩種情形下激勵(lì)函數(shù)所對應(yīng)的時(shí)域圖形相似，相位相隔π。

此時(shí)系統(tǒng)對應(yīng)的雙頻激勵(lì)馬修方程為:x″+2cx' +(a+2q(cos2t+dcos4t))=0

立管橫向運(yùn)動(dòng)最大速度Vmax=1 m/s ，軸向張力變化幅值▽T=1 000 kN，流體阻尼系數(shù)Cd=0.6。

3.1 雙頻激勵(lì)下立管穩(wěn)定性

要判定TTR 系統(tǒng)穩(wěn)定性特性，需要計(jì)算系統(tǒng)在n 階振動(dòng)模態(tài)下馬修方程中參數(shù)ωn、a、q、c 值，并觀察設(shè)計(jì)點(diǎn)在穩(wěn)定性圖中的位置，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定需要采取應(yīng)對措施，具體流程如圖10。

根據(jù)前面給出的TTR 設(shè)計(jì)參數(shù)，計(jì)算立管前12 階振動(dòng)模態(tài)下系統(tǒng)各參數(shù)值ωn、a、q、c，具體見表3。根據(jù)表3 得到的阻尼系數(shù)，求解d= －0.6 及d=0.6 對應(yīng)的雙頻激勵(lì)馬修方程，得到相應(yīng)穩(wěn)定性圖;為直接觀察分析系統(tǒng)此時(shí)穩(wěn)定性，將表3 中系統(tǒng)前12 階振動(dòng)模態(tài)對應(yīng)的設(shè)計(jì)點(diǎn)顯示在d= －0.6 和d=0.6 對應(yīng)的穩(wěn)定性參量平面，得到圖8、圖9。圖8 為雙頻激勵(lì)在d= －0.6 時(shí)預(yù)測的TTR 系統(tǒng)穩(wěn)定性圖，系統(tǒng)前12 階振動(dòng)模態(tài)對應(yīng)的設(shè)計(jì)點(diǎn)全部處于穩(wěn)定性區(qū)域;阻尼對二階不穩(wěn)定區(qū)域受影響不顯著，故12 個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)離穩(wěn)定性過渡曲線較近。圖9 為雙頻激勵(lì)在d=0.6 時(shí)預(yù)測的TTR 系統(tǒng)穩(wěn)定性圖，系統(tǒng)前12 階振動(dòng)模態(tài)對應(yīng)的設(shè)計(jì)點(diǎn)也全部處于穩(wěn)定性區(qū)域，阻尼對二階不穩(wěn)定性區(qū)域的抑制作用較明顯，故12 個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)離穩(wěn)定性過渡曲線較遠(yuǎn)。

表3 工程算例馬修方程系數(shù)表Tab.3 Coefficients of the Mathieu equation of the numerical case

圖7 雙頻激勵(lì)參量穩(wěn)定性分析流程Fig.7 Process for analysis of bi-frequency parametric stability

圖8 和圖9 對TTR 系統(tǒng)參量穩(wěn)定性的預(yù)測，反映出了雙頻激勵(lì)研究參量穩(wěn)定性在d ＜0 和d ＞0 兩種情形下所具有的特性，即d ＜0 和d ＞0 對應(yīng)的雙頻激勵(lì)反映的穩(wěn)定性有較大區(qū)別，尤其在二階不穩(wěn)定區(qū)域。當(dāng)d ＞0 時(shí)，阻尼使二階不穩(wěn)定區(qū)域大幅衰減，而d ＜0時(shí)衰減效果相對較弱。符號相反絕對值相等的兩個(gè)參數(shù)d，其激勵(lì)函數(shù)時(shí)域圖形相似、相位相隔π，而它們對同一系統(tǒng)穩(wěn)定性的預(yù)測卻有較大差異。因此，實(shí)際立管設(shè)計(jì)分析，預(yù)測外激勵(lì)的激勵(lì)函數(shù)選取很重要。

3.2 系統(tǒng)阻尼設(shè)計(jì)

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)落在參量平面不穩(wěn)定性區(qū)域時(shí)，引入額外阻尼可以抑制不穩(wěn)定性而避免發(fā)生參量共振。因此在頂張力立管(TTR)設(shè)計(jì)時(shí)，如何選擇系統(tǒng)參數(shù)確定系統(tǒng)阻尼，使得立管能夠經(jīng)受一定的極限情形而不致出現(xiàn)不穩(wěn)定性，是一個(gè)很重要的問題。具體分析對應(yīng)于立管軸向張力波動(dòng)的幾個(gè)極限情形下系統(tǒng)阻尼的設(shè)置:給出▽T =5 000、7 000、9 000 kN三種極限情形(在這三種情形下TTR 系統(tǒng)在自身設(shè)計(jì)阻尼下都是不穩(wěn)定的)，同樣在d= －0.6 和d=0.6 對應(yīng)的兩種激勵(lì)函數(shù)情形下，研究系統(tǒng)穩(wěn)定所需最小阻尼，以使所設(shè)計(jì)立管避開不穩(wěn)定區(qū)域。具體比較數(shù)據(jù)見表4。

圖8 算例在雙頻激勵(lì)下的穩(wěn)定性(d= －0.6)Fig.8 Bi-frequency Mathieu stability diagram for the engineering case (d= －0.6)

表4 三種極限狀態(tài)下系統(tǒng)穩(wěn)定所需最小阻尼Tab.4 The smallest damping of the system for keeping stable under three extreme cases

參數(shù)d 符號相反絕對值相等時(shí)，其對應(yīng)的雙頻激勵(lì)對系統(tǒng)穩(wěn)定性預(yù)測的差異性，在上一小節(jié)做了定性分析;這一小節(jié)對此差異性從阻尼選取角度做定量分析。分析表4 可知，在TTR 軸向張力變化三種極限狀態(tài)下，d= －0.6 預(yù)測的維持系統(tǒng)穩(wěn)定所需的最小阻尼都比d=0.6 的情形大，而且二者在數(shù)值上相差很多。

在工程實(shí)際的立管設(shè)計(jì)中，選擇d ＜0 對應(yīng)的激勵(lì)函數(shù)來預(yù)測系統(tǒng)所需要的阻尼，更偏于保守和安全。而工程設(shè)計(jì)中，增加額外阻尼會(huì)相應(yīng)增大系統(tǒng)設(shè)計(jì)成本。因此，預(yù)測外激勵(lì)的激勵(lì)函數(shù)選取很重要;實(shí)際指導(dǎo)立管設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)合理且慎重地考慮雙頻激勵(lì)函數(shù)形式的選擇，以確定相對合理的設(shè)計(jì)方案。

4 結(jié) 語

根據(jù)頂張力立管(TTR)的結(jié)構(gòu)特性及海洋環(huán)境下的動(dòng)力特性，建立了TTR 軸向和橫向非線性耦合運(yùn)動(dòng)的梁柱模型，推導(dǎo)出馬修不穩(wěn)定方程探討渦激致TTR 參量共振的激勵(lì)。通過與單頻激勵(lì)研究TTR 參量穩(wěn)定性分析，探討了雙頻激勵(lì)預(yù)測TTR 系統(tǒng)參量穩(wěn)定性問題的合理性，最后結(jié)合工程算例討論了雙頻激勵(lì)應(yīng)用。研究發(fā)現(xiàn):

1)單頻和雙頻激勵(lì)分別預(yù)測TTR 系統(tǒng)的參量共振，二者得到的系統(tǒng)馬修穩(wěn)定性有很大差異;單頻激勵(lì)穩(wěn)定性圖的穩(wěn)定區(qū)域，在雙頻圖中可能處于不穩(wěn)定區(qū)域;如果選擇單頻激勵(lì)下的穩(wěn)定區(qū)域指導(dǎo)TTR 設(shè)計(jì)，而此選擇又處于雙頻下不穩(wěn)定區(qū)域，將導(dǎo)致立管發(fā)生參量共振，使系統(tǒng)發(fā)生劇烈不穩(wěn)定性響應(yīng)而導(dǎo)致破壞。

2)實(shí)際指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)時(shí)，預(yù)測真實(shí)外激勵(lì)的激勵(lì)函數(shù)選取很重要，其函數(shù)形式?jīng)Q定了系統(tǒng)參量穩(wěn)定性特性以及系統(tǒng)阻尼設(shè)計(jì)，由此影響到系統(tǒng)設(shè)計(jì)成本問題。

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