凌海峰 王西山

合肥工業(yè)大學(xué)過程優(yōu)化與智能決策教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥，230009

0 引言

作業(yè)車間調(diào)度問題(job shop scheduling problem，JSSP)是一類受任務(wù)順序和配置要求約束的資源分配問題，屬于典型的NP－h(huán)ard優(yōu)化問題。而柔性作業(yè)車間調(diào)度(flexible job shop scheduling problem，F(xiàn)JSSP)則是JSSP問題的一個(gè)擴(kuò)展，是指帶有機(jī)器柔性的作業(yè)車間調(diào)度問題，即每道工序有多個(gè)可供選擇的加工機(jī)器，更加符合實(shí)際生產(chǎn)情況，但也增加了問題求解的難度。

近年來，人們針對(duì)FJSSP問題的復(fù)雜性已經(jīng)提出了許多有效的方法［1-3］。蟻群算法［4］作為一種新的群智能優(yōu)化算法，采用正反饋機(jī)制且具有較強(qiáng)的通用性和魯棒性，已被成功地應(yīng)用到作業(yè)車間調(diào)度問題中。但在實(shí)際應(yīng)用中，蟻群算法存在易陷入局部最優(yōu)和收斂速度慢等問題。針對(duì)此問題，王萬良等［5］提出了一種新的信息素更新策略，并用于求解FJSSP問題。Xing等［6］在采用蟻群算法求解FJSSP問題的過程中引入了知識(shí)模型，實(shí)驗(yàn)得到的解的質(zhì)量也優(yōu)于目前的一些求解方法。Liouane等［7］將蟻群算法與禁忌搜索等局部搜索方法相結(jié)合，在求解FJSSP問題時(shí)能夠有效地避免算法陷入局部最優(yōu)。研究發(fā)現(xiàn)，蟻群算法的性能對(duì)參數(shù)具有很強(qiáng)的依賴性［8-9］，而以上改進(jìn)的蟻群算法在算法參數(shù)的設(shè)置上大都采用了經(jīng)驗(yàn)值，參數(shù)在算法的整個(gè)運(yùn)行過程中處于不變的狀態(tài)，在一定程度上影響了蟻群算法的性能。

為了進(jìn)一步提高蟻群算法在求解FJSSP問題時(shí)的性能，本文提出了一種新的兩階段參數(shù)自適應(yīng)蟻群算法。在算法前期，采用細(xì)菌覓食趨化聚類技術(shù)判斷蟻群所處的狀態(tài)，進(jìn)而動(dòng)態(tài)地調(diào)整蟻群算法的參數(shù)，使算法快速收斂到全局最優(yōu)解附近;在算法后期，利用混沌的隨機(jī)性和遍歷性特點(diǎn)來動(dòng)態(tài)調(diào)整參數(shù)，有利于算法跳出局部最優(yōu)。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法能夠有效地避免陷入局部最優(yōu)，并在一定程度上提高了收斂速度。

1 問題的描述

1.1 FJSSP 問題描述

FJSSP問題描述如下:在m臺(tái)機(jī)器Mk(k=1，2，…，m)上加工 n 個(gè)工件 Jj(j=1，2，…，n)，每個(gè)工件包括 nj道工序，Oij(i=1，2，…，nj)表示工件Jj的第i個(gè)工序，并且每個(gè)工件的加工順序是預(yù)先確定的，每道工序都能夠在多臺(tái)機(jī)器上完成，不同機(jī)器加工同一道工序的時(shí)間往往不同并且是預(yù)先確定的，Tijk表示工序Oij在機(jī)器k上的加工時(shí)間。調(diào)度的目標(biāo)是確定每道工序的加工機(jī)器、工序的開始加工時(shí)間和工序在每臺(tái)機(jī)器上的最佳加工順序，其目標(biāo)函數(shù)為使所有工件在系統(tǒng)中的流通時(shí)間最短，具體可表示為:f=min(max(Cj))，j=1，2，…，n，其中Cj表示在某個(gè)調(diào)度中所有工件的總完工時(shí)間。此外，加工過程還需滿足以下約束條件:①每道工序在某一時(shí)刻只能在一臺(tái)機(jī)器上加工，且中途不能中斷;②同一工件的各道工序之間有先后約束，而不同工件的工序之間沒有這種約束;③在固定時(shí)刻每臺(tái)機(jī)器最多只能加工一道工序，且不同工件之間具有相同的優(yōu)先級(jí)。

1.2 蟻群算法框架

蟻群算法是一種群智能隨機(jī)搜索算法，通過模擬大自然中螞蟻的覓食過程來實(shí)現(xiàn)問題的求解。真實(shí)的螞蟻在覓食過程中會(huì)在其經(jīng)過的路徑上釋放信息素，且螞蟻傾向于向著信息素濃度高的方向移動(dòng)。下面以旅行商問題為例描述蟻群算法的幾個(gè)主要步驟:①蟻群的初始化;②螞蟻按照狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率選擇下一城市;③在蟻群完成一次搜索后，評(píng)價(jià)螞蟻個(gè)體，同時(shí)依據(jù)適應(yīng)度函數(shù)值的大小更新各路徑上的信息素值;④判斷終止條件，如果滿足條件則結(jié)束，否則執(zhí)行步驟②。

2 求解FJSSP問題的改進(jìn)蟻群算法

2.1 初始解的產(chǎn)生

2.1.1 機(jī)器選擇

(1)建立矩陣M。將所有工件的工序Oij看作一個(gè)工件的工序Or(r=1，2，…，R，R表示所有工序的個(gè)數(shù))。矩陣M中的元素Mrk=1/Trk，即矩陣M中的每個(gè)元素是由每道工序r在可選機(jī)器k上的加工時(shí)間的倒數(shù)構(gòu)成的［10］。

(2)建立信息素初始化矩陣D。矩陣M經(jīng)過歸一化處理后得到矩陣D，矩陣D表示工序在可選機(jī)器上的加工概率。則

(3)依據(jù)矩陣D，應(yīng)用輪盤賭方法為工序隨機(jī)選擇加工機(jī)器。

2.1.2工序排序

首先，將t時(shí)刻可在處于空閑狀態(tài)的機(jī)器k上加工的工序放入可選工序集合allow(k，t)中，然后利用啟發(fā)式信息根據(jù)下式計(jì)算t時(shí)刻可選工序集合中各道工序在機(jī)器k上的加工概率［10］(此概率也就是螞蟻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率):

式中，α、β分別為表示信息素和可見度的重要程度參數(shù)。

然后，根據(jù)偽隨機(jī)比例規(guī)則對(duì)allow(k，t)中的工序進(jìn)行排序，依據(jù)下式選擇下一工序Or:

式中，N為本次迭代次數(shù);Nmax為最大迭代次數(shù);q為區(qū)間［0，1］上的服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)，0≤q0≤1。

2.1.3總完工時(shí)間

目標(biāo)函數(shù)總完工時(shí)間采用時(shí)間推進(jìn)法的思想來計(jì)算［10］。 將初始化階段的仿真時(shí)鐘設(shè)為Stime=0，之后對(duì)比每臺(tái)機(jī)器上正在加工的工序到加工完成所需要的時(shí)間，選擇其中最小的一個(gè)t，并將仿真時(shí)鐘推進(jìn)到Stime=t。循環(huán)以上操作，當(dāng)所有的工序都完成加工時(shí)，Stime的值即為目標(biāo)值總完工時(shí)間Cj。

2.2 基于細(xì)菌覓食趨化聚類的蟻群狀態(tài)判斷

研究人員在使用蟻群算法時(shí)發(fā)現(xiàn)，調(diào)整算法參數(shù)的時(shí)間往往多于算法設(shè)計(jì)和實(shí)施的時(shí)間，合適的參數(shù)設(shè)置對(duì)于算法的性能也有著至關(guān)重要的影響。同時(shí)，由于蟻群算法在問題的求解過程中蟻群會(huì)處于不同的搜索狀態(tài)，在不同的狀態(tài)下對(duì)參數(shù)的大小要求也不一樣［11-12］，對(duì)此，本文作出如下調(diào)整:在蟻群算法運(yùn)行的前期，當(dāng)所有螞蟻遍歷完全并找到各自的總完工時(shí)間時(shí)，使用趨化聚類算法對(duì)每只螞蟻找到的總完工時(shí)間進(jìn)行聚類，并對(duì)蟻群的狀態(tài)作出判斷，然后基于蟻群狀態(tài)對(duì)參數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整。

2.2.1基于細(xì)菌覓食趨化的總完工時(shí)間聚類

細(xì)菌覓食算法是一種新的基于人類腸道大腸桿菌的覓食行為的全局隨機(jī)搜索算法，迭代過程主要包括趨化、復(fù)制和遷徙三種操作。文獻(xiàn)［13-14］將其應(yīng)用到聚類問題中并獲得了不錯(cuò)的結(jié)果。

趨化操作結(jié)束后，所有的細(xì)菌將處于搜索空間中的特定位置，而細(xì)菌的最終位置將作為需要的聚類中心。因此，在螞蟻找到各自的總完工時(shí)間后，為了判斷蟻群所處狀態(tài)，本文對(duì)總完工時(shí)間進(jìn)行趨化聚類，并記錄各類的規(guī)模以及最長(zhǎng)、最短總完工時(shí)間所在類的規(guī)模。

2.2.2蟻群狀態(tài)判斷

在聚類規(guī)模已經(jīng)統(tǒng)計(jì)好的基礎(chǔ)上，采用文獻(xiàn)［11］中的蟻群三種狀態(tài)規(guī)則來判斷蟻群所處狀態(tài)，從而為動(dòng)態(tài)調(diào)整蟻群算法運(yùn)行過程中的各個(gè)參數(shù)做好準(zhǔn)備(表1)。其中，L表示最大規(guī)模的聚類大小，Mmid表示中間規(guī)模的聚類大小，S表示最小規(guī)模的聚類大小，W表示最長(zhǎng)總完工時(shí)間所在的聚類規(guī)模，B表示最短總完工時(shí)間所在的聚類規(guī)模。

表1 蟻群三種狀態(tài)判斷規(guī)則表

為了更清晰地描述蟻群狀態(tài)，將表1概括如下:①當(dāng)W ＞B時(shí)，即蟻群中大部分螞蟻還未找到最優(yōu)總完工時(shí)間，說明蟻群正處于初始狀態(tài);②當(dāng)B=L且W=S時(shí)，即蟻群中大部分螞蟻已經(jīng)找到了最優(yōu)總完工時(shí)間，說明蟻群處于成熟狀態(tài);③除上述兩種情況外，蟻群都處于半成熟狀態(tài)。

2.3 蟻群算法參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整

在蟻群狀態(tài)判斷完成之后，根據(jù)蟻群當(dāng)前所處狀態(tài)來動(dòng)態(tài)調(diào)整參數(shù)，但為了降低算法的復(fù)雜度，本文選擇當(dāng)蟻群連續(xù)3次達(dá)到成熟狀態(tài)時(shí)，就跳出趨化聚類算法，即不再根據(jù)蟻群所處狀態(tài)對(duì)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，此為算法運(yùn)行的前期階段，這樣既能保證蟻群快速收斂到全局最優(yōu)總完工時(shí)間附近，同時(shí)也節(jié)省了算法運(yùn)行的時(shí)間成本;在此之后就是算法運(yùn)行的后期階段，應(yīng)用混沌理論來動(dòng)態(tài)調(diào)整參數(shù)。

由于蟻群算法中有多個(gè)參數(shù)需要初始化，本文僅選取了對(duì)算法性能有關(guān)鍵性影響的3個(gè)參數(shù)(即信息素和可見度重要程度參數(shù)α、β以及信息素?fù)]發(fā)系數(shù)ρ)來進(jìn)行調(diào)整。

2.3.1基于蟻群狀態(tài)的參數(shù)調(diào)整

針對(duì)蟻群狀態(tài)的參數(shù)調(diào)整規(guī)則如下:①當(dāng)蟻群處于初始狀態(tài)時(shí)，應(yīng)該增加蟻群的搜索隨機(jī)性，即減小α、β、ρ的取值。②當(dāng)蟻群處于半成熟狀態(tài)時(shí)，為了避免蟻群陷入局部最優(yōu)，同時(shí)又要保證蟻群整體的收斂速度，應(yīng)適當(dāng)?shù)販p小α、β、ρ的取值。③當(dāng)蟻群處于成熟狀態(tài)時(shí)，應(yīng)該提高蟻群的收斂速度，即增大α、β、ρ的取值。

α、β、ρ的調(diào)整幅度及取值范圍如表2所示，其中Rrand為［0，1］區(qū)間內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)。為了使α、β、ρ能夠有更多、更精確的取值，本文采用隨機(jī)數(shù)的方式來控制各參數(shù)的調(diào)整幅度，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果也證明了這種方法的有效性。

表2 蟻群狀態(tài)及參數(shù)調(diào)整

2.3.2基于混沌理論的參數(shù)調(diào)整

在最優(yōu)總完工時(shí)間附近，為了避免蟻群算法陷入局部最優(yōu)，同時(shí)能夠保持更好的隨機(jī)性來進(jìn)行搜索，在α、β、ρ經(jīng)過單位化處理后，采用經(jīng)典的Logistic混沌映射來動(dòng)態(tài)調(diào)整α、β、ρ。在混沌調(diào)整完成后再對(duì)各參數(shù)進(jìn)行單位化處理后的恢復(fù)操作，以保證α、β、ρ取值的合理性。即

2.4 信息素更新規(guī)則

對(duì)搜索到最優(yōu)總完工時(shí)間的螞蟻所走過的路徑上的信息素進(jìn)行更新，其他路徑上的信息素只進(jìn)行揮發(fā)。即

式中，ρ為信息素?fù)]發(fā)系數(shù);Mmakespan為到目前為止找到的全局最優(yōu)總加工時(shí)間。

對(duì)更新后的矩陣M進(jìn)行歸一化處理后得到新的信息素矩陣D，此時(shí)信息素的更新就已經(jīng)完成了，接下來判斷算法是否滿足終止條件，如果滿足，則結(jié)束;否則繼續(xù)下一次的迭代。

2.5 算法實(shí)現(xiàn)步驟

應(yīng)用改進(jìn)的蟻群算法求解FJSSP問題的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下:

(1)初始化參數(shù)α、β、ρ，并初始化信息素矩陣D，在開始工序節(jié)點(diǎn)上放置Mg只人工螞蟻。

(2)依據(jù)信息素矩陣，應(yīng)用輪盤賭方法對(duì)機(jī)器進(jìn)行選擇。

(3)初始化所有螞蟻的可允許工序集合allow(m，t)，并把所有工件的第一道工序放入allow(m，t)中，開始螞蟻的遍歷過程。

(4)計(jì)算出所有螞蟻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，并根據(jù)偽隨機(jī)比例規(guī)則選擇目標(biāo)工序Or。

(5)如果螞蟻遍歷了所有工序，即allow(m，t)中不存在未加工的工序，則轉(zhuǎn)至步驟(6);否則執(zhí)行步驟(4)。

(6)當(dāng)所有螞蟻都遍歷完成后，記錄每只螞蟻搜索到的總完工時(shí)間Cj。

(7)N←N+1。

(8)檢查本次迭代之前的三代蟻群狀態(tài)，若前三代均為成熟狀態(tài)，則對(duì)α、β、ρ進(jìn)行單位化處理后根據(jù)式(6)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整完成后再對(duì)它們進(jìn)行單位化后的恢復(fù)操作，并將此代蟻群狀態(tài)置為成熟狀態(tài);否則用趨化聚類算法對(duì)總完工時(shí)間進(jìn)行聚類，判斷蟻群當(dāng)前所處狀態(tài)，并根據(jù)表2對(duì)α、β、ρ進(jìn)行調(diào)整。

(9)根據(jù)式(7)和式(8)對(duì)信息素進(jìn)行更新。

(10)如果N≤Nmax，則轉(zhuǎn)至步驟(2)繼續(xù)迭代;否則終止算法并輸出結(jié)果。

改進(jìn)算法的流程圖如圖1所示。

圖1 改進(jìn)算法的流程圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 聚類準(zhǔn)確性比較實(shí)驗(yàn)

本文的參數(shù)調(diào)整建立在聚類的基礎(chǔ)之上，因此，聚類結(jié)果的準(zhǔn)確性直接關(guān)系到參數(shù)的調(diào)整，進(jìn)而影響整個(gè)算法的求解性能。為了驗(yàn)證基于趨化操作的聚類算法的準(zhǔn)確性，本文采用文獻(xiàn)［14］中的正確率定義方法，并用UCI數(shù)據(jù)集中的Iris數(shù)據(jù)和Wine數(shù)據(jù)進(jìn)行了測(cè)試實(shí)驗(yàn)。即

式中，C為聚類正確率;Cd為被分配到正確聚類簇中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù);Ct為總數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

趨化聚類算法運(yùn)行10次后所得到的聚類正確率的平均值和文獻(xiàn)［14］中各算法的聚類比較結(jié)果如表3所示。

表3 測(cè)試數(shù)據(jù)結(jié)果比較

3.2 FJSSP 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文改進(jìn)算法的有效性，采用文獻(xiàn)［10］中的柔性作業(yè)車間調(diào)度數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，該加工系統(tǒng)有4臺(tái)機(jī)器，要加工5個(gè)工件，每個(gè)工件有3至5道工序，如表4所示。如工序O11表示第一個(gè)工件的第一道工序，可由機(jī)器3用48min完成，或者由機(jī)器4用40min完成。同時(shí)根據(jù)文獻(xiàn)［5］中所確定的蟻群算法主要參數(shù)的最優(yōu)取值范圍來確定參數(shù)的初始值和取值范圍，即Mg=40，Nmax=300，α ∈［10，30］，β ∈［5，10］，ρ∈［0.15，0.4］。

表4 工件的工序及加工機(jī)器和加工時(shí)間

本文改進(jìn)算法BFAC與文獻(xiàn)［10］中的蟻群算法各自運(yùn)行30次后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表5所示。

表5 實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果

從表5可以看出，本文改進(jìn)算法能夠有效地避免陷入局部最優(yōu)，找到更好的全局最優(yōu)解，且改進(jìn)后的算法較改進(jìn)前有更好的穩(wěn)定性。同時(shí)，本文改進(jìn)算法能夠在13代左右就收斂到全局最優(yōu)解，且改進(jìn)算法的平均收斂時(shí)間也有所縮短，在一定程度上提高了算法的收斂速度。歷代最優(yōu)解收斂曲線如圖2所示。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文改進(jìn)算法的有效性，分別與文獻(xiàn)［5］、［15-18］中的算法結(jié)果進(jìn)行了比較，最優(yōu)解為算法運(yùn)行30次后的最優(yōu)結(jié)果，如表6所示。

圖2 歷代最優(yōu)解收斂曲線

從表6可以看出，本文改進(jìn)算法在與文獻(xiàn)中的算法進(jìn)行比較時(shí)，能夠找到更好的全局最優(yōu)解。其中在6臺(tái)機(jī)器4個(gè)工件的問題求解中，文獻(xiàn)［5］中的算法在30代左右收斂到了最優(yōu)解，而本文改進(jìn)的算法平均在5代以內(nèi)就能夠收斂到最優(yōu)解且30次運(yùn)行均找到了最優(yōu)解17。此外，本文改進(jìn)的算法求得的解的平均值基本上要小于文獻(xiàn)中的平均值。以上仿真結(jié)果都證明了本文算法的有效性。

表6 改進(jìn)算法與文獻(xiàn)中算法的比較結(jié)果

4 結(jié)語

本文在蟻群算法求解FJSSP問題的模型基礎(chǔ)上，提出了基于聚類和混沌相結(jié)合的自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整方法。從仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，新算法在保證一定收斂速度的基礎(chǔ)上能夠有效地避免陷入局部最優(yōu)解，表現(xiàn)出了良好的全局搜索能力和魯棒性，能夠有效地解決FJSSP問題。今后將進(jìn)行更廣泛的測(cè)試并對(duì)該方法作適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)。此外，將這種新的參數(shù)調(diào)整策略應(yīng)用到其他群智能優(yōu)化算法也是一個(gè)值得研究的方向。

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