張學茂，王大增，楚建亞

(泰州師范高等?？茖W校 機電工程學院，江蘇 泰州 225300)

Taylor公式是《數(shù)學分析》《高等數(shù)學》中一極其重要的工具，不少專家學者研究了其在求函數(shù)的近似值及誤差估計、證明不等式、求函數(shù)的極限、極值、判別級數(shù)的斂散性、廣義積分的斂散性、行列式的計算，乃至微分方程解等方面的應用[1-5].大多數(shù)限于一元函數(shù)問題的解決，在定理證明中的應用方面較為罕見，且筆者在長期的教學實踐中發(fā)現(xiàn)：由于學生的知識結構與知識點編排先后的限制，許多定理、結論在首次出現(xiàn)時，證明的方法較繁或較抽象，給學生的理解帶來了較大的困難.而學習了Taylor公式后，利用該公式可以較簡易地、定性地證明相關的定理或結論，并能將一元函數(shù)的有關結論推廣至多元函數(shù)，這樣能加強學生對相關知識的理解，并進行有效的推廣，促進學生知識結構的重組與更新.

1 預備知識

引理1[6]265-266(Taylor定理)若函數(shù) f ( x) 在點 x0處存在 n 階導數(shù)，則?x∈u( x0)有

在實際應用中常用用二階的Taylor公式

引理2[7]對于任一組不全為零的實數(shù)Δx, Δy 有則稱矩陣是半正定的.

定義1[6]296f( x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，對I上任兩點 x ,x和實數(shù)?λ∈（0,1）總有12f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)，反之稱為凹函數(shù).

定義2[8]設 D ? Rn是凸集，函數(shù)f( x) 定義在D 上，?λ∈（0,1）及任意兩點 p ,p∈D 恒有12 f(λ p1+(1-λ)p2)≤λf (p1)+(1-λ) f (p2)，則稱 f ( x) 為 D 上的凸函數(shù)，反之稱為凹函數(shù).

定義3[6]236f( x) 為在區(qū)間I上有定義，若x∈I ，且存在 u (x)?I ，? x ∈ u ( x)總有 f ( x)≤f(x)(或0000 f( x) ＞ f( x0))，則稱 x0是函數(shù) f ( x)的極大值點(極小值點)， f (x0)是函數(shù) f ( x )的極大值(極小值).(類似的可定義多元函數(shù)的極值).

2 證明有關的定理或結論

2.1 證明函數(shù)的凹凸性

定理 若函數(shù) f ( x) 在區(qū)間I上二階可導，?x ∈I有

1) f′(x) ＞ 0則 f ( x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)

2) f′(x)＜0 則 f ( x)為區(qū)間I上的凹函數(shù).

證明 函數(shù) f ( x)在區(qū)間I上二階可導，由二階Taylor公式取區(qū)間I上任兩點 x1,x2，令x3=λx1+(1 -λ)x2，

即 λf( x1)+ ( 1-λ)f(x2)＞f(x3)，f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù).

當 f ′(x) ＜ 0λf(x1)+ ( 1-λ)f(x2) ＜ f(x3),f(x)為區(qū)間I上的凹函數(shù).

筆者曾對二元函數(shù)的凹凸性等價條件作了研究[9]，利用Taylor公式還可證明多元函數(shù)的凹凸性.

定理 若函數(shù) f(P ) 在 Rn的開凸集 D 上存在二階連續(xù)偏導數(shù)，則對?P∈ D ，當f(P)的Hessian矩陣半正定時，f(P)是凸函數(shù)，反之為凹函數(shù).

顯然上式的符號由 f ′′(P3)的符號決定.

當f′(P3) ≥ 0時λf( p1)+ ( 1 - λ )f( p2) ≥ f( p3)， f ( x)是凸函數(shù).

當f′(P3) ≤ 0時λf( p1)+ ( 1 - λ )f( p2) ≤ f( p3)， f ( x)是凹函數(shù).

即Hessian矩陣半正定時， f ( x) 是凸函數(shù).Hessian矩陣半負定時， f ( x)是凹函數(shù).

2.2 證明函數(shù)的極值的第二充分條件

教材[6]281-284利用Taylor公式證明了一元函數(shù)的極值.關于多元函數(shù)的極值，我們也可利用Taylor公式來證明.

定理[10]D?Rn的實值函數(shù) f ： D → R在p∈D處可微，若u( p ) ? D，存在連續(xù)二階偏導數(shù)，且

0

0 f′(p0)=0，則當 f ′(p0)半正定時， f 在 p0處取得極小值；f′(p0)半負定時，f 在 p0處取得極大值.

證明 對于 D ?Rn上任一點 p ，由二階的Taylor公式得

故，當 f ′′(p0)半正定時， f ( p)-f( p0) ≥ 0， f 在 p0處取得極小值；

當 f ′′(p0)半負定時， f ( p)-f( p0) ≤ 0， f 在 p0處取得極大值.

2.3 證明多元函數(shù)的Jensen不等式

2.4 對羅比達(L’Hospita1)法則的推廣

求函數(shù)極限時，等價無窮小代替只運用了一階性質，羅比達法則每次只能降低一階，應用Taylor公式能一步到位.

定理 設 f ( x)與φ(x)為x→x0的無窮小量(或無窮大量)，且在x0鄰域內可以展開成Taylor公式，x0是f( x)的 n 階零點，x0是φ(x)的 n 階零點，則

2.5 驗證兩個重要極限

一元函數(shù)的Taylor公式、Jensen不等式等知識點出現(xiàn)《數(shù)學分析》上冊，多元函數(shù)(重點是二元函數(shù)) Taylor公式、凹凸性、極值等出現(xiàn)在《數(shù)學分析》下冊，且大多數(shù)教材中沒有給出相關的證明和推廣.我們在教學中要注重前后知識點的聯(lián)系與推廣，使得學生在學習中經常溫習，加強整門科目各知識點的前后聯(lián)系，更強調了學生在學習數(shù)學分析中不但要吃透細節(jié)，更應注重把握好各章節(jié)各知識點的區(qū)別與聯(lián)系.

[1] 樊紅云.函數(shù)可展開成泰勒級數(shù)的一個充分條件[J].高師理科學刊,2002(2):4-5.

[2] 譚康.泰勒公式及泰勒級數(shù)之妙用[J].高等數(shù)學研究,2010(5):11-12.

[3] 黃宗文,簡靈峰.泰勒公式在討論級數(shù)收斂性中的應用[J].玉林師范學院學報,2001(3):21-23.

[4] 邢永麗,陳建軍春.泰勒級數(shù)在近似計算中的應用[J].湘潭師范學院學報,2004(3):5-8.

[5] 王三寶.泰勒公式的應用例舉[J].高等函授學報,2005(6):31-33.

[6] 劉玉鏈,傅沛仁.數(shù)學分析講義[M].北京:高等教育出版社,2008:236-296.

[7] 王萼芳,石生明.高等代數(shù)[M].3版.北京:高等教育出版社,2004:227-228.

[8] 米翠蘭,王新春.多元函數(shù)的凹凸性的判別方法[J].唐山師范學院報,2006(9):25-26.

[9] 張學茂.二元函數(shù)的等價判別形式[J].廊坊師范學院學報:自然科學版,2011(4):18-21.

[10] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京:高等教育出版社,2000:242.