劉解放 劉思峰 方志耕

1.南京航空航天大學(xué)，南京，210016 2.河南科技學(xué)院，新鄉(xiāng)，453003

0 引言

產(chǎn)品可靠性評(píng)價(jià)通常以產(chǎn)品的可靠性試驗(yàn)為依據(jù)。一般來說，試驗(yàn)的次數(shù)越多，得到的可靠性評(píng)價(jià)的置信度越高，因此，為了在較大的置信度下評(píng)價(jià)產(chǎn)品的可靠性，往往需要做大量的試驗(yàn)。許多試驗(yàn)通常對(duì)產(chǎn)品具有破壞性，尤其對(duì)于一些造價(jià)昂貴、危險(xiǎn)性高的產(chǎn)品，往往會(huì)造成試驗(yàn)費(fèi)用的大量增加，導(dǎo)致試驗(yàn)費(fèi)用在研發(fā)中的比例過高。Bayes方法能夠利用歷史信息，從而有效減少現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)的次數(shù)，近年來得到了廣泛的應(yīng)用［1-3］。

運(yùn)用Bayes方法進(jìn)行可靠性評(píng)價(jià)，首先要根據(jù)先驗(yàn)信息確定先驗(yàn)分布，對(duì)于成敗型試驗(yàn)總體，先驗(yàn)分布往往是取其共軛Beta分布，其密度函數(shù)為［4-5］

式中，R 為可靠度;a、b為驗(yàn)前超參數(shù);Γ()為 Gamma函數(shù)。

驗(yàn)前超參數(shù)的確定主要依靠驗(yàn)前試驗(yàn)信息，目前已經(jīng)有很多方法來求解驗(yàn)前超參數(shù)，文獻(xiàn)［6］對(duì)這些方法進(jìn)行了總結(jié)。

1 傳統(tǒng)的Bayes可靠性評(píng)估方法

確定了先驗(yàn)分布的超參數(shù)(a，b)后，若錄得現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)(n，f)，其中n為成功數(shù)，f為失敗數(shù)，則可以得到后驗(yàn)分布為B(R|a+n－f，b+f)，其密度函數(shù)為

給定置信度γ，則系統(tǒng)的可靠性下限RL可由下式求出:

上述傳統(tǒng)Bayes方法假設(shè)歷史試驗(yàn)樣本和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)樣本來自同一個(gè)總體，對(duì)歷史數(shù)據(jù)和現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)不加區(qū)別。事實(shí)上，對(duì)于具有多研制階段的產(chǎn)品，根據(jù)上一階段的試驗(yàn)結(jié)果，產(chǎn)品的性能在不斷調(diào)試，把各階段的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和現(xiàn)場(chǎng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)視為來自同一總體是不妥的。特別是當(dāng)歷史數(shù)據(jù)較多、現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)較少時(shí)，有可能使評(píng)估結(jié)論產(chǎn)生較大偏差。以可靠性的點(diǎn)估計(jì)為例，可靠性的驗(yàn)后點(diǎn)估計(jì)為

則

即驗(yàn)后可靠性的點(diǎn)估計(jì)趨于可靠性的驗(yàn)前點(diǎn)估計(jì)，就會(huì)出現(xiàn)歷史信息淹沒現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息的現(xiàn)象，使得現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息的作用變得極為有限。為了合理地使用歷史試驗(yàn)樣本，需要對(duì)驗(yàn)前試驗(yàn)信息與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息是否來自同一樣本進(jìn)行檢驗(yàn)。

2 相似系數(shù)的確定

設(shè)歷史信息綜合后的試驗(yàn)樣本(S，F(xiàn))來自總體Y，現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)樣本(n－f，f)來自總體X，可以排成如表1所示的列聯(lián)表［7］。

表1 現(xiàn)場(chǎng)總體X和混合總體Y的列聯(lián)表

令

其中，K為Person統(tǒng)計(jì)量，依分布收斂到自由度為1的χ2分布。但是在使用式(3)時(shí)，要求n－f、f、S、F均大于5。對(duì)于小樣本的情況，試驗(yàn)數(shù)量往往較少，不能滿足這個(gè)條件，文獻(xiàn)［8］對(duì)其進(jìn)行如下修正:

因?yàn)镵近似服從自由度為1的χ2分布，因此在給定檢驗(yàn)水平α的情況下，可以將K作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，對(duì)X和Y兩個(gè)總體是否為同一總體這個(gè)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，若通過了相容性檢驗(yàn)，即可確定歷史信息與現(xiàn)場(chǎng)信息的相似程度的大小ρ。

設(shè)

為上述檢驗(yàn)的擬合優(yōu)度，Q依概率的形式表征出X和Y兩個(gè)總體的相似程度，與ρ有直接的關(guān)系［9］，可取

設(shè)階段i的試驗(yàn)樣本(ai，bi)來自總體Yi，現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)樣本(n－f，f)來自總體X，可以排成與表1類似的聯(lián)表。

此時(shí)，取

然后計(jì)算

3 多階段試驗(yàn)信息的融合

(1)當(dāng)試驗(yàn)的批次較多，即m較大時(shí)，有

進(jìn)而求得

(2)當(dāng)試驗(yàn)的批次較少，即m較小時(shí)，抽樣誤差可能使得式(10)為負(fù)值，此時(shí)可作以下修正:

根據(jù)式(4)求出(S，F(xiàn))與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)(nf，f)的相似度ρ，同理，求出每一階段的成功數(shù)和失敗數(shù)(ai，bi)和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)(n－f，f)的相似度 ρi，然后利用下式

確定各階段的系數(shù)可靠性ti。

建立如下形式的成敗型產(chǎn)品可靠性評(píng)價(jià)的加權(quán)Bayes方法:

4 仿真數(shù)據(jù)分析

某產(chǎn)品研制信息分為5個(gè)階段，以往的試驗(yàn)信息見表2。

表2 歷史試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)錄得以下數(shù)據(jù):n=22，f=1。

(1)若采用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的方法，只考慮現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)的信息，則根據(jù)文獻(xiàn)［6］，有

其中，γ為置信水平，RL為在置信水平γ下的置信下限，取γ=0.1，求得置信下限RL=0.8344，由于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法只利用了少量現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息，評(píng)價(jià)結(jié)果顯得過于保守，不符合產(chǎn)品定型的要求。

(2)傳統(tǒng)Bayes方法。先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)Bayes方法對(duì)歷史信息進(jìn)行融合，根據(jù)式(12)求得S=199.6384，F(xiàn)=1.9474，即驗(yàn)前信息分布折合為B(199.6384，1.9474)。若把歷史信息與現(xiàn)場(chǎng)信息視為來自同一樣本，直接進(jìn)行融合，即取驗(yàn)后分布為 B(199.6384+s，1.9474+f)，其中 s=21，f=1。 取置信水平 γ=0.1，求得置信下限RL=0.9766。由于歷史試驗(yàn)樣本的數(shù)量遠(yuǎn)大于現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)樣本的數(shù)量，評(píng)價(jià)結(jié)果嚴(yán)重依賴歷史信息，出現(xiàn)了歷史信息淹沒現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息的現(xiàn)象，評(píng)價(jià)結(jié)果比較冒進(jìn)，風(fēng)險(xiǎn)較大。

(3)采用本文提出的方法進(jìn)行計(jì)算。首先根據(jù)經(jīng)驗(yàn) Bayes方法，求得 S=199.6384，F(xiàn)=1.9474。然后根據(jù)式(4)～式(6)求得K=0.1709，Q=0.6793，進(jìn)而求得 ρ=0.8242。按照同樣步驟，對(duì)研制階段的信息與現(xiàn)場(chǎng)信息進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，分別求得的結(jié)果如表3所示。

表3 不同試驗(yàn)階段與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)的相似系數(shù)

根據(jù)式(7)求得權(quán)重為 t1=0.1737，t2=0.1907，t3=0.1691，t4=0.1201，t5=0.1706。利用Bayes公式計(jì)算第i階段試驗(yàn)信息的可靠性置信下限RL－i，如表4所示，此處取置信度γ =0.9。

表4 第i階段試驗(yàn)信息的可靠性置信下限(γ=0.9)

表5 不同方法下的可靠性置信下限(γ=0.9)

由表5可看出，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法只利用現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息，結(jié)果偏保守;傳統(tǒng)Bayes方法把現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息和歷史信息視為來自同一總體的樣本，計(jì)算結(jié)果偏冒進(jìn)，加大了評(píng)價(jià)的風(fēng)險(xiǎn);采用本文提出的方法，由于考慮了現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息和歷史信息異總體性，評(píng)價(jià)結(jié)果更為合理。根據(jù)工程領(lǐng)域?qū)＜业囊庖?，折合后歷史試驗(yàn)信息B(199.6384，1.9474)的權(quán)重ρ'1=0.8，現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息的權(quán)重ρ'2=0.2，計(jì)算得到產(chǎn)品可靠性的置信下限為R2L=0.9518，與本文的計(jì)算結(jié)果最接近。相對(duì)于傳統(tǒng)的Bayes方法，利用本文方法得到的評(píng)價(jià)結(jié)果風(fēng)險(xiǎn)明顯減小。

5 結(jié)語

對(duì)具有多階段信息的產(chǎn)品，其各個(gè)階段的試驗(yàn)樣本與現(xiàn)場(chǎng)的試驗(yàn)樣本具有異總體性，為了測(cè)度它們之間的關(guān)系，引入了相似系數(shù)的概念，通過卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，確定各個(gè)階段的試驗(yàn)樣本與現(xiàn)場(chǎng)的試驗(yàn)樣本的相似系數(shù)，并把整體驗(yàn)前折合信息與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)信息的相似系數(shù)向各個(gè)階段分配，從而計(jì)算得到融合各階段試驗(yàn)信息的產(chǎn)品可靠性置信下限，與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法和傳統(tǒng)Bayes方法相比，得到的結(jié)果更加合理。

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