吳 敏，翁佩萱

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510631)

全世界每年都有成千上萬的人們遭受著傳染病所帶來的痛苦，故傳染病模型的研究得到廣泛的關(guān)注［1］. 生態(tài)模型的建立和對其穩(wěn)定性的研究［2］有助于控制傳染病的傳播. 1927年，KERMACK 和MCKENDRICK［3］建立了第一個傳染病模型(簡稱KM 模型)，此后許多學(xué)者陸續(xù)引進(jìn)SIS、SIR、SIRS等模型來描述不同種類型的傳染?。?－6］，其中SIR傳染病模型是一類重要的人口模型，并得到廣泛的關(guān)注［7］. 另一方面，個體由于年齡階段不同，會產(chǎn)生相應(yīng)的一些與年齡階段相關(guān)的疾病，因此關(guān)于具有階段結(jié)構(gòu)的模型研究的相關(guān)文獻(xiàn)也有很多［8］.

2002年，XIAO 等［9］提出了一個階段結(jié)構(gòu)的SIR 模型并研究其動力行為. 他們將種群劃分為成年和未成年兩個階段，并假設(shè)成年人口不染病，疾病只在未成年人口間傳播，實際上，例如麻疹、腮腺炎、水痘和猩紅熱等疾病就只在未成年人中傳播.他們研究的具體模型如下:

其中S(t)、Ⅰ(t)和R(t)分別表示未成年的易感類、染病類和具有免疫力的恢復(fù)類的人口密度，y(t)表示成年的人口密度. 假設(shè)方程中所有系數(shù)均為正常數(shù)，α 表示未成年人口的出生率，β (0 ＜β ＜1)表示新出生個體中具有終生免疫力的概率，(1－β)表示新出生個體中易感類的概率，b1表示易感類轉(zhuǎn)變成染病類的轉(zhuǎn)化率，b2表示染病類轉(zhuǎn)變成恢復(fù)類的轉(zhuǎn)化率，τ表示未成年個體的成熟期，r1、r2和r3分別表示易感類、染病類和恢復(fù)類的死亡率，由生物意義知r2≥r1. 最后，假設(shè)成年人口的死亡與成年人口數(shù)的平方成正比，比例常數(shù)記為r4.

江志超等［10］改進(jìn)了文獻(xiàn)［9］中的模型，考慮發(fā)生率為一般函數(shù)f(S(t))且疾病有潛伏期的階段結(jié)構(gòu)的SIR 模型:

這里發(fā)生率f(S)滿足f(0)=0 及f'(S)＞0，γ 表示因病死亡率，τ1表示疾病的潛伏期，τ2表示未成年個體的成熟期，其他系數(shù)具體意義與系統(tǒng)(1)一致.

一般來說，較常以常微分方程作為傳染病模型，但它的局限在于僅有時間變量t. 而現(xiàn)實生活中，在一個國家甚至整個世界范圍內(nèi)的人口具有擴(kuò)散性，故空間一致的模型與疾病和人口擴(kuò)散的現(xiàn)實背景不相符. 近年來，為了解空間分布交互作用的最基本特征，學(xué)者在傳染病模型的建立和模擬中，在相應(yīng)的方程組中考慮了空間擴(kuò)散的因素［11］.

本文考慮如下具有年齡階段結(jié)構(gòu)和時滯的空間擴(kuò)散模型:

注意到系統(tǒng)(3)中的第3個方程可以由另外3個方程決定，因此我們僅需研究下面的子系統(tǒng):

相應(yīng)于子系統(tǒng)(4)，我們考慮下面的初值條件

其中S0，Ⅰ0，y0都是其定義域中的連續(xù)函數(shù).由于本文的主要目的是研究平衡態(tài)的穩(wěn)定性，將不討論初值問題解的存在性. 因此本文假設(shè)初值問題(4)和(5)的解全局存在并且保持非負(fù).

經(jīng)典傳染病模型的重要特性之一是存在基本再生數(shù)R0.R0在疾病的傳播中起著閾值的作用，并對疾病的控制有重要意義. 下面，我們給出R0的估計并討論其在系統(tǒng)(4)的動力學(xué)行為中的閾值性質(zhì).通過計算，可以得到

其中

則在0 ＜R0＜1 和R0＞1 兩種情形下可分別獲得系統(tǒng)(4)的相應(yīng)平衡點:

(i)若0 ＜R0＜1，系統(tǒng)(4)有2個平衡點:E0(0，0，0)和E1(S1，0，y1);

(ii)若R0＞1 且(其中Im f 是f在 +上的像集)，系統(tǒng)(4)有3個平衡點:E0(0，0，0)，E1(S1，0，y1)和E+(S+，Ⅰ+，y+)，其中y+=y1，且

故R0＞1 是系統(tǒng)(4)的正平衡點存在的充要條件.

下面討論平衡點的穩(wěn)定性. 首先，將系統(tǒng)(4)在任一常數(shù)平衡點(S*，Ⅰ*，y*)處線性化得

線性方程組(6)具有形如:

的解當(dāng)且僅當(dāng)

其中

這里λ、σ 和i 分別為復(fù)數(shù)、實數(shù)和虛數(shù)單位. 式(7)等價于

定理1 E0(0，0，0)是線性不穩(wěn)定的.

證明 在式(8)中令(S*，Ⅰ*，y*)=(0，0，0)，則

現(xiàn)斷言至少有一對正數(shù)(λ*，σ*)滿足式(9). 設(shè)

由g(0，σ)= D4σ2－ αβe－r3τ2知存在一個充分小的σ*＞0 使得

又g(λ，σ*)→∞當(dāng)λ→∞，故方程g(λ，σ*)=0 有一個正根λ*. 因此，E0(0，0，0)是線性不穩(wěn)定的.□

定理2 對平衡點E1(S1，0，y1)，有下面結(jié)論:

(i)若0 ＜R0＜1，則E1是線性漸近穩(wěn)定的;

(ii)若R0＞1，則E1是線性不穩(wěn)定的.

證明 在式(8)中令(S*，Ⅰ*，y*)=(S1，0，y1)，則有

顯然方程λ +D1σ2+r1=0 的根為負(fù)數(shù).

令式(10)的第1個因式等于零得

下面證明方程(11)的所有根λ滿足Reλ ＜0. 若不然，假設(shè)式(11)存在一個實部非負(fù)的根λ1，即Re λ1≥0.由式(11)得

矛盾. 故式(11)的所有根λ滿足Re λ ＜0.另一方面，令方程(10)的第3個因式等于零得

于是有下面2 種情形:

(i)若0 ＜R0＜1，下證式(12)的所有根λ滿足Re λ ＜0. 否則，假設(shè)式(12)存在一個實部非負(fù)的根λ2，即Re λ2≥0. 由式(12)有

這與假設(shè)Reλ2≥0 矛盾. 故式(12)的所有根λ滿足Reλ ＜0，即E1(S1，0，y1)是線性漸近穩(wěn)定的.

(ii)若R0＞1，類似定理1 的證明方法可以證明E1(S1，0，y1)是線性不穩(wěn)定的. □

定理3 若R0＞1，則系統(tǒng)(4)的正平衡點E+(S+，Ⅰ+，y+)是線性漸近穩(wěn)定的.

證明 由注1 知當(dāng)R0＞1 時，系統(tǒng)(4)有唯一的正平衡點E+(S+，Ⅰ+，y+). 在式(8)中令(S*，Ⅰ*，y*)=(S+，Ⅰ+，y+)，得到

由y+=αβe－r3τ2/r4及式(11)知方程

的所有根λ滿足Reλ ＜0. 下面考慮如下方程的根:

方程(14)等價于

其中

對τ1≥0，有

當(dāng)τ1=0，方程(15)變?yōu)?/p>

由a+c ＞0，b +d ＞0 知式(17)的所有根有負(fù)實部.現(xiàn)需確定當(dāng)τ1從0 開始遞增時，方程(15)的根的實部是否會經(jīng)過0 而變?yōu)檎? 可斷言方程(15)沒有純虛根. 否則，假設(shè)iω (ω ＞0)是方程(15)的根，則－ω2+iaω+b+(icω+d)(cos(ωτ1)－i sin(ωτ1))=0.分離實部和虛部，得

由此知道ω 滿足

解出ω2:

基于下面的事實:對所有的τ1＞0 有b－d ＞0，且

易知ω 不存在，矛盾. 故方程(15)沒有純虛根. 由Rouche 定理［12］，方程(15)的所有根也具有負(fù)實部.總結(jié)上面的討論，可知方程(14)的所有根都具有負(fù)實部. 因此，E+(S+，Ⅰ+，y+)是線性漸近穩(wěn)定的.

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