劉宏亮，夏利娟，余 龍

(上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室，上海200240)

1 概 述

船舶氣囊下水近年來得到大范圍的應用和推廣，并獲得一些研究成果，但總體來說，與氣囊下水技術相關的理論研究仍處于初步階段，大多是基于實驗的經(jīng)驗公式推導，針對理論求解方法的研究相對較少。本文基于最根本的力學原理，建立氣囊下水船體梁的結構計算模型，以期提出一種氣囊下水理論研究的新思路。

所謂氣囊下水［1］是指:在船舶下水時，先用若干直徑較大的支承氣囊將船舶抬高，拆除船舶建造時所用的龍骨墩和邊墩，再置入滾動氣囊，并將支承氣囊中的空氣放掉，然后利用絞車使承載在滾動氣囊上的船舶移向水域。

船舶在船臺上由氣囊支撐的示意圖如圖1所示。

圖1 氣囊支撐船體下水示意圖Fig.1 Ship′s launching by gasbags

船舶氣囊下水過程中，船體在氣囊的支撐下沿滑道下滑，下滑過程中出現(xiàn)的極限載荷可能對船體結構造成損傷，必須校核氣囊下水過程中船體結構的安全性。國內(nèi)有學者提出了一種基于全船結構有限元分析的船體結構和氣囊安全性評估方法［2］。該方法基于有限元軟件能夠獲得較好的近似計算結果，但計算工作量較大，同時沒有給出解析表達式。本文嘗試從最基礎的力學模型著手，建立氣囊下水過程中船體梁的結構計算模型，推導出船體梁彎曲應力的解析求解表達式，以期對氣囊下水過程中船體結構的安全性評估提供理論依據(jù)。

2 氣囊支撐船體的結構計算模型

船體由按一定間距分布的氣囊支承，根據(jù)實際的氣囊布置情況，力學簡化示意圖如圖2所示。

圖2 力學簡化示意圖Fig.2 Mechanical simplified schematic

氣囊等效為彈性支座［3］，支座之間的距離用l1，l2，l3表示，船體的重量載荷為q，q 的大小按照實際載荷沿船長方向的分布情況而定，本文采用均布載荷，左右兩端對船體的作用外力矩為M1和M2。

3 氣囊支撐等效的彈性系數(shù)計算

根據(jù)圖2所示的力學模型，對船體梁進行結構應力求解的前提是確定氣囊等效彈性支座的彈性系數(shù)值。國內(nèi)學者做了大量的相關工作，主要有2 種方法，一種是實驗回歸公式求解［4］，另一種是基于范德華方程的求解［2］。這2 種方法都只適用于單一直徑氣囊的求解，本文嘗試從受壓氣囊的力學分析著手，建立通用的適用于任意直徑氣囊的彈性系數(shù)求解公式。

氣囊在實際的下水過程中，會先設定好一個要求的工作高度值，然后根據(jù)船體重量來判斷充氣氣壓的大小;這種計算方法可能導致計算所得的充氣氣壓大于氣囊所允許的極限氣壓值，要進行反復計算;為使理論計算求解更加完善，本文先設定好氣囊的充氣氣壓值，計算在承載壓力G 下氣囊的壓縮變形量，從而求解氣囊等效彈性支座的彈性系數(shù)。

氣囊受壓后的變形截面圖如圖3所示。

圖3 氣囊變形截面圖Fig.3 Gasbag′s deformation

氣囊內(nèi)部有一定的充氣氣壓，船體與氣囊接觸，氣囊變形，直到能夠支撐起船體重量為止。假設:氣囊充氣氣壓為p0，氣囊壓縮后體內(nèi)的壓力為p，氣囊受到的船底板的壓力為G，變形前氣囊的直徑為D，變形后氣囊的高度為H (稱為工作高度)，受力面的寬度為b，變形前氣囊的壁厚為t0，壓載變形后氣囊的厚度為t，坐標軸如圖3所示。

取單位長度的氣囊進行受力分析，將變形后氣囊兩旁的弧線等效為圓弧。

根據(jù)氣體壓縮定理pv=p0v0有

且滿足

現(xiàn)在已知G，p0，t0，要求解p，t，H，b，需要4 個不相關的方程式參與求解?？紤]到氣囊囊壁在變形前后的體積不變:

根據(jù)能量守恒定律來建立方程，即氣囊變形過程中船體重力勢能和彈性勢能的總和恒定。船體重力勢能減少為VG=G(D-H);彈性勢能為氣囊的變形能(忽略囊體內(nèi)氣壓勢能)，所以從應力和應變的角度求解氣囊應變能，根據(jù)胡克定律氣囊應變能可由下面的表達式進行求解:

式中，E 為彈性模量。式中應力的求解分成Z 方向和XY 平面內(nèi)囊壁法向2 部分。

首先，求初始氣壓p0情況下的初始應力。

其次，氣囊壓縮變形后的應力求解。

對于弧線部分，根據(jù)圖4 的力學分解示意圖，建立受力平衡方程。

圖4 圓弧段力學分解圖Fig.4 Arc part′s mechanics decomposition

計算可得pθ=pH/2 。根據(jù)計算結果可知，在圓弧段氣囊的應力和水平部分相同，所以

式(5)表示氣囊受壓應變勢能，根據(jù)能量守恒定理，其數(shù)值與重力勢能相等，即可得到第4 個求解方程等式:

至此，式(1)～式(3)和式(6)可以聯(lián)立求解4個未知求解變量p，t，H，b。經(jīng)過降次處理等，求解得到工作高度H 的表達式為:

設等效的彈性支座的彈性系數(shù)為k，則推導出k的計算表達式為

將H 關于k 的表達式代入式(7)，可以進一步推導出彈性系數(shù)k 的表達式為

根據(jù)式(9)可以準確地計算不同直徑氣囊的等效彈性支座的彈性系數(shù)。若取D=1.5 m 或1.2 m，初始氣囊充氣氣壓p0=0.02 MPa，氣囊初始囊壁厚度t0=0.01 m，材料的彈性模量E=2e9 N/m3，則氣囊等效彈性系數(shù)k 關于承載壓力G 的函數(shù)曲線如圖5所示。

圖5 彈性系數(shù)k 隨G 變化曲線Fig.5 Elastic coefficient k with G

從圖5 可以看出，氣囊等效彈性支座的彈性系數(shù)k 關于承載壓力G 呈非線性變化，不同于通常的線性關系;因此在上述氣囊支撐船體梁結構計算模型中，彈性系數(shù)k 不是已知常數(shù)，必須將k 表示為G 的函數(shù)表達式代入計算方程進行求解。

4 船體梁計算模型的求解

首先，根據(jù)結構計算理論將船體梁離散為節(jié)點［5］和梁單元，如圖6所示。

圖6 單元離散示意圖Fig.6 Element discrete

其次，對離散后的單元1，單元2，單元3 建立剛度矩陣［6］有:

式中:E，I 分別為船體梁的彈性模量和截面慣性矩。

因此，結構的總剛度矩陣為:

計算位移矩陣:

［δ］=［v1，θ1，v2，θ2，v3，θ3，v4，θ4］T。

等效節(jié)點力矩陣:根據(jù)前述等效剛度的求解，等效剛度系數(shù)k 是關于承載壓力G 的函數(shù)表達式。將G=kv 代入式(9)，經(jīng)過降次解得:

因此，求解等效節(jié)點力矩陣為:

建立求解的平衡方程有:

［K］×［δ］=［F］。

求解平衡方程，在求解得到節(jié)點力的基礎上求解彎矩值M，計入船體梁的剖面模數(shù)W，船體梁的彎曲應力求解表達式為:。工程計算中一般關心最大應力值，根據(jù)求解得到的節(jié)點力，推導出最大彎曲應力為:

至此，通過建立船舶氣囊下水過程中氣囊支撐船體的結構計算模型，推導出下水過程中船體梁應力的求解公式。將氣囊等效成彈性支座并求解相應的彈性系數(shù)值k，與一般線性彈簧的彈性系數(shù)特點不同，氣囊等效的彈性系數(shù)k 關于承載壓力G 呈非線性函數(shù)關系。因此，在推導過程中，必須首先將彈性系數(shù)k 表示為變形量v 的函數(shù)表達式，最終代入到等效節(jié)點力矩陣求解出船體梁最大彎曲應力的解析表達式。

5 計算模型的驗證

某船下水采用直徑1.5 m 的氣囊，氣囊工作高度為0.85 m，根據(jù)本文前述模型的求解公式，計算船舶氣囊下水過程中船舶重心處在滑道末端時船底受力情況，計算結果如表1所示。

表1 計算結果表Tab.1 The calculation’s result

理論求解結果和實驗測定值比較如表2 和圖7所示。

表2 理論解和實測值比較Tab.2 The comparison result

圖7 相對誤差示意圖Fig.7 Relative error

表2 和圖7 的對比結果表明，理論計算值與實測值的誤差在12%以內(nèi)，說明本文提出的計算模型以及理論求解方法是可行的。分析誤差的原因可能是由于理論求解過程中對附加彎矩M 和均布載荷q的假設所致。可以預見，模型的求解方法可以推廣運用到其他類似的計算工況中。

6 結 語

本文建立了氣囊下水過程中船體梁結構計算理論模型。從分析支撐船體氣囊的力學特性入手，根據(jù)變形量和承載重量的關系得出等效的彈性系數(shù)，推導出等效彈性系數(shù)k 是關于載荷G 的非線性函數(shù)關系;將等效彈性系數(shù)k 表示為位移的函數(shù)代入平衡方程進行求解，計算船體梁的極大彎矩值，推導出船體梁最大彎曲應力的解析求解公式;最后通過與實測值的比較驗證了模型求解的可行性和正確性。本文推導出的船體梁彎曲應力表達式具有計算簡便、適用性強的特點，對氣囊下水過程中船體結構的應力評估具有較強的實用價值。

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