李運(yùn)平 周來水 王志國 陸友太

南京航空航天大學(xué)江蘇省精密與微細(xì)制造技術(shù)重點實驗室，南京，210016

0 引言

B－spline曲線曲面作為 STEP工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)NURBS曲線曲面的特例(其權(quán)因子全為1)，是曲面造型領(lǐng)域中描述工業(yè)產(chǎn)品幾何外形的重要方法。由B－spline曲面的定義可知，通過改變節(jié)點矢量與控制頂點都可以實現(xiàn)曲面的變形［1-2］。然而，修改幾何參數(shù)的方式對于復(fù)雜形狀的曲面變形設(shè)計非常困難，且難以達(dá)到工程上的幾何光順性要求和設(shè)計精度。

為了避免這些缺陷，簡化設(shè)計過程，產(chǎn)生了基于物理的造型方法。Terzopoulos等［3］將基于能量模型的可變形曲線曲面造型技術(shù)引入到計算機(jī)圖形學(xué)中，模擬出旗幟在風(fēng)中飄擺及地毯飄落等動態(tài)過程，為基于物理的變形技術(shù)奠定了基礎(chǔ)。近年來，基于物理的變形方法受到研究者的廣泛關(guān)注［4-5］。Celniker等［6］將有限元法引入到曲線曲面變形中，將曲面劃分為三角形板單元，在載荷作用與幾何約束下計算曲面變形。之后，基于有限元法的曲面變形技術(shù)得到了廣泛研究［7-10］。文獻(xiàn)［7-8］采用有限元法求解曲線曲面變形的思想，運(yùn)用3次均勻B－spline描述變形曲線曲面，給出了相應(yīng)的有限元網(wǎng)格模型，以控制頂點為求解未知量，建立總剛度矩陣方程，計算滿足約束的曲線曲面。成思源等［9］推導(dǎo)了 B－spline曲線曲面的可變形模型運(yùn)動方程，并對其有限元求解方法進(jìn)行了研究，用特征點作用下可變形B－spline曲線曲面的變形驗證了有限元法的有效性。采用有限元網(wǎng)格近似參數(shù)曲面會導(dǎo)致曲面自身的拓?fù)浒l(fā)生改變，因此，難以精確描述曲面間的光滑拼接關(guān)系。文獻(xiàn)［11］將初始幾何體整體或局部地嵌入到橫截面為圓形的梁結(jié)構(gòu)中，通過施加載荷使梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生形變，幾何體作為梁結(jié)構(gòu)的一部分在載荷作用下隨梁結(jié)構(gòu)一起產(chǎn)生變形。文獻(xiàn)［12］基于控制網(wǎng)格建立了剛架模型，實現(xiàn)了單張B－spline曲面形狀修改。文獻(xiàn)［11-12］避免了變形過程中曲面拓?fù)涞母淖儯莾H適用于單張B－spline曲面。

筆者借鑒剛架受力變形的思想，提出了一種剛架模型驅(qū)動多張B－spline曲面變形算法。通過“合并”曲面片的控制網(wǎng)格的手段創(chuàng)建剛架模型，將曲面變形問題轉(zhuǎn)化為剛架模型的變形。根據(jù)幾何約束、曲面片間光滑拼接條件和選取的優(yōu)化目標(biāo)，計算曲面片控制頂點的變化，實現(xiàn)多張B－spline曲面片變形。

1 多張B－spline曲面剛架模型的創(chuàng)建

1.1 剛架模型

空間剛架模型是由梁單元相互連接而成的結(jié)構(gòu)，用于驅(qū)動曲面變形，如圖1所示。梁單元的節(jié)點稱為剛架的節(jié)點，節(jié)點的自由度為6，根據(jù)自由度的不同，可將節(jié)點分為自由節(jié)點、固支節(jié)點與鉸支節(jié)點。

圖1 剛架模型

1.2 B-spline曲面的數(shù)學(xué)描述

B－spline曲面由2個方向的控制頂點網(wǎng)格、2個節(jié)點矢量和單變量B－spline基函數(shù)的乘積定義。假設(shè)給定由(m+1)×(n+1)個控制頂點Sij(i=0，1，…，m;j=0，1，…，n)構(gòu)成的陣列組成一張控制網(wǎng)格，分別給定參數(shù)u(次數(shù)為k)與v(次數(shù)為l)和節(jié)點矢量U與V，就可以定義一張張量積為k×l次的B－spline曲面，其方程為

式中，Ni，k(u)是由節(jié)點矢量U定義的k次B－spline基函數(shù);Nj，l(v)是由節(jié)點矢量V定義的l次B－spline基函數(shù);N(u，v)為B－spline基函數(shù)乘積矢量;S為控制頂點矢量。

1.3 單張B-spline曲面的剛架模型

為了更好地反映控制頂點位置的改變對曲面形狀的影響，用曲面的控制頂點定義剛架模型的節(jié)點，依據(jù)控制網(wǎng)格的幾何拓?fù)潢P(guān)系生成相應(yīng)的剛架模型。圖2所示為基于控制網(wǎng)格所創(chuàng)建的單張B－spline曲面的剛架模型，圓球為節(jié)點。

1.4 多張B-spline曲面的剛架模型

圖2 單張B-spline曲面的剛架模型

工業(yè)產(chǎn)品的幾何外形通常由4邊域B－spline曲面片拼接而成，且曲面片之間一般維持G1連續(xù)，即曲面片的每個公共頂點與位于兩側(cè)的各一個相鄰非公共頂點共線，如圖3所示，其中，P、P'為公共邊界處的重合點，P1、P2分別為兩側(cè)對應(yīng)控制頂點。采取去掉重復(fù)控制頂點的方法合并控制網(wǎng)格，建立多張曲面的剛架模型，如圖4所示。圖4中，黑色球為固支節(jié)點，灰色球為自由節(jié)點。由圖4可知，剛架模型的節(jié)點和合并后的控制網(wǎng)格頂點是一一對應(yīng)的，故節(jié)點的位移量等價于控制網(wǎng)格頂點的位移量。

圖3 G1連續(xù)條件下多張B-spline曲面和控制網(wǎng)格

圖4 多張B-spline曲面剛架模型

2 多張B－spline曲面約束變形計算

2.1 基于有限元法的剛架模型節(jié)點位移計算

剛架模型在承受載荷的情況下，節(jié)點會產(chǎn)生相應(yīng)的位移，根據(jù)線彈性有限元方法可知，載荷和節(jié)點位移滿足如下方程:

式中，K為整體剛度矩陣;Δ為節(jié)點位移列陣;P為節(jié)點載荷列陣。

在曲面造型過程中，為滿足工程的設(shè)計要求，將曲面設(shè)計要求抽象為幾何約束(點約束、點和法矢約束、等參線約束等)，在幾何約束下對曲面進(jìn)行變形。根據(jù)多曲面剛架模型節(jié)點和控制網(wǎng)格頂點的一一對應(yīng)關(guān)系，將曲面的約束變形問題轉(zhuǎn)化為剛架模型變形。以剛架模型節(jié)點位移為變量，構(gòu)建了載荷最小與節(jié)點位移量最小的優(yōu)化目標(biāo)，并建立統(tǒng)一的表達(dá)式，用于組合使用兩個最小化模型來滿足不同的變形要求。多曲面約束變形問題可描述為以剛架節(jié)點位移Δ為變量的函數(shù):

式中，‖KΔ‖2為節(jié)點載荷;‖Δ‖2為節(jié)點位移量;α、β為權(quán)因子，用于調(diào)整目標(biāo)函數(shù)中每個優(yōu)化目標(biāo)在變形中所占的比重;ArΔ=br為第r個約束的約束方程;Ar為約束方程的系數(shù)矩陣;br為列陣;cn為約束的個數(shù)。

由于優(yōu)化問題(式(3))中的目標(biāo)函數(shù)為Δ的二次函數(shù)，約束方程為線性方程組，因此上述約束優(yōu)化問題為標(biāo)準(zhǔn)的等式二次規(guī)劃問題，可采用Lagrange乘子法和罰函數(shù)法進(jìn)行求解。按照罰函數(shù)法將式(3)改寫成

式中，I為單位矩陣。

由式(4)可以看出，罰函數(shù)法將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為線性方程組的求解問題。本文先采用超松弛迭代預(yù)處理共軛梯度法(SSOR－PCG)求解節(jié)點位移Δ，然后根據(jù)節(jié)點和控制頂點的對應(yīng)關(guān)系，計算曲面片控制頂點的新位置，完成多張曲面的約束變形。

由于總剛度矩陣K具有稀疏、對稱等特性，本文采用一維變帶寬壓縮存儲方法存儲矩陣，并選取SSOR－PCG迭代求解方程組。將式(4)簡記為FΔ=u，D為F的對角陣，L為F的嚴(yán)格下三角陣，求解方程組偽代碼如下:

2.2 曲面片光滑拼接約束

為保證變形過程中曲面片之間的光滑拼接，將曲面片之間的光滑拼接關(guān)系作為約束條件。在圖3 中，曲面S1、S2為G1連續(xù)曲面，即P1、P、P2位于一條直線上，則?0≤t≤1，滿足:

將式(5)改寫為以節(jié)點位移Δ為參數(shù)的線性方程組:

式中，Ai'j'(0≤ i'≤ m'，0≤ j'≤ n')為 3×6維矩陣，m'+1、n'+1分別為合并后的整合控制網(wǎng)格U、V向控制頂點數(shù)目。

記與 P1、P、P2對應(yīng)的節(jié)點索引分別為 i'j'、k'l'、r's'(0≤k'≤m';0≤r'≤m';0≤l'≤n';0≤ s'≤ n')，則矩陣 A 除 Ai'j'、Ak'l'、Ar's'外，其余元素全為零矩陣。Ai'j'、Ak'l'、Ar's'分別為

2.3 點約束變形

假定S0是曲面片Pw(u，v)=Nw(u，v)Sw上參數(shù)為(u0，v0)的點，T0為變形后曲面片P'w(u，v)上對應(yīng)的目標(biāo)點。 則變形后的曲面片 P'w(u，v)滿足:

式(7)可以改寫為

將上述方程轉(zhuǎn)化為以節(jié)點位移為變量的約束方程AΔ=b。其中，A的形式與式(6)中的系數(shù)矩陣一致，b= ΔP0=［Δx Δy Δz］T。

初始各曲面片的每一個控制頂點對應(yīng)唯一的節(jié)點，元素Ai'j'取值主要有兩種情況:

(1)若控制頂點Swij和節(jié)點nodei'j'對應(yīng)，記Nwij=Nwi(u)Nwj(v)，則元素Ai'j'可以表示為

(2)若節(jié)點nodei'j'和任一控制頂點Swij未重合，則 Ai'j'=0。

在多點約束的情況下，點約束可能會分布在不同的曲面片上。通過上述討論分別計算將每個點約束轉(zhuǎn)化為約束矩陣ArΔ=br。

圖5所示為G1連續(xù)條件下4張B－spline曲面點約束變形結(jié)果。圖5a所示為G1連續(xù)條件下4張B－spline曲面及點約束，圖5b、圖5c所示分別為給定不同權(quán)因子的曲面變形結(jié)果。由圖5b、圖5c可以看出，變形后的曲面片都滿足給定的點約束條件，但隨著β的逐漸增大(節(jié)點位移最小優(yōu)化目標(biāo)逐漸占較大比重)，曲面將逐漸由整體光順模型(圖5b)向局部尖銳模型(圖5c)過渡。因此，調(diào)節(jié)權(quán)因子可以獲得形狀各異的變形結(jié)果，為設(shè)計需求提供充足的素材。

圖5 G1連續(xù)條件下4張B-spline曲面點約束變形

2.4 點與法矢約束變形

假設(shè)變形后的曲面片P'w(u，v)在參數(shù)點(u0，v0)處能精確通過點T0，且曲面在(u0，v0)處的法矢 n=(nx，ny，nz)，即曲面片 P'w(u，v)滿足:

式(8)可以根據(jù)點約束下多張B－spline曲面變形中約束系數(shù)矩陣的求法轉(zhuǎn)換成AΔ=b的形式;式(9)、式(10)表達(dá)形式一致，其解決方法也類似。以式(9)為例，其約束方程式可以表示為

式中，Bi'j'為1×6維矩陣。

對約束矩陣元素 Bi'j'同樣需要進(jìn)行分情況討論:

(1)若控制頂點Swij和節(jié)點nodei'j'對應(yīng)，則元素Bi'j'為

(2)若節(jié)點nodei'j'和任一控制頂點Swij未重合，則 Bi'j'=0。

同理，式(10)可以表示成CΔ=d的形式。

圖6所示為G1連續(xù)條件下基于點和法矢約束的3張B－spline曲面變形。圖6a所示為初始曲面及點與法矢約束，圖6b、圖6c所示為不同權(quán)因子值下B－spline曲面的變形效果。

圖6 G1連續(xù)條件下3張B-spline曲面點與法矢約束變形

3 變形實例

基于剛架模型的多曲面變形方法已通過編程實現(xiàn)，實例中梁單元材料的彈性模量E=1kPa、泊松比μ=0.4，通過交互添加幾何約束使物體達(dá)到滿足特定需求的變形結(jié)果。圖7所示為自由曲面的點約束變形，圖7a中的自由曲面由3張B－spline曲面片通過G1拼接而成，黑色的點為初始曲面片上的點，黑色三角形為其相應(yīng)的目標(biāo)點，最終的變形結(jié)果如圖7b所示，實現(xiàn)了曲面精確變形到點約束位置的要求。

圖7 自由曲面點約束變形

和傳統(tǒng)的曲面變形方法相比，文中剛架模型的變形計算采用有限元的直接剛度法，由于總剛度矩陣是正定的，理論上一定可解。因此運(yùn)用剛架變形原理進(jìn)行復(fù)雜曲面的變形設(shè)計時，避免了拼接約束系統(tǒng)的可解性問題，本文方法可確保曲面片之間在變形過程中保持G1連續(xù)。表1所示為圖5～圖7曲面變形前后曲面片之間G1連續(xù)性條件分析數(shù)據(jù)，平均正弦為公共邊界點和兩側(cè)對應(yīng)的控制頂點連線的矢量夾角正弦的平均值。由表1可以看出，變形前后的平均正弦值基本保持一致，即曲面片之間的光滑拼接狀態(tài)在變形中得到了有效的保持。

表1 多曲面變形前后G1連續(xù)性分析

運(yùn)用本文算法計算多曲面變形時，要求每張曲面為4邊域B－spline曲面，且兩曲面片公共邊界處及兩側(cè)對應(yīng)的控制頂點在一條直線上。在約束變形計算中，約束條件過多會導(dǎo)致剛架模型處于過約束狀態(tài)，進(jìn)而無法生成滿足指定約束的變形結(jié)果。圖8所示為G1連續(xù)條件下基于點約束的2張B－spline曲面變形。其中，圖8a所示為初始曲面、曲面的剛架模型及點約束，圖8b所示為基于載荷最小模型的下B－spline曲面的變形結(jié)果。由圖8b可以看出，變形結(jié)果僅通過1個目標(biāo)點。

圖8 G1連續(xù)條件下2張B-spline曲面點約束變形

4 結(jié)語

結(jié)合剛架模型受力變形原理，提出了一種多張B－Spling曲面變形設(shè)計算法。給出了G1連續(xù)條件下多張B－spline曲面剛架模型的建立，以及曲面片之間光滑拼接條件的處理方法。算法實現(xiàn)了多張B－spline曲面在幾何約束下的變形協(xié)調(diào)設(shè)計，而且還能使曲面片之間保持變形前的光滑拼接狀態(tài)。

為增加變形算法的實用性可將本文方法擴(kuò)展應(yīng)用于NURBS表示的曲面變形設(shè)計;文中只提供了節(jié)點載荷最小和節(jié)點位移最小兩個優(yōu)化目標(biāo)，后續(xù)工作可以進(jìn)一步組合更多不同意義的優(yōu)化目標(biāo)，以便達(dá)到理想的曲面變形效果。

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