郝曉鵬，趙洪業(yè)，高 強(qiáng)

(天津理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，天津 300384)

主元分析方法(Principle Component Analysis，PCA)是在工業(yè)流程故障診斷中較為常用的一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法，它在數(shù)據(jù)趨于無窮大且基本滿足線性關(guān)系的條件下，可以檢測出故障［1－2］。但是，對于一個(gè)系統(tǒng)，含有故障的數(shù)據(jù)樣本不可能趨于無窮大，即不可能讓系統(tǒng)在故障狀態(tài)下繼續(xù)運(yùn)行，并且由于系統(tǒng)本身或數(shù)據(jù)提取的問題，所獲得的樣本數(shù)據(jù)可能是非線性的。對于這樣小樣本、非線性問題，提出利用核主元分析方法(Kernel Principle Component Analysis，KPCA)進(jìn)行解決，并利用浮式儲(chǔ)油卸油生產(chǎn)系統(tǒng)(Floating Production Storage＆Offloading，F(xiàn)PSO)平臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證。

1 核函數(shù)

如圖1所示，通過一個(gè)非線性映射函數(shù)φ(x)，將輸入空間R映射到高維特征空間F，使得輸入空間中的非線性或線性不可分問題在特征空間中能夠進(jìn)行線性分類［3－4］。其中，映射函數(shù) φ(x)定義為

核函數(shù)定義為

圖1 非線性映射示意圖

其中，φ(x)與φ(y)是輸入空間的向量，x與y是在特征空間中的像。

如式(2)所示，輸入空間的核函數(shù)實(shí)際是特征空間內(nèi)積的等價(jià)。一般來講，映射函數(shù)φ(x)比核函數(shù)K(x，y)復(fù)雜，即簡單的核函數(shù)有時(shí)往往對著“復(fù)雜”的映射。因此，引入核函數(shù)能夠大幅降低非線性變換的計(jì)算量。而核方法的優(yōu)勢就在于并不要求知道φ(x)的具體映射形式，而只要求已知核函數(shù)的具體形式。

目前，常用的核函數(shù)主要有3種，如表1所示。實(shí)際采用和研究最多的是高斯核函數(shù)。高斯核函數(shù)是局部性強(qiáng)的核函數(shù)，其外推能力隨著參數(shù)σ的增大而減弱。本文的KPCA采用高斯核函數(shù)進(jìn)行分析。

表1 常見核函數(shù)

2 KPCA方法

KPCA是一種非線性特征提取方法，該方法不直接計(jì)算數(shù)據(jù)的特征向量，而是首先利用一個(gè)非線性映射，將數(shù)據(jù)從低維的輸入空間映射到一個(gè)高維的特征空間，然后在特征空間利用PCA方法進(jìn)行線性主元分析。

2.1 KPCA算法

對于給定樣本 xt:t=1，2，…，l，xt∈Rn，利用函數(shù)φ(·)映射到高維特征空間F(φ(xt))，計(jì)算其協(xié)方差矩陣［5－8］

式(3)所對應(yīng)的特征方程為

求解式(4)的特征值λj≥0，以及特征向量Vj。

式(4)兩邊同時(shí)左乘φ(xt)得

且對于λ≠的特征向量可表示為φ(x1)，φ(x2)，…，φ(xn)的線性張量，存在因子 αi，i=1，2，…，l使得

將(6)代入(5)得

定義 l×l矩陣 Kij=K(xj，xt)=(φ(xi)·φ(xj))代入式(7)得

其中，α =［α1，α2，…，αl］T，λk，λ1≥λ2≥…≥λl為特征值，其對應(yīng)的特征向量為 Vk，k=1，2，…，l。

樣本 xt在特征空間中的第 k，k=1，2，…，l個(gè)主元tk

其中，IN為1/N與一個(gè)N×N的單位矩陣相乘。

2.2 故障檢測策略

基于KPCA的故障檢測方法與PCA方法類似，在特征空間采用T2與SPE統(tǒng)計(jì)量來檢測故障。T2統(tǒng)計(jì)量是主元向量的標(biāo)準(zhǔn)平方和，為

其中，ti由(7)式求得，Λ－1為主元的特征值構(gòu)成對角陣的逆矩陣。

T2的控制限可通過F分布求得

其中，p為主元個(gè)數(shù);N為樣本數(shù)目。

SPE統(tǒng)計(jì)量是每次采樣在變化趨勢上與統(tǒng)計(jì)模型之間的誤差，為

SPE統(tǒng)計(jì)的控制限為

其中，g與h是與SPE的均值與方差相關(guān)的常系數(shù)。

2.3 故障檢測的步驟

(1)對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。(2)建立正常工況下的模型:1)將預(yù)處理后的正常數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。2)計(jì)算核矩陣K，并利用式(10)對K進(jìn)行均值中心化處理。3)在特征空間中計(jì)算正常數(shù)據(jù)的主元成分tk。4)計(jì)算正常數(shù)據(jù)的T2統(tǒng)計(jì)量與SPE統(tǒng)計(jì)量。5)確定T2與SPE的控制限。

(3)利用KPCA進(jìn)行故障檢測。1)對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理與標(biāo)準(zhǔn)化處理。2)計(jì)算核矩陣K，并對K進(jìn)行均值中心化處理。3)計(jì)算測試數(shù)據(jù)的T2統(tǒng)計(jì)量與SPE統(tǒng)計(jì)量。4)監(jiān)視T2與SPE統(tǒng)計(jì)量，看是否超過正常數(shù)據(jù)的T2與SPE統(tǒng)計(jì)量，如果超過，表明有故障發(fā)生。

3 實(shí)驗(yàn)仿真研究

3.1 FPSO流程介紹

FPSO［9－10］典型生產(chǎn)流程中含有36個(gè)過程變量以及21個(gè)控制點(diǎn)，其中，調(diào)節(jié)型閥門9個(gè)，關(guān)斷型閥門12個(gè)。本文從36個(gè)觀測變量中選取18個(gè)過程變量用于過程監(jiān)控，所有過程觀測值均包含噪聲。FPSO生產(chǎn)流程如圖2所示。

圖2 FPSO流程

在該典型流程中，設(shè)置8個(gè)故障，包括溫度、壓力變化引起的系統(tǒng)故障、傳感器故障等。本文對故障1與故障5進(jìn)行KPCA故障檢測分析。

3.2 基于KPCA的FPSO流程故障檢測仿真

在仿真實(shí)驗(yàn)中，核函數(shù)選用高斯核函數(shù)，σ取值為500，采用SPE統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行監(jiān)控。故障1為一級分離器壓力偏低所導(dǎo)致的系統(tǒng)故障，故障5為原油－水入口換熱器原油出口溫度傳感器故障。圖3(a)中，采用PCA方法不能有效地檢測出故障，但從圖3(b)所示，在180個(gè)點(diǎn)附近SPE值明顯超過了SPE控制限，說明有故障發(fā)生。同理，圖4(a)中，故障檢測不明顯，圖4(b)中，在200個(gè)點(diǎn)附近明顯檢測出了故障發(fā)生。

圖3 故障1仿真圖

4 結(jié)束語

針對FPSO流程中采樣數(shù)據(jù)存在小樣本、非線性等問題，提出了利用KPCA方法，首先對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理與標(biāo)準(zhǔn)化，然后對核矩陣K進(jìn)行均值中心化處理，通過監(jiān)控T2統(tǒng)計(jì)量與SPE統(tǒng)計(jì)量，來進(jìn)行故障檢測。通過對FPSO流程的仿真研究表明，KPCA方法對于某些故障的檢測具有良好的效果。

圖4 5種故障仿真圖

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