段 汕，羅 敬，徐 文，賀 興

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)用于圖像處理的基本思想，是用一個(gè)作為結(jié)構(gòu)元素的“探針”去探測(cè)輸入圖像，以便考察圖像各個(gè)部分的相互關(guān)系，了解圖像的結(jié)構(gòu)特征[1].數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算是基于集合的觀點(diǎn)，因此形態(tài)算子的性能將主要以幾何的方式進(jìn)行刻畫.但是隨著形態(tài)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域的不斷發(fā)展，在很多實(shí)際問(wèn)題中，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)所定義的形態(tài)算子不能滿足應(yīng)用領(lǐng)域的需求，因此需要從基礎(chǔ)理論入手尋找解決問(wèn)題的新出路和新方法.筆者認(rèn)為從代數(shù)理論的角度研究形態(tài)算子，探討布爾函數(shù)與形態(tài)變換的關(guān)系，有助于提高形態(tài)算子的性能，將為多種形式、基于不同空間結(jié)構(gòu)的形態(tài)變換給出一個(gè)統(tǒng)一的理論框架，有利于形態(tài)算子的應(yīng)用以及新算法的研究.

1 預(yù)備知識(shí)

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本定理最終被簡(jiǎn)化到完備格結(jié)構(gòu)[5,6],使得完備格結(jié)構(gòu)成為圖像空間最基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)，格的完備性理論則成為形態(tài)分析方法最為重要的理論基礎(chǔ).結(jié)構(gòu)形式最為簡(jiǎn)單的布爾格是只含有0和1兩個(gè)元素的集合{0,1}，取值于集合{0,1}的變量稱為布爾變量.布爾變量u，v的基本運(yùn)算(下確界運(yùn)算，上確界運(yùn)算，及余運(yùn)算)定義如下：

u∧v=u·v=min(u,v)，

由集合{0,1}可以生成n元布爾向量的集合，記為{0,1}n={u=(u1,…，un)，ui∈{0,1}},利用完備格的理論，該集合在以下所定義運(yùn)算的基礎(chǔ)上構(gòu)成布爾格：

(1)u·v=(u1v1,…，unvn)=u∧v；

(2)u+v=(u1+v1,…,un+vn)=u∨v;

若b為含有n元變量的布爾函數(shù)，對(duì)于任意的布爾變量u，v，如果u≤v，有b(u)≤b(v)成立，則b為增性的；如果b(1)=1且b(uv)=b(u)b(v)，則b為乘性的；如果b(0)=0且b(u+v)=b(u)+b(v)，則b為加性的.

對(duì)于二值圖像X，結(jié)構(gòu)元素A，聯(lián)合二值圖像的特征函數(shù)tX與n元布爾函數(shù)b定義一個(gè)結(jié)構(gòu)化的映射ΨA,b：p(Ed)→p(Ed)，記為：

ΨA,b(X)={h∈Ed:b(tX(a1+h),…，

tX(an+h))=1},

從ΨA,b定義可以看出，ΨA,b的性質(zhì)依賴于結(jié)構(gòu)元素A和所選取的布爾函數(shù)b.

2 ΨA,b的基本性質(zhì)

二值形態(tài)變換中最基本的運(yùn)算是腐蝕和膨脹，這兩種基本的運(yùn)算都具有平移不變性，則可以證明ΨA,b也具有平移不變性.

性質(zhì)1(平移不變性) 對(duì)于給定的結(jié)構(gòu)元素A和布爾函數(shù)b，ΨA,b關(guān)于二值圖像X具有平移不變性，即有：ΨA,b(Xα)=[ΨA,b(X)]α,α∈Ed為平移矢量.

證明由定義可得[ΨA,b(X)]α={h∈Ed:b(tX(a1+h),…,tX(an+h))=1}α，根據(jù)集合的平移性得：[ΨA,b(X)]α={α+h∈Ed:b(tX(a1+h),…,tX(an+h))=1}，令h′=h+α可得：

[ΨA,b(X)]α={h′∈Ed:b(tX(a1+h′-α),…,tX(an+h′-α))=1}，

根據(jù)集合平移性tX(ai+h′-α)=tXα(ai+h′)，其中i=1,2,3,…，n,則有：

[ΨA,b(X)]α={h′∈Ed:b(tXα(a1+h′),…,tXα(an+h′))=1}=ΨA,b(Xα)，因此ΨA,b具有平移不變性.

由ΨA,b的定義知，結(jié)構(gòu)元素A為ΨA,b一個(gè)有限窗.關(guān)于ΨA,b在文獻(xiàn)[4]中有以下結(jié)論：

引理1[4]ΨA:p(Ed)→p(Ed)為一個(gè)平移不變的有限窗算子[4]，窗為：A={a1,a2,…，an}.n元布爾函數(shù)b定義為：b(u1,u2,…,un)=[0∈Ψ({ai|ui=1})],則有：ΨA=ψA,b.

性質(zhì)2 對(duì)于給定的布爾函數(shù)b，結(jié)構(gòu)元素與二值圖像之間具有以下平移的關(guān)系，即有

ΨAα,b(X)=ΨA,b(X-α)，其中Aα={ai+α|ai∈A},X-α={x-α|x∈X}.

證明由ΨAα,b(X)={h∈Ed:b(tX(a1+α+h),…,tX(an+α+h))=1}，根據(jù)引理1可得b(tX(a1+α+h),…,tX(an+α+h))=1，由集合平移性tX(ai+α+h)=tX-α(ai+h),i=1,2,…,n,則b(tX-α(a1+h),…,tX-α(an+h))=1，故有：

ΨAα,b(X)={h∈Ed:b(tX-α(a1+h),…,tX-α(an+h))=1}=ΨA,b(X-α),

故ΨAα,b(X)=ΨA,b(X-α)成立.

對(duì)于ΨA,b與b的相關(guān)性，有以下性質(zhì)3.

性質(zhì)3 (1)ΨA,∨i∈Ibi(X)=∨i∈IΨA,bi(X) ; (2)ΨA,∧i∈Ibi(X)=∧i∈IΨA,bi(X) ;(3)(ΨA,b)*(X)=ΨA,b*(X) ,其中I為指標(biāo)集[7].

證明(1)設(shè)h∈Ed，對(duì)于任意的h∈ΨA,∨i∈Ibi(X)，則有

ΨA,∨i∈Ibi(X)={h∈Ed:∨i∈Ibi(tX(a1+h),…，tX(an+h))=1}，

根據(jù)引理1可得：∨i∈Ibi(tX(a1+h),…，tX(an+h))=1，由布爾函數(shù)的基本性質(zhì)則存在i0∈I，使得bi0(tX(a1+h),…，tX(an+h))=∨i∈Ibi(tX(a1+h),…，tX(an+h))=1，其中I為指標(biāo)集，則有ΨA,bi0(X)=ΨA,∨i∈Ibi(X)，又因?yàn)棣稟,bi0(X)?∨i∈IΨA,bi(X)，故有h∈∨i∈IΨA,bi(X);設(shè)h∈Ed，對(duì)于任意的h∈∨i∈IΨA,bi(X)，則有：

∨i∈IΨA,bi(X)=∨i∈I{h∈Ed:bi(tX(a1+h),…,tX(an+h))=1}，由集合的性質(zhì)和ΨA,b的定義知，存在i0∈I，使得∨i∈IΨA,bi(X)=ΨA,bi0(X)，根據(jù)引理1可得bi0(tX(a1+h),…,tX(an+h))=1,由布爾函數(shù)的上確界運(yùn)算可知：

bi0(tX(a1+h),…,tX(an+h))≤∨i∈Ibi(tX(a1+h),…,tX(an+h)),

則有∨i∈Ibi(tX(ai+h))=1，故可得h∈ΨA,∨i∈Ibi(X)，則(1)成立.

(2)設(shè)h∈Ed，對(duì)于任意的h∈ΨA,∧i∈Ibi(X)，

則有：

ΨA,∧i∈Ibi(X)={h∈Ed:∧i∈Ibi(tX(a1+h),…,

tX(an+h))=1},

根據(jù)引理1可得：∧i∈Ibi(tX(a1+h),…,tX(an+h))=1，由布爾函數(shù)的基本性質(zhì)，則存在i0∈I，使得∧i∈Ibi(tX(a1+h),…,tX(an+h))=bi0(tX(a1+h),…,tX(an+h))=1，其中I為指標(biāo)集，則可得ΨA,∧i∈Ibi0(X)=ΨA,bi0(X)，由布爾函數(shù)的下確界運(yùn)算可知：

∧i∈Ibi(tX(a1+h),…,tX(an+h))≤

bi(tX(a1+h),…,tX(an+h)),

即對(duì)于任意的i∈I，有bi(tX(a1+h),…,tX(an+h))=1成立，故h∈ΨA,bi(X)，表明對(duì)于任意的i∈I，有ΨA,bi0(X)?ΨA,bi(X)成立，由集合的基本性質(zhì)可得：ΨA,bi0(X)?∧i∈IΨA,bi(X)，故有h∈∧i∈IΨA,bi(X)；

設(shè)h∈Ed，對(duì)于任意的h∈∧i∈IΨA,bi(X)，由集合的性質(zhì)和ΨA,b的定義知，存在i0∈I,使得∧i∈IΨA,bi(X)=ΨA,bi0(X)，即對(duì)于任意的i∈I，有ΨA,bi0(X)?ΨA,bi(X)成立，由引理1可得：bi0(tX(a1+h),…,tX(an+h))≤∧i∈Ibi(tX(a1+h),…,tX(an+h)),已有∧i∈IΨA,bi(X)=ΨA,bi0(X)成立，根據(jù)引理1可得：bi0(tX(a1+h),…,tX(an+h))=1 ，綜上可得：ΨA,bi0(X)?ΨA,∧i∈Ibi(X)，故h∈ΨA,∧i∈Ibi(X),故(2)成立；

(3)對(duì)于任意的h∈(ΨA,b)*(X)，由定義可得 (ΨA,b)*(X)=[ΨA,b(Xc)]c，其中Xc為集合X的補(bǔ)集，故可得：[ΨA,b(Xc)]c={h∈Ed:b(tXc(a1+h),…,tXc(an+h))=1}c，由集合的性質(zhì)和布爾函數(shù)的基本性質(zhì)有[ΨA,b(Xc)]c={h∈Ed:b(tXc(a1+h),…,tXc(an+h))=0}，由布爾函數(shù)的基本性質(zhì)

[ΨA,b(Xc)]c=

上述性質(zhì)證明過(guò)程可以看出，對(duì)于給定的結(jié)構(gòu)元素A和二值圖像X，ΨA,b的上確界運(yùn)算、下確界運(yùn)算及余運(yùn)算，與布爾函數(shù)的上確界運(yùn)算、下確界運(yùn)算及余運(yùn)算是保持一致的.

對(duì)于給定的結(jié)構(gòu)元素，腐蝕和膨脹都具有增性，可以證明ΨA,b也具有增性.

性質(zhì)4 (增性)ΨA,b是增性的充分必要條件是布爾函數(shù)b也是增性的.

證明必要性.設(shè)X,Y?Ed且滿足X?Y,對(duì)于任意的：

h∈ΨA,b(X)={h∈Ed:b(tX(a1+h),…，tX(an+h))=1}，

由引理1可得b(tX(a1+h),…，tX(an+h))=1，因?yàn)閄?Y，故有tX(ai+h)≤tY(ai+h)，其中i=1,2,3，…，n，又因?yàn)閎為增的，則b(tY(a1+h),…，tY(an+h))=1，所以有h∈ΨA,b(Y),故有ΨA,b(X)?ΨA,b(Y)成立；

充分性.當(dāng)ΨA,b為增的，設(shè)X,Y?Ed且滿足X?Y，那么有ΨA,b(X)?ΨA,b(Y)成立.反證法：若b為非增的，對(duì)于任意的h∈ΨA,b(X)，有b(tX(a1+h),…，tX(an+h))=1，因?yàn)閄?Y，故有tX(ai+h)≤tY(ai+h)，i=1,2,3,…，n，又因?yàn)閎為非增的，則b(tY(a1+h),…，tY(an+h))≤1，若當(dāng)b(tY(a1+h),…，tY(an+h))=0時(shí)可知h不屬于ΨA,b(Y)，這與題設(shè)矛盾，故原命題成立.

3 布爾函數(shù)與形態(tài)變換的關(guān)系

利用ΨA,b以上的性質(zhì)，通過(guò)選取適當(dāng)性質(zhì)的布爾函數(shù)，研究其與形態(tài)變換(腐蝕、膨脹)之間的關(guān)系，并獲得形態(tài)變換的表達(dá)式.

命題1 對(duì)于給定的結(jié)構(gòu)元素A和n元布爾函數(shù)b,(1)ΨA,b是腐蝕的充分必要條件是b是乘性的布爾函數(shù)；(2)ΨA,b是膨脹的充分必要條件是b是加性的布爾函數(shù).

證明(1)必要性.設(shè)h∈Ed，對(duì)于任意的h∈ΨA,b(∧i∈IXi)，由引理1可得：b(t∧i∈IXi(a1+h),…，t∧i∈IXi(an+h))=1，又因?yàn)閎為乘性的布爾函數(shù)，故有：∧i∈Ib(tXi(a1+h),…，tXi(an+h))=1，即對(duì)于任意的i∈I,都有b(tXi(a1+h),…，tXi(an+h))=1，則h∈∧i∈IΨA,b(Xi)，故ΨA,b(∧i∈IXi)?∧i∈IΨA,b(Xi)；同理可證∧i∈IΨA,b(Xi)?ΨA,b(∧i∈IXi)；綜上有∧i∈IΨA,b(Xi)=ΨA,b(∧i∈IXi)成立；

充分性.若ΨA,b為腐蝕，由腐蝕的定義可得：ΨA,b(∧i∈IXi)=∧i∈IΨA,b(Xi)，設(shè)Xi?Ed,對(duì)于任意的h∈ΨA,b(∧i∈IXi)，由引理1可等價(jià)為：b(t∧i∈IXi(a1+h),…，t∧i∈IXi(an+h))=1，因?yàn)棣稟,b(∧i∈IXi)=∧i∈IΨA,b(Xi)，故h∈∧i∈IΨA,b(Xi)，由∧i∈IΨA,b(Xi)的定義和引理1 等價(jià)為：∧i∈Ib(tXi(a1+h),…，tXi(an+h))=1，故有以下等式成立:

b(t∧i∈IXi(a1+h),…，t∧i∈IXi(an+h))=

∧i∈Ib(tXi(a1+h),…，tXi(an+h))=1，

即滿足b(uv)=b(u)b(v)；對(duì)于任意的h∈ΨA,b(X)，由引理1可得：b(tX(a1+h),…，tX(an+h))=1，又因?yàn)棣稟,b(X)為腐蝕，則有Ah?X，即對(duì)于任意的ai，i=1,2,3,…,n，都有ai+h∈X，則所有tX(ai+h)=1，得b(1)=1，由定義可得b為乘性的.

(2)必要性.設(shè)h∈Ed，對(duì)于任意的h∈ΨA,b(∨i∈IXi)，由引理1可得：b(t∨i∈IXi(a1+h),…，t∨i∈IXi(an+h))=1，又因?yàn)閎為加性的布爾函數(shù)，故有：∨i∈Ib(tXi(a1+h),…，tXi(an+h))=1，必存在i0∈I,使得b(tXi0(a1+h),…，tXi0(an+h))=1，故h∈ΨA,b(Xi0)，又因?yàn)棣稟,b(Xi0)?∨i∈IΨA,b(Xi)，故ΨA,b(∨i∈IXi)?∨i∈IΨA,b(Xi)；同理可證∨i∈IΨA,b(Xi)?ΨA,b(∨i∈IXi)，綜上有∨i∈IΨA,b(Xi)=ΨA,b(∨i∈IXi)成立；

充分性.若ΨA,b為膨脹，即有ΨA,b(∨i∈IXi)=∨i∈IΨA,b(Xi)，設(shè)Xi?Ed,由ΨA,b(∨i∈IXi)的定義和引理1可得：b(t∨i∈IXi(a1+h),…，t∨i∈IXi(an+h))=1，因?yàn)棣稟,b(∨i∈IXi)=∨i∈IΨA,b(Xi)，則根據(jù)∨i∈IΨA，b(Xi)定義和引理1可得：∨i∈Ib(tXi(a1+h),…，tXi(an+h))=1，故有以下等式成立：

b(t∨i∈IXi(a1+h),…，t∨i∈IXi(an+h))=

∨i∈Ib(tXi(a1+h),…，tXi(an+h))=1，

即滿足b(u+v)=b(u)+b(v)；對(duì)于任意的h?ΨA,b(X)，根據(jù)引理1可得：b(tX(a1+h),…，tX(an+h))=0，由ΨA,b(X)是膨脹且h?ΨA,b(X)，則有Ah∩X=?，即對(duì)于任意的ai∈A,i=1,2,3,…，n，都有ai+h?X，即所有的tX(ai+h)=0，得b(0)=0，則b為加性的.

文獻(xiàn)[4]中有以下結(jié)論.

結(jié)論1 任何一個(gè)乘性的布爾函數(shù)b可以表示成如下形式：

b(u1,u2,…，un)=(c1+u1)(c2+u2)…

(cn+un),ci∈{0,1}.

(1)

結(jié)論2 任何一個(gè)加性的布爾函數(shù)b可以表示成如下形式：

b(u1,u2,…，un)=c1u1+c2u2+…+cnun,

ci∈{0,1}.

(2)

根據(jù)命題1和文獻(xiàn)[4]中已有結(jié)論可知：

結(jié)論3 在(1)式中，取ci=0,?i=1,2,3,…，n，則有b(u1,u2,…,un)=u1·u2·…un，令ui=tX(ai+h),其中ai∈A,可得ΨA,b(X)表達(dá)式為：

(3)

結(jié)論4 在(2)式中，取ci=0,?i=1,2,3,…,n，則有b(u1,u2,…，un)=u1+u2+…+un，令ui=tX(ai+h)，其中ai∈A,可得ΨA,b(X)表達(dá)式為：

(4)

以上研究表明二值形態(tài)變換可以通過(guò)選取適當(dāng)性質(zhì)的布爾函數(shù)進(jìn)行描述，但是從(3)式表示的腐蝕和(4)式表示的膨脹可以看出，兩種運(yùn)算只考慮了(1)式中所有ci=0和(2)式中所有ci=1的特殊情況，而對(duì)其它的情況沒有作討論.當(dāng)考慮(1)式中，部分ci=0時(shí)，則有b(u1,u2,…，un)=u1·u2·…·us，其中1≤s≤n，根據(jù)文獻(xiàn)[4]中秩函數(shù)rs的定義，則有：

由命題1知ρA,rs也是腐蝕運(yùn)算.從形式上看，ρA,rs表示的腐蝕運(yùn)算比經(jīng)典的腐蝕運(yùn)算更具一般性，將為擴(kuò)展二值形態(tài)變換提供新的途徑，同時(shí)也為形態(tài)學(xué)應(yīng)用算法的研究提出了一種新的思路.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文從代數(shù)理論入手，引入一個(gè)結(jié)構(gòu)化映射，通過(guò)選取適當(dāng)性質(zhì)的布爾函數(shù)描述形態(tài)變換，將基于集合定義的形態(tài)變換擴(kuò)展到基于結(jié)構(gòu)化映射表示的形態(tài)變換，為形態(tài)變換的擴(kuò)展提供了新的途徑，也為今后擴(kuò)充一類具有形態(tài)變換形式的廣義形態(tài)算子，以及從結(jié)構(gòu)化的角度描述形態(tài)變換的代數(shù)結(jié)構(gòu)及代數(shù)表現(xiàn)形式提供理論依據(jù)[8，9]，此外對(duì)形態(tài)變換在圖像處理中的應(yīng)用也具有一定的指導(dǎo)意義.

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