任福深 陳素麗 姚志剛

1.東北石油大學，大慶，163318 2.北京市工業(yè)技師學院，北京，100123

0 引言

鉆柱力學特性研究是現(xiàn)代鉆井工程理論和技術的重要組成部分，其主要研究對象是底部鉆柱的受力和變形，核心內容是底部鉆柱的靜力學和動力學特性的研究和應用［1-2］。因此，獲取鉆柱底部靠近鉆頭處的動態(tài)力學參數(shù)有助于分析底部鉆柱的動力學特性，國內外許多學者對底部鉆具組合BHA(bottom hole assembly)的振動問題進行了大量理論研究，并通過建立理想模型和理論計算，取得了很多成果［3-5］。目前，關于鉆柱橫向振動的研究多是利用現(xiàn)有的線性分析理論，而忽略了非線性因素的影響［3-7］，且考慮鉆柱非線性特征的研究多集中在底部鉆具組合段［8］，針對水平鉆柱橫向振動的非線性動力學研究鮮見報道。隨著齒輪齒條鉆機等新概念石油鉆機的出現(xiàn)［9］，水平鉆柱的橫向振動不僅影響鉆具組合和鉆柱本身，而且對鉆機等地面裝備也會產(chǎn)生很大的影響，因此研究整體的水平鉆柱動力學問題具有理論和實際應用價值。

本文以整根水平井鉆柱為研究對象，在基本假設的基礎上，將水平井鉆柱簡化為一端簡支的細長柔性梁。針對該柔性梁的特征，采用解析法建立非線性動力學方程，運用非線性動力學的數(shù)學方法分析共振情況下的復雜動力學響應，嘗試找到控制水平鉆柱橫向振動的方法。

1 動力學方程的建立

由于井筒中柔性鉆柱很長，根據(jù)實際情況假定鉆柱處于線彈性變形狀態(tài);不考慮鉆柱縱向振動和扭轉振動;忽略軸向移動、溫度變化、鉆井液浮力、鉆柱重力的影響;略去鉆柱和井壁碰撞產(chǎn)生的多支點，鉆柱未發(fā)生螺旋屈曲;鉆井液為牛頓流體且動壓力為零;鉆柱軸線與井筒軸線重合。將鉆柱簡化為一端簡支的細長柔性梁，以變形前梁的軸線作為x軸，如圖1所示。

圖1 柔性梁力學模型

鉆柱呈現(xiàn)細長柔性梁狀態(tài)，符合 Euler-Bernoulli梁理論假設，即在梁未變形狀態(tài)垂直于梁軸線的橫截面，在梁變形后仍保持為平面且垂直于變形后的梁軸線。基于該理論建立的梁位移場方程為

式中，v0、w0為梁軸線上的橫向位移;u、v、w 分別為 x、y、z方向的位移。

若只考慮橫向大變形，則變形與位移場的關系可表示為

油田鉆井作業(yè)中使用的鉆柱一般由單一材料制造，因此簡化后的鉆柱有軸向剛度E11和剪切剛度E12兩個獨立的剛度，將鉆柱在鉆頭處的作用力簡化為柔性梁的軸向力Fx，S為Fx產(chǎn)生的相應位移，旋轉柔性梁以角速度ω旋轉時承受離心力，離心力Fr所做功的變分為

利用哈密頓原理得到的旋轉柔性梁橫向振動動力學方程為

式中，ρ為鉆柱密度。

2 攝動分析

攝動法又稱為小參數(shù)展開法，對于含有小參數(shù)的問題，往往可以通過簡化，使原有問題變得容易求解，而攝動法就是求解這類問題的有效方法。本文引入一小參數(shù)ε進行攝動分析，使用多重尺度法［10］得到式(5)、式(6)的平均方程，考慮主參數(shù)共振和1∶1內共振，通過整合公式，得到笛卡爾坐標形式的平均方程:

式(7)～式(10)為利用攝動法求出的簡化系統(tǒng)下鉆柱柔性旋轉梁的平均方程，由平均方程可以看出，鉆柱轉速和軸向力是影響鉆柱振動的兩個主要參數(shù)。鉆柱軸向力跟地層硬度、鉆井速度和鉆井深度等多種參數(shù)相關，只有在采用恒壓鉆進的自動化鉆井工藝中容易實現(xiàn)實時的測控。鉆柱轉速是通過地面的頂部驅動設備直接控制的，容易實現(xiàn)實時轉速的控制和檢測。由于在同一個方程中存在兩個變量，故可以通過一個參數(shù)的調整來削弱另一個參數(shù)對振動的有害影響。

3 橫向振動響應分析

下面根據(jù)建立的平均方程式(7)～式(10)，通過改變量綱一轉速，采用非線性動力學分析方法，進行柔性旋轉鉆柱的橫向振動規(guī)律研究。

算例1 選取參數(shù)x10=-7.9，x20=-13，x30=-20，x40=15.5，c3=0.033，ρ=1.36，A11=0.365進行系統(tǒng)橫向振動響應實驗，實驗發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)隨著轉速的變化而出現(xiàn)分叉，如圖2所示。

圖2 轉速分叉圖

從圖2可以看出，由于在兩個模態(tài)中發(fā)生了能量轉換，振動幅值出現(xiàn)了跳變現(xiàn)象，系統(tǒng)的響應經(jīng)歷了從周期到混沌，再到二倍周期的過程。在系統(tǒng)初始條件和其他參數(shù)都不變的前提下，當轉速ω4=2.8時，系統(tǒng)由二倍周期運動分叉為概周期運動，其對應的動態(tài)響應如圖3所示。隨著轉速的增大，當ω4=2.896時，系統(tǒng)由概周期運動變?yōu)榛煦邕\動，其對應的動態(tài)響應如圖4所示。當ω4繼續(xù)增大為3.944時，系統(tǒng)變?yōu)槎吨芷谶\動，如圖5所示。

圖3 ω4=2.8時系統(tǒng)的概周期響應

圖4 ω4=2.896時系統(tǒng)的混沌響應

圖5 ω4=3.944時系統(tǒng)的周期響應

算例2 選取的系統(tǒng)初始條件和參數(shù)值分別為 x10=8.0，x20=8.8，x30=-14.3，x40=0.3，c3=0.089，ρ=1.43，A11=0.015。在上述參數(shù)下的系統(tǒng)橫向振動響應實驗表明，系統(tǒng)會隨著轉速的變化出現(xiàn)分叉，如圖6所示。從圖6中可以看出，系統(tǒng)的響應大部分為混沌，但在混沌響應之間又有周期響應。令系統(tǒng)的初始條件和其他參數(shù)不變，只改變圖6中的轉速ω4，當ω4=2.872時，系統(tǒng)會出現(xiàn)混沌運動，如圖7所示。當轉速增大為ω4=2.912，系統(tǒng)由混沌運動變?yōu)榱吨芷谶\動，其對應的動態(tài)響應如圖8所示。

圖6 轉速分叉圖

圖7 ω4=2.872時系統(tǒng)的混沌響應

圖8 ω4=2.912時系統(tǒng)的周期響應

以上通過相圖、分叉圖分析了柔性旋轉梁的非線性振動響應和動態(tài)分叉參數(shù)值，分析結果表明，在共振條件下柔性旋轉梁振動幅值是有限值，并非無窮大。當旋轉角速度從小到大變化時，系統(tǒng)出現(xiàn)了由倍周期分叉進入混沌運動的現(xiàn)象，同時發(fā)現(xiàn)在混沌響應區(qū)域中出現(xiàn)了周期響應，系統(tǒng)的振動幅值還會出現(xiàn)跳變現(xiàn)象，系統(tǒng)的運動狀態(tài)經(jīng)歷了從周期運動到混沌運動，再到二倍周期運動的變化過程。

4 結論

(1)將井眼中工作的鉆柱簡化為柔性旋轉梁，探討了柔性旋轉梁振動控制的方法，并對柔性旋轉梁非線性動力學響應進行分析，分析結果揭示了柔性旋轉梁的周期運動、混沌運動、二倍周期運動和跳變等復雜的非線性動力學現(xiàn)象。

(2)柔性旋轉梁在共振條件下，振幅并不是無窮大，而是有限值。在實際工程中可以通過改變鉆柱的轉速來調節(jié)鉆柱的橫向振動。

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