龔振興 李友榮 彭嵐 吳雙應 石萬元

(重慶大學動力工程學院,低品位能源利用技術及系統(tǒng)教育部重點實驗室,重慶 400044)

(2012年5月31日收到;2012年9月14日收到修改稿)

1 引言

液體的表面張力會隨溫度和濃度的不同而發(fā)生變化,在雙組分混合溶液中,當自由表面同時存在溫度和濃度梯度時,將會產(chǎn)生表面張力梯度,從而驅動流體流動,這種流動通常被稱為耦合熱-溶質毛細對流.耦合的毛細對流過程廣泛存在于晶體生長、合金凝固、混合工質的相變傳熱等過程中[1?3].

Bergman[4]最先對水平溫度梯度和濃度梯度作用下矩形池內耦合熱-溶質毛細對流進行了數(shù)值模擬,主要討論了熱和溶質毛細力大小相等、方向相反的特殊情況,研究表明,當熱Marangoni數(shù)超過臨界值時,流體將由靜止狀態(tài)轉變?yōu)榱鲃訝顟B(tài).Bergeon等[5]采用二維數(shù)值模擬和穩(wěn)定性分析方法研究了垂直溫度梯度作用下矩形池內雙組分溶液Marangoni對流現(xiàn)象,分析了Soret效應對流動的影響,結果表明,當Soret效應足夠大時,溶質梯度驅動的Marangoni流動起主導作用,同時,討論了流體流動的分岔現(xiàn)象.Arafune等[6,7]對Bergman的研究進行了拓展和完善,發(fā)現(xiàn)了多種流型的存在,并對流動出現(xiàn)分岔的物理機制進行了解釋.Chen和Chan[8]采用穩(wěn)定性分析、數(shù)值模擬和實驗觀測相結合的方法研究了腔體內表面張力和浮力驅動的流動穩(wěn)定性,得到了流動失穩(wěn)的臨界條件.Cr¨oll等[2]借助實驗研究了Czochralski法晶體生長過程中鍺-硅熔體內溶質毛細對流現(xiàn)象,測定了不同重力水平下熔體的流動速度.Li等[9]和Chen等[10]對水平溫度梯度和濃度梯度作用下矩形池內Marangoni對流現(xiàn)象進行了穩(wěn)定性分析和二維數(shù)值模擬,其主要針對熱和溶質毛細力大小相等、方向相反的特殊情況,獲得了流體的流型轉變規(guī)律,并分析了物性參數(shù)和幾何形狀對傳熱和傳質速率的影響.隨后,Zhan等[11]在Li等[9]和Chen等[10]研究的基礎上采用三維數(shù)值模擬方法對矩形池內Marangoni對流現(xiàn)象、流型的演變以及物性和幾何參數(shù)對傳熱傳質的影響進行了系統(tǒng)研究.此外,Li等[12]和Shi等[13]對旋轉環(huán)形液池內的熱毛細流動現(xiàn)象也進行了研究,Zheng等[14,15]和Zhang等[16]獲得了Marangoni對流邊界層近似解析解.然而,對于旋轉環(huán)形池內水平溫度和濃度梯度作用下耦合熱-溶質毛細對流的研究鮮有報道.匹配漸近展開法是研究流體流動的一種常用的有效方法.Cormack和Leal[17],Merker和Leal[18],Leppinen[19]用這種方法求解了兩側邊壁具有溫度差的矩形和環(huán)形淺液池內流體自然對流過程;Li等[20?22]將這種方法進行了拓展,研究了環(huán)形單層及雙層淺液池內熱毛細對流和熱毛細-浮力對流過程,獲得了中心區(qū)域近似解.本文的目的是采用匹配漸近展開法研究旋轉環(huán)形淺液池內耦合熱-溶質毛細對流過程,同時分析旋轉、Soret效應、浮力、溶質擴散系數(shù)和幾何尺寸對流動的影響.

2 物理數(shù)學模型

假定環(huán)形淺液池內半徑為ri,外半徑為ro,深度為h,寬度為l,則ro=ri+l.液池底部為固壁,頂部為不變形的自由界面,底部和頂部均絕熱,如圖1所示.液池深寬比ε=h/l,對于淺液層,ε→0.記液池幾何參量Γ=ri/l,δ=ri/h,則Γ=εδ.設液池按逆時針方向繞垂直中心軸旋轉,轉速為每分鐘n轉.內、外壁分別維持恒溫TC和Th(Th＞TC).初始時刻液池內溶質濃度分布均勻,比重較大組分的溶質質量分數(shù)為N0,質量濃度為S0.為簡化起見,假定:1)流體為不可壓縮的牛頓流體,除表面張力和浮力項中的密度外,所有的物性參數(shù)都為常數(shù);2)溫差?T=Th?TC較小,液池轉速較低,流動為軸對稱二維穩(wěn)態(tài)層流;3)在頂部自由表面考慮熱和溶質毛細力作用,且表面張力是溫度和濃度的線性函數(shù);4)所有固壁無質量滲透,且滿足無滑移條件;5)考慮Soret效應的影響,忽略Dufour效應.

圖1 淺液池的物理模型

分 別 將 εν/h, ρν2/h2, Th? TC, ?S=?DTSSo(1?No)(Th?TC)/D(DTS=ST·D,ST為Soret系數(shù))和h作為控制方程的無量綱參考速度、壓力、溫度、濃度和長度,并引入無量綱流函數(shù)ψ和渦量ω:

則無量綱化后的控制方程組為

定義常數(shù)a,當考慮Soret效應時,a=1,反之a(chǎn)=0.相應的無量綱邊界條件為

其中,R和Z分別為無量綱坐標;U,V和W分別為無量綱的徑向、軸向和周向速度.上述各式中其他無量綱量定義如下:

其中,Θ為無量綱溫度,Φ為無量綱濃度,Pr為普朗特數(shù),Sc為施密特數(shù),Gr為格拉曉夫數(shù),φ為濃度不均勻和溫度不均勻引起的浮力比,ReR為旋轉毛細雷諾數(shù),ReT和ReS分別為熱毛細雷諾數(shù)和溶質毛細雷諾數(shù),ν,α和D分別為流體的運動黏度系數(shù)、熱擴散率和質量擴散率;βT=?ρ?ρ/?T和 βS=?ρ?ρ/?S分別為溫度和濃度體積膨脹系數(shù);γT= ??σ/?T 和 γS= ??σ/?S 分別為表面張力溫度和濃度系數(shù);μ為流體動力黏度系數(shù).

3 近似解求解過程

3.1 中心區(qū)域近似解

在物理模型中,當深寬比ε→0,有Γ=εδ=ri/l=O(1).為方便計算,無量綱方程中的變量R用 δ+X 代替,則 1/R=1/(δ+X)=ε/(Γ+εX),同時,做如下變換:展開,代入到各控制方程和邊界條件中,得到各階控制方程和相應的邊界條件.

零階控制方程和邊界條件如下:

其中a0=aT0+aS0,均為與?X有關的參數(shù).由零階控制方程和邊界條件可以求得:

二階能量方程如下:

因此,aT0為常數(shù).同理,根據(jù)二階傳質方程和邊界條件也可證明aS0為常數(shù).

對(21)和(22)式積分得到

積分常數(shù)dT0和dS0在與邊界區(qū)域的匹配時確定.

運用相同的方法可以求得其余各階近似解,其中相應的未知積分常數(shù)可通過與邊壁區(qū)域的匹配求得.

3.2 與邊壁區(qū)域的匹配

邊壁區(qū)域的無量綱流函數(shù)、渦量、周向速度、溫度和濃度分別用來表示,為方便起見,做如下變換:則中心區(qū)域與邊壁區(qū)域匹配條件為ε→0時,

其中ξ=1/ε?X.

由此可以求得:

由零階邊界條件得

當不考慮Soret效應時,a=0,此時,環(huán)形液池內溶質分布均勻,0=0,并且dS0是與a無關的常數(shù),故dS0=0.其他階中的積分常數(shù)亦用相同階次下的匹配條件求得.

3.3 中心區(qū)域解

將各系數(shù)代入到中心區(qū)域的各階近似解中,便可完整地寫出中心區(qū)域的漸近解,結合流函數(shù)的定義,可得到中心區(qū)域溫度、濃度和速度分布為

采用此方法可以得到更高階的解析解,但解的表達式非常復雜,并且ε是一個趨于零的小量,更高階的項對淺液池內溫度、濃度和速度分布的影響很小,可以忽略,所以,這里只給出了二階近似解析解.

4 結果分析與討論

當忽略液池旋轉及Soret效應時,由于所有固壁無質量滲透,故此時液池內的濃度分布是均勻的,此時的對流過程為無旋轉的熱毛細-浮力對流過程.在上述解中,令n=0,a=0,則可得到與Li等[21]的研究完全一致的結果.

當忽略浮力時,旋轉環(huán)形淺液池內耦合熱-溶質毛細對流過程相對比較簡單,可以采用類似方法求得二階以上的解.例如,包含三階的中心區(qū)域溫度、濃度和速度分布:

當n=0,a=0時,液池無旋轉,且內部溶質分布均勻.上述結果與Li等[20]得到的環(huán)形淺液池內純熱毛細對流的近似解完全一致,由此可以證明以上所得結果的正確性.

邊壁區(qū)域流動結構非常復雜,采用匹配漸近展開法很難求得控制方程在邊壁區(qū)域的漸近解,根據(jù)Leppinen[19],Sen和Davis[23]的研究可知,對于邊壁區(qū)域的流動結構、溫度和濃度分布只能通過數(shù)值方法獲得.

溫度、濃度和速度的分布表達式中不包含旋轉雷諾數(shù),它應該包含在更高階的項中,高階項對淺液池內的近似解影響很小,可忽略不計,因此,低轉速對液池內溫度、濃度、徑向和軸向速度分布基本沒有影響,這與Shi等[13]所研究的旋轉環(huán)形液池內熱毛細對流的結論一致,即較低轉速對軸對稱的穩(wěn)態(tài)毛細流動過程中的溫度和徑向速度分布基本沒有影響.

圖2 耦合的毛細力對無量綱徑向速度分布的影響(ε=1/50,Γ=1/5,Pr=5,Sc=500,Re R=1,Re T=600,Gr=0,φ=0)

為了分析熱毛細力、溶質毛細力的耦合效應,進行如下工況的計算:ε=1/50,Γ=1/5,Pr=5,Sc=500,ReR=1,ReT=600,Gr=0和φ=0.圖2給出了忽略浮力影響時,耦合熱-溶質毛細力對中心截面(R=δ+1/2ε)處流體徑向速度分布的影響,當忽略Soret效應時,液池內濃度分布均勻ReS=0,此時為純熱毛細流動過程,自由表面上流體由外壁高溫區(qū)向內壁低溫區(qū)流動,回流出現(xiàn)在液池底部附近;當溶質毛細力方向與熱毛細力方向相同時,流動增強,否則,流動減弱;當ReS=?600時,熱毛細力和溶質毛細力正好相互抵消,流體處于靜止狀態(tài),因此,速度總是為零.溶質毛細力的大小與Soret效應和液池內初始濃度有關,由濃度差?S=?DTSSo(1?No)(Th?TC)/D的定義可知,當初始時刻液池內質量分數(shù)增大時,Soret效應引起液池內水平方向上溶質濃度梯度增加,溶質毛細力增大,從而增強(熱毛細力與溶質毛細力同向)或減弱(兩種力反向)流體流動.

圖3給出了在溫度不均勻引起的浮力恒定的情況下,不同浮力比φ對中心截面徑向速度分布的影響.圖3中φ=0為忽略濃度不均勻引起的浮力,僅考慮溫度不均勻引起的浮力時中心截面上的徑向速度分布;φ=?1和φ=1分別表示兩種浮力方向相反和相同的情況.對比圖2中ReS=600(Gr=0)與圖3中的徑向速度分布,可以發(fā)現(xiàn):由于耦合的熱-溶質毛細力對流體流動起主導作用,浮力對流動強度的影響較小,在計算工況下,由于溫度不均勻引起的浮力總是增強流體流動,因此,兩種浮力方向相同時,流動增強,方向相反時,流動減弱.

圖3 耦合的浮力對無量綱徑向速度分布的影響(ε=1/50,Γ=1/5,Pr=5,Sc=500,Re R=1,Re T=600,Re S=300,Gr=10)

圖4 施密特數(shù)對無量綱徑向速度分布的影響(ε=1/50,Γ=1/5,Pr=5,Re R=1,Re T=600,Re S=300,Gr=10,φ=1)

圖4 給出了普朗特數(shù)Pr恒定時,不同施密特數(shù)Sc下中心截面的徑向速度分布.毛細雷諾數(shù)恒定時,施密特數(shù)越大,溶質擴散速率越小,液池內水平方向上Soret效應引起的濃度梯度越小,因此,流動強度隨施密特數(shù)的增大而減弱.

液池幾何尺寸對流動的影響如圖5所示,顯然,相同的毛細雷諾數(shù)下,液池寬度越大,徑寬比Γ=ri/l和深寬比ε=h/l越小,液池內水平方向上溫度梯度和濃度梯度越小,因此,流動減弱;相反,液池寬度越小,流動增強.

圖5 幾何尺寸對無量綱徑向速度分布的影響 (a)徑寬比的影響(ε=1/50);(b)深寬比的影響(Γ=1/5);(Pr=5,S c=500,Re R=1,Re T=600,Re S=300,Gr=10,φ=1)

由以上分析可知:溫差引起的表面張力梯度驅動的熱毛細對流占主導地位;對于大多數(shù)雙組分溶液而言,Soret效應相對較小,因此,Soret效應引起的溶質毛細對流相比熱毛細對流較弱;浮力對流相比毛細對流更弱;旋轉對流動的影響很小,可忽略不計.

5 結論

采用匹配漸近展開法求得了水平溫度梯度作用下旋轉環(huán)形淺液池內耦合熱-溶質毛細對流中心區(qū)域的近似解析解.結果表明:耦合的熱毛細力和溶質毛細力對流動過程起主導作用,低轉速和浮力對流動的影響較小,而溶質擴散系數(shù)和幾何尺寸對流體流動有較明顯的影響;當耦合的浮力和毛細力作用方向相同時,流動增強,相反時流動減弱.

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