秦 增，萬(wàn)方義

（西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，陜西 西安710072）

0 引言

現(xiàn)代飛機(jī)對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能的要求越來(lái)越高，其運(yùn)動(dòng)性能的好壞將直接決定飛機(jī)能否完成預(yù)定的任務(wù)。某公司B-6007飛機(jī)出現(xiàn)前起落架艙門無(wú)法正常打開［1］。直-九武XXX號(hào)機(jī)“C”檢工作中，發(fā)現(xiàn)左、右艙門出現(xiàn)松動(dòng)、下沉現(xiàn)象［2］。所研究的某型飛機(jī)艙門機(jī)構(gòu)，由于開閉過程中受到時(shí)變的外部載荷和自身較強(qiáng)的慣性載荷共同作用，極易產(chǎn)生變形和振動(dòng)。在艙門設(shè)計(jì)和使用過程中，考慮桿件柔性對(duì)艙門機(jī)構(gòu)性能的影響非常必要。關(guān)于含柔性桿件運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析，很多學(xué)者做過研究。張策在Kane的基礎(chǔ)上對(duì)含有柔性桿的平面4連桿進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析［3］；章定國(guó)對(duì)大范圍運(yùn)動(dòng)的剛體柔性梁剛?cè)狁詈线M(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析［4］；潘云基于譜方法對(duì)剛?cè)狁詈蠙C(jī)械手模型進(jìn)行了降維處理［5］；周李成提出了一種4連桿機(jī)構(gòu)可靠性數(shù)值模擬及試驗(yàn)的研究方法［6］；李為通過動(dòng)力學(xué)軟件分析了艙門打開過程的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)［7］；劉錦陽(yáng)實(shí)現(xiàn)了柔性桿的剛?cè)狁詈系膭?dòng)力學(xué)分析［8］；馮琳娜應(yīng)用LMS軟件對(duì)桿件疲勞對(duì)機(jī)構(gòu)性能的影響進(jìn)行了分析［9］等。但目前多數(shù)研究是針對(duì)柔性桿件單獨(dú)構(gòu)建局部的柔性模型，將柔性桿嵌入機(jī)構(gòu)中，對(duì)機(jī)構(gòu)整體進(jìn)行建模的研究相對(duì)較少，而針對(duì)含柔性桿的艙門機(jī)構(gòu)的研究就更少。將含有柔性桿的艙門機(jī)構(gòu)看作一個(gè)整體進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，分析局部柔性桿件對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)特性和運(yùn)動(dòng)精度的影響。

1 某艙門機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型

整個(gè)艙門機(jī)構(gòu)是由2個(gè)并聯(lián)6連桿機(jī)構(gòu)帶動(dòng)艙門板及其附屬結(jié)構(gòu)一起運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)艙門的開閉運(yùn)動(dòng)。實(shí)際模型圖如圖1所示。每一側(cè)的平面6連桿機(jī)構(gòu)由2個(gè)串聯(lián)的平面4連桿機(jī)構(gòu)組成，如圖2所示。圖2只能看到一側(cè)的平面6連桿機(jī)構(gòu)，另外一個(gè)被完全覆蓋。2個(gè)4連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)規(guī)律一致，運(yùn)動(dòng)原理相似，將含有大艙門的平面4連桿機(jī)構(gòu)作為基本的分析單元。

圖1 某艙門機(jī)構(gòu)數(shù)字模型側(cè)向視圖

圖2 艙門機(jī)構(gòu)

相比于艙門機(jī)構(gòu)的曲桿和拉桿。艙門機(jī)構(gòu)本身的重量較大，結(jié)構(gòu)較為堅(jiān)固，可視為剛性構(gòu)件處理。曲桿和拉桿長(zhǎng)度較長(zhǎng)，且橫截面較小，受到載荷時(shí)較易產(chǎn)生變形，視作柔性桿處理。由于投彈任務(wù)是由大艙門完成，主要分析含有大艙門的4連桿機(jī)構(gòu)。

建立含有柔性桿的4連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型主要包括3個(gè)方面，求取全剛體艙門機(jī)構(gòu)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；確定柔性桿的形函數(shù)，并計(jì)算柔性桿變形運(yùn)動(dòng)的等效剛度，等效質(zhì)量和等效載荷，用拉格朗日方程建立含柔性桿的4連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析模型。

2 艙門機(jī)構(gòu)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

不考慮柔性桿影響時(shí)，艙門運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)僅有一個(gè)自由度，曲秀全等研究了通過能量法計(jì)算其等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法［10］。含大艙門的平面4連桿機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖3所示。任意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都是桿L1轉(zhuǎn)角θ1的函數(shù)。所以，平面4連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)能表示成θ1的函數(shù)。機(jī)構(gòu)平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能由兩部分組成：一部分為桿件平動(dòng)動(dòng)能；另一部分是桿件繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能。

圖3 典型四連桿機(jī)構(gòu)標(biāo)注

2．1 艙門機(jī)構(gòu)的平動(dòng)動(dòng)能

令向量θ＝［θ1θ2θ3］，˙θ＝［θ1θ2θ3］，構(gòu)件L1為轉(zhuǎn)動(dòng)原動(dòng)件，設(shè)其角位移θ1為廣義坐標(biāo)。其他2個(gè)角位移θ2和θ3均可表示成廣義坐標(biāo)θ1的函數(shù)。桿件的動(dòng)能可表示為轉(zhuǎn)角θ的函數(shù)：

根據(jù)位置關(guān)系，計(jì)算角位移之間的關(guān)系為：

令g＝［1 g1g2］可得平動(dòng)動(dòng)能方程：

2．2 艙門機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

由于艙門機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)均用角位移θ1，θ2和θ3表示，設(shè)3個(gè)桿件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，J2和J3。

則轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為：

艙門機(jī)構(gòu)的總動(dòng)能為：

2．3 艙門機(jī)構(gòu)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式

艙門機(jī)構(gòu)動(dòng)能為：

令等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

上式中所有參數(shù)均為轉(zhuǎn)角θ1的函數(shù)，可表示為函數(shù)JV＝JV（θ1），如圖4所示。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是周期性變化的，在π的整數(shù)倍處較大，因?yàn)樵讦械恼麛?shù)倍處4根桿幾乎在一條線上，相當(dāng)于桿件長(zhǎng)度較長(zhǎng)，而質(zhì)量不變，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相對(duì)較大。對(duì)于艙門機(jī)構(gòu)僅計(jì)算其開閉范圍（1．2～2．3 rad）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即可。

圖4 艙門機(jī)構(gòu)等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量曲線

3 艙門機(jī)構(gòu)柔性桿的分析

艙門機(jī)構(gòu)的柔性桿可以彎曲變形，產(chǎn)生無(wú)窮多個(gè)自由度。但是，如果假設(shè)柔性桿僅能產(chǎn)生單一彎曲變形形式，那么柔性桿仍可作為一個(gè)單自由度體系來(lái)分析。這樣整個(gè)艙門機(jī)構(gòu)也就簡(jiǎn)化為僅有兩個(gè)自由度。下面將要討論如何將一個(gè)具有無(wú)窮多個(gè)自由度的柔性桿簡(jiǎn)化為具有單一彎曲變形形式的柔性桿。記柔性桿變形的形狀函數(shù)為φ（x），柔性桿末端變形撓度Z（t）作為廣義坐標(biāo)，柔性桿任意點(diǎn)撓度為v（x，t）＝Z（t）·φ（x）［11］。

3．1 艙門機(jī)構(gòu)柔性拉桿的形狀函數(shù)

當(dāng)桿件受到驅(qū)動(dòng)力矩運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，驅(qū)動(dòng)力矩和慣性力構(gòu)成平衡體系，可以將其等效成懸臂梁結(jié)構(gòu)，受力分析如圖5所示。用懸臂梁結(jié)構(gòu)的形函數(shù)近似柔性拉桿結(jié)構(gòu)的形函數(shù)。

圖5 柔性桿受力

設(shè)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)長(zhǎng)為l的桿件轉(zhuǎn)過角度為θ，水平向右為起始方向，逆時(shí)針方向?yàn)檎?。將桿件離散化為無(wú)數(shù)個(gè)小單元，每個(gè)小單元受到的慣性力為d F＝ρ·d x·x·¨θ。通過積分計(jì)算可得整個(gè)桿件受到彎矩M0，外載荷F0y和桿件上x處受到的彎矩M（x）根據(jù)材料力學(xué)彎矩公式EⅠ·v″＝M（x）［12］，推導(dǎo)得懸臂梁撓曲線方程為：

3．2 基于虛功原理建立柔性桿的運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)虛功原理，外力在相應(yīng)虛位移上所做的功等于它的內(nèi)力在相應(yīng)虛位移上產(chǎn)生的虛功δWE＝δWⅠ。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，外力虛功由慣性力虛功和外載荷虛功組成：

內(nèi)力虛功和桿件形變有直接關(guān)系為：

整理得柔性桿彎曲運(yùn)動(dòng)方程為：

Z（t）為桿件末端彎曲變形，即撓度；md為廣義質(zhì)量；kd為廣義彎曲剛度和Fd為廣義外力。以柔性桿末端點(diǎn)變形轉(zhuǎn)角Zθ（t）作為廣義坐標(biāo)。將材料力學(xué)中變形轉(zhuǎn)角和撓度的關(guān)系帶入式（14）并乘以桿長(zhǎng)l得：

至此，在假設(shè)桿件只有惟一變形形式的前提下，推導(dǎo)出了和柔性桿變形有關(guān)的廣義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，廣義彎曲剛度和廣義彎矩為：

4 含柔性桿艙門機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型

通過上2節(jié)的分析和假設(shè)可知，含有柔性桿的艙門機(jī)構(gòu)含有兩個(gè)自由度。一個(gè)是艙門剛性運(yùn)動(dòng)的自由度，用拉桿轉(zhuǎn)角θ1表示；另一個(gè)是柔性桿產(chǎn)生惟一形式的變形運(yùn)動(dòng)，用θ2表示柔性拉桿末端的轉(zhuǎn)角，｜θ1-θ2｜表示柔性桿的彎曲程度。艙門機(jī)構(gòu)數(shù)據(jù)L1＝737 mm，L2＝277．9 mm，L3＝675．036 mm，X＝277．838 mm；柔性拉桿半徑r1＝20 mm，大艙門和隨動(dòng)艙門厚度h2＝h3＝30 mm，寬度d2＝d3＝300 mm，材料彈性模量E＝70 000 MPa，密度ρ＝2 710 kg／m3。將以上數(shù)據(jù)帶入式（8），可以得到艙門機(jī)構(gòu)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JV，廣義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jθ和廣義彎曲剛度kθ。

用拉格朗日方程建立含柔性桿艙門機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，需要知道機(jī)構(gòu)的動(dòng)能和勢(shì)能。機(jī)構(gòu)動(dòng)能分兩部分：一部分是艙門剛體運(yùn)動(dòng)動(dòng)能另一部分是柔性桿彈性振動(dòng)的動(dòng)能總動(dòng)能為：

在勢(shì)能方面，將重力視為外力處理，儲(chǔ)備的勢(shì)能就只有桿件變形的彈性勢(shì)能。其計(jì)算公式為：

帶入拉格朗日方程，得：

如果將動(dòng)能和勢(shì)能直接代入拉格朗日方程，由于桿件剛性轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JV為轉(zhuǎn)角θ1的函數(shù)，導(dǎo)致所求微分方程組為非線性方程組。為解決此問題，將動(dòng)力學(xué)模型按照時(shí)間離散化，在每一個(gè)小的時(shí)間范圍內(nèi)可以將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JV視為常數(shù)，和柔性桿固有屬性有關(guān)的廣義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jθ和廣義彎曲剛度本身就為常數(shù)。這樣在每一個(gè)小時(shí)間單元內(nèi)，可得線性微分方程組為：

求解此微分方程可得桿件在此小時(shí)間單元末尾的角位移和角速度，作為下一時(shí)刻的初始條件。利用Matlab編制一個(gè)循環(huán)程序，可以計(jì)算得到艙門的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。至此，含柔性桿艙門機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型建立完成，下節(jié)將利用此模型計(jì)算不同損傷程度下艙門機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

5 柔性桿損傷對(duì)艙門機(jī)構(gòu)性能的影響

飛機(jī)使用難以避免產(chǎn)生各種形式損傷，例如受到海洋性潮濕環(huán)境的影響，易產(chǎn)生腐蝕損傷，頻繁地開閉艙門易產(chǎn)生疲勞累計(jì)損傷等［13］。隨著損傷程度的不同，柔性桿的屬性也會(huì)發(fā)生變化，彈性模量E會(huì)隨著損傷程度的加深而逐漸減?。?4］。由廣義彎曲剛度計(jì)算公式可知，廣義彎曲剛度k和彈性模量E成正比，計(jì)算當(dāng)剛度系數(shù)k發(fā)生變化時(shí)，柔性桿損傷對(duì)艙門機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的影響。

圖6是其他條件不變，剛度系數(shù)k依次減小時(shí)，艙門機(jī)構(gòu)的角位移圖和角速度圖。k＝1 000時(shí)認(rèn)為桿件處于健康狀態(tài)，兩條曲線幾乎完全重合，隨著桿件損傷程度的增加，剛度系數(shù)k的劇烈減小，k＝100時(shí)角位移曲線波動(dòng)很小，表明柔性桿故障早期的征兆并不明顯，柔性桿對(duì)艙門機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響逐漸增加，當(dāng)剛度系數(shù)k低于臨界值后，可以認(rèn)定桿件出現(xiàn)嚴(yán)重故障，比如嚴(yán)重腐蝕、嚴(yán)重裂紋，這時(shí)艙門機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度明顯減小且振動(dòng)幅值顯著增大，損傷引起的后果非常嚴(yán)重，這與工程經(jīng)驗(yàn)相吻合。根據(jù)模型，可建立艙門拉桿損傷程度與艙門動(dòng)力學(xué)響應(yīng)之間的關(guān)系。在工程應(yīng)用中，可通過傳感器獲得的艙門機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)數(shù)據(jù)推測(cè)艙門拉桿的損傷程度，也可以根據(jù)艙門拉桿的損傷狀況估計(jì)艙門機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能。

圖6 剛度系數(shù)k不同時(shí)，柔性連桿起始端和末端的轉(zhuǎn)角及角速度比較

6 結(jié)束語(yǔ)

提出一種剛?cè)狁詈辖５男路椒?。將柔性桿簡(jiǎn)化，計(jì)算機(jī)構(gòu)整體等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，最終建立機(jī)構(gòu)的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程。模型計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)艙門機(jī)構(gòu)處于健康狀態(tài)時(shí)，柔性桿對(duì)艙門動(dòng)力學(xué)特性影響很小。但隨著艙門連桿損傷程度的加深，柔性拉桿的彈性模量和彎曲剛度隨之減小，艙門機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度將會(huì)逐漸下降，局部振動(dòng)越發(fā)明顯，最終將導(dǎo)致艙門機(jī)構(gòu)失效。這與工程經(jīng)驗(yàn)相吻合。艙門機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型搭建了艙門機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和柔性拉桿損傷程度之間聯(lián)系。計(jì)算結(jié)果為分析多種故障模式下艙門機(jī)構(gòu)的性能退化規(guī)律打下基礎(chǔ)，為艙門機(jī)構(gòu)故障診斷和健康管理研究提供理論參考。

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