余 雷，滿家巨*，劉利剛

(1.湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，中國長沙 410081;2.浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系，中國杭州 310027)

圖像去噪問題是由觀測的退化圖像估計(jì)原圖像要求在有效去除噪聲的同時(shí)能保證圖像邊緣等重要特征.利用稀疏表達(dá)的思想進(jìn)行圖像去噪當(dāng)前受到研究者們的關(guān)注.該方法最初只是考慮了單一小波系數(shù)的稀疏性，并由此提出一系列收縮算法［1-2］.文獻(xiàn)［3］利用冗余字典來保證移不變性質(zhì);文獻(xiàn)［4-6］以具有方向性的多尺度冗余變換如curvelet，contourlet，wedgelet，bandlet 作為字典的方法.這些算法均采用預(yù)先選取一組小波基作為字典.但是利用這些已知字典表示圖像缺乏自適應(yīng)性.目前比較流行基于學(xué)習(xí)的字典獲取方式，如文獻(xiàn)［7］中，作者進(jìn)行了兩組實(shí)驗(yàn):分別從大量自然圖像集和噪聲圖像本身學(xué)習(xí)出字典，均獲得較好的去噪效果.

一般利用貝葉斯方法求解圖像處理中的反問題時(shí)，都會(huì)對(duì)圖像做一個(gè)先驗(yàn)假設(shè)，例如圖像的空間平滑性、最大(小)熵或者在某些變換域稀疏等.文獻(xiàn)［8］提出利用稀疏表達(dá)進(jìn)行圖像上采樣，文中作者通過從自然圖像的高分辨率和低分辨率版本中成對(duì)采樣學(xué)習(xí)字典，最終得到圖像邊緣和細(xì)節(jié)得到較好恢復(fù)的上采樣結(jié)果.受該文獻(xiàn)啟發(fā)，本文嘗試將自然圖像和其經(jīng)過預(yù)處理的噪聲圖像對(duì)作為樣本聯(lián)合訓(xùn)練構(gòu)造一種新的字典，再利用圖像在相應(yīng)字典上的稀疏分解達(dá)到去噪聲的目的.

1 基于稀疏表達(dá)的圖像去噪

匹配追蹤［9］和基追蹤［10］去噪算法的提出將圖像去噪問題轉(zhuǎn)換成圖像在冗余字典上的稀疏分解問題.通常圖像去噪算法處理的是受均值為零的高斯白噪聲污染的圖像，即希望從以下觀測圖像y 估計(jì)圖像的清晰版本:y=x+N(0，δ).文獻(xiàn)［7］提出的稀疏表示模型假設(shè)自然圖像可以被某一字典D 近似稀疏表示，即的解是稀疏的，其中‖α‖0表示向量α 中非0 元素的個(gè)數(shù).可以通過求解下式構(gòu)造最大后驗(yàn)概率估計(jì)以去除噪聲:

其中，T 由用字典D 稀疏表示圖像的準(zhǔn)確程度和圖像噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差σ 決定.該優(yōu)化的求解可以采用諸如匹配追蹤(MP［9］)、正交匹配追蹤(OMP［11］)、基追蹤(BP［10］)、梯度投影法(GPSR［12］)、FOCUSS 等算法.因此便可以得到去噪圖像

基于稀疏分解的圖像去噪算法需要事先確定一個(gè)字典(即一組基或者一種變換)，使得圖像在其上有足夠稀疏的表達(dá)系數(shù).用隨意選取的固定字典近似表示任意自然圖像精度很難保證.近年廣受關(guān)注的基于學(xué)習(xí)的字典獲取方法在一定程度上解決了這個(gè)問題.該方法從大量自然圖像經(jīng)過學(xué)習(xí)得到具有某種結(jié)構(gòu)特征的字典，本文稱之為單字典.從統(tǒng)計(jì)意義上來講，這種單字典中部分原子的線性組合可以表示任意一幅與訓(xùn)練樣本具有類似結(jié)構(gòu)特征的自然圖像.但是具體到某一幅圖像或者某一類特殊的應(yīng)用時(shí)，其針對(duì)性不強(qiáng).考慮到圖像復(fù)原問題中總會(huì)涉及同一幅圖像的兩個(gè)版本，如果學(xué)習(xí)所得的字典能夠記錄兩個(gè)版本之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么從觀測圖像估計(jì)原圖將會(huì)具有更強(qiáng)的指向性，從而所估計(jì)的圖像也會(huì)在結(jié)構(gòu)上與原圖更加接近.

2 基于多類型樣本學(xué)習(xí)的聯(lián)合字典

假定我們已經(jīng)搜集大量某種類型的無污染的自然圖像版本(下文簡稱X 版本)，對(duì)其模擬噪聲干擾，再通過簡單空間濾波得到所有圖像的低質(zhì)量版本(下文簡稱Z 版本)，然后通過這兩類圖像樣本聯(lián)合學(xué)習(xí)以獲得字典.由于濾波處理有一定的抑制噪聲的作用，但同時(shí)模糊了圖像細(xì)節(jié).因此我們預(yù)先提取低質(zhì)量圖像的結(jié)構(gòu)特征作為復(fù)原圖像結(jié)構(gòu)特征的近似估計(jì)，以此建立低質(zhì)量與高質(zhì)量圖像之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系.為此，采用式(1)的4 個(gè)特征提取算子對(duì)該Z 版本圖像進(jìn)行處理，即圖像庫中的每一幅X 版本圖像，其Z 版本在4 個(gè)特征提取算子的作用下得到4 幅相應(yīng)的圖像Zi1，Zi2，Zi3，Zi4.若在圖像Xi中以(i，j)為中心的鄰域內(nèi)采樣，那么應(yīng)該同時(shí)在相應(yīng)的4 幅圖像Zi1，Zi2，Zi3，Zi4中的相同位置采樣.與單字典學(xué)習(xí)方法類似，若要分別以干凈圖像和經(jīng)濾波處理的低質(zhì)量圖像為樣本學(xué)習(xí)字典，可以采用以下形式的優(yōu)化［27］(文獻(xiàn)［13－14］證明了采用l1范數(shù)替換l0范數(shù)的合理性).

其中A，X 分別表示系數(shù)矩陣和樣本矩陣.本文采用如圖1 的采樣方式，將上述所有樣本順次連接，即將(2)(3)式統(tǒng)一成(4):

其中n，m 分別表示從不同版本圖像采集樣本的維數(shù).再利用K-SVD 算法求解該式，所得字典稱之為聯(lián)合字典.最后，按樣本的組合方式對(duì)該聯(lián)合字典進(jìn)行拆分得到兩個(gè)字典:Dclr，Dflt.由于此處所采用的樣本來自于高質(zhì)量圖像塊和相同位置低質(zhì)量圖像塊的4 幅結(jié)構(gòu)特征圖像的組合，一幅圖像相同位置應(yīng)該具有同樣的結(jié)構(gòu)特征.由字典的學(xué)習(xí)過程可知，字典本質(zhì)上是訓(xùn)練樣本更緊湊的一種表示形式.圖3 為本文訓(xùn)練所得的一個(gè)字典，可見其中包含指向不同方向的邊緣.因此，采用這種方式搜集樣本無疑可以幫助我們獲得對(duì)擁有某類結(jié)構(gòu)的圖像更準(zhǔn)確的表達(dá).而且不難發(fā)現(xiàn)，通過一次訓(xùn)練獲得的這兩個(gè)字典不僅和單字典一樣具有某類圖像的結(jié)構(gòu)特征，更重要的是它們之間具有該類圖像不同版本之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.另外，聯(lián)合字典的學(xué)習(xí)過程表明一幅自然圖像的兩種版本X 和Z 被聯(lián)合字典表示時(shí)共用一組表示系數(shù).因此，當(dāng)已知圖像的Z 版本時(shí)，可以先將其在相應(yīng)的字典Dflt上進(jìn)行稀疏分解，所得系數(shù)與同時(shí)訓(xùn)練所得字典Dclr組合即可作為對(duì)原圖的估計(jì).圖2 即為通過采用本文聯(lián)合訓(xùn)練方法獲得的一個(gè)字典的一部分.

圖1 聯(lián)合字典學(xué)習(xí)的采樣過程Fig.1 Sampling process of joint-dictionary

圖2 本文方法學(xué)習(xí)所得字典的Dclr部分Fig.2 A dictionary learnt with the method from this paper

現(xiàn)將多類型樣本的聯(lián)合字典訓(xùn)練算法總結(jié)如下:

(1)從不同版本的圖像采樣，初始化DC為高斯隨機(jī)矩陣，并將矩陣的每一列規(guī)范化;

(2)采用匹配追蹤算法求解下式，找到樣本C 在字典DC上的分解系數(shù)A:

(3)用K-SVD 算法求解以下優(yōu)化函數(shù)，得到聯(lián)合字典DC:

(4)重復(fù)2，3 兩步直到系數(shù)收斂到一組穩(wěn)定值;

(5)按照樣本的組合方式對(duì)所得聯(lián)合字典進(jìn)行拆分，得到所需要的兩個(gè)字典，它們分別對(duì)應(yīng)于不同類型的圖像樣本.

獲得字典后，可以通過求解以下優(yōu)化獲得圖像在該字典上的稀疏分解系數(shù)α:

其中F 同樣是式(1)的4 個(gè)特征提取算子，需要保證處理方式與字典的訓(xùn)練過程一致.在實(shí)際操作中，為了避免優(yōu)化函數(shù)的規(guī)模過大，以一定大小的圖像塊為單位進(jìn)行估計(jì)，最后再將結(jié)果拼接整合得到最終的復(fù)原圖像.如式(5)所示，在求每一個(gè)子圖像塊的表達(dá)系數(shù)時(shí)先對(duì)每一塊提取特征，這一處理也包含了當(dāng)前子塊的鄰域信息，所以部分重疊的依次處理圖像中的每個(gè)子塊后，它們能夠很好的兼容在一起.現(xiàn)將基于聯(lián)合字典的圖像去噪算法流程總結(jié)如下.

算法:

(1)輸入:離線訓(xùn)練的字典Dclr，Dflt以及噪聲圖像Y;

(2)對(duì)圖像Y 做簡單的濾波處理(本文分別采用了高斯濾波和雙邊濾波進(jìn)行測試)得到低質(zhì)量圖像Z;

(3)以掃描順序從左到右，從上到下部分重疊的依次選取圖像Z 中的每一個(gè)k×k 的子圖像塊zi(i=1，2，…，n)(n 是子圖總個(gè)數(shù))，通過優(yōu)化求得稀疏系數(shù)α;

(4)由xi=Dclrα，(i=1，2，…，n)得到對(duì)應(yīng)的子圖像塊x，并將其放入去噪圖像^X;

(5)重復(fù)3，4 兩步直到Z 中所有子圖像塊被處理完.輸出去噪圖像^X.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本實(shí)驗(yàn)中，采用文獻(xiàn)［8］中的圖像庫作為學(xué)習(xí)字典的訓(xùn)練集.分別采用高斯和雙邊濾波兩種處理方式得到Z 版本圖像，訓(xùn)練出相應(yīng)的兩組聯(lián)合字典.對(duì)于訓(xùn)練圖像采用以下參數(shù)獲取相應(yīng)的X 版本和Z 版本:高斯白噪聲選擇δ=25，高斯濾波處理的模板大小與選取的子圖像塊大小相同，本文所有實(shí)驗(yàn)都采用5×5 的子圖像塊，標(biāo)準(zhǔn)差為2(這個(gè)值越大平滑過后的圖像越模糊)，雙邊濾波中控制顏色和距離的兩個(gè)參數(shù)分別取為3 和0.2.采用如圖1 的采樣方式，從該圖像訓(xùn)練集隨機(jī)采集100 000 組子圖像對(duì)樣本用于離線訓(xùn)練超完備子典.從計(jì)算時(shí)間和圖像質(zhì)量兩方面權(quán)衡，本實(shí)驗(yàn)字典的原子個(gè)數(shù)取512，即對(duì)應(yīng)于X 版本圖像的字典是25×512 的矩陣.表1 表示利用高斯濾波處理訓(xùn)練的字典和同樣的預(yù)處理方式進(jìn)行恢復(fù)結(jié)果.表2 表示利用雙邊濾波處理訓(xùn)練字典的恢復(fù)結(jié)果.兩種情況下，本文方法都比單純采用對(duì)應(yīng)的濾波方法恢復(fù)的結(jié)果好.

表1 測試結(jié)果(PSNR:dB)Tab.1 Testing result(PSNR:dB)

表2 測試結(jié)果(PSNR:dB)(δ 表示噪聲強(qiáng)度，σ 表示雙邊濾波的一個(gè)參數(shù)，值越大圖像越平滑)Tab.2 Testing result(PSNR:dB)(δ is noise intensity，σ is a parameter of bilateral filtering，the bigger the image will be smoother)

在本實(shí)驗(yàn)有限的測試過程中，隨著噪聲強(qiáng)度的增大，通過調(diào)節(jié)濾波器的參數(shù)使其達(dá)到一定的平滑程度后，用本文方法恢復(fù)的去噪結(jié)果在PSNR 值上總可以比單純的使用濾波方法高，但是從視覺上可接受的程度來講，噪聲強(qiáng)度太大導(dǎo)致?lián)p失掉的信息太多，此時(shí)無論什么方法都無法恢復(fù)出視覺上可接受的結(jié)果.圖3 和圖4 分別展示了不同噪聲強(qiáng)度下利用高斯濾波作為預(yù)處理方法的去噪結(jié)果圖像.從矩形框標(biāo)記的部位可見本文方法在去噪的同時(shí)能夠比單純?yōu)V波更好的保持圖像細(xì)節(jié).圖3 和圖4 分別展示了不同噪聲強(qiáng)度下利用雙邊濾波作為預(yù)處理方法的去噪結(jié)果.可見當(dāng)噪聲干擾較大的時(shí)候，盡管雙邊濾波可以通過調(diào)整參數(shù)控制圖像的平滑程度，但過度平滑也是不可避免的，從而導(dǎo)致圖像失真，這種情況下本文方法比單純的雙邊濾波方法會(huì)使圖像顯得更加真實(shí).

圖3 第1 列表示δ=25 的噪聲圖像，第2 列表示高斯濾波的去噪結(jié)果，第3 列表示本文方法的去噪結(jié)果Fig.3 Column 1st are noisy images with δ=25，column 2nd are denoise results by gaussian filtering，column 3rd are denoise results from this page

圖4 第1 列表示δ=50 的噪聲圖像，第2 列表示σ=［3，0，3］的雙邊濾波去噪結(jié)果，第3 列表示本文方法的去噪結(jié)果Fig.4 Column 1st are noisy images with δ=50，column 2nd are denoise results by bilateral filtering with parameter［3，0，3］，column 3rd are denoise results from this page

4 結(jié)論

本文提出采用聯(lián)合字典學(xué)習(xí)的方法進(jìn)行圖像去噪.這種方法結(jié)合了字典訓(xùn)練能夠?qū)W習(xí)獲得圖像的結(jié)構(gòu)信息以及成對(duì)學(xué)習(xí)能夠獲取圖像對(duì)之間的相關(guān)性這兩者的優(yōu)點(diǎn).既能很好的提取圖像的結(jié)構(gòu)信息，同時(shí)學(xué)習(xí)得到的字典里包含的高、低質(zhì)量圖像對(duì)之間的關(guān)系也為我們提供了去噪圖像的先驗(yàn)知識(shí).從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可見，本文方法在去噪的同時(shí)比單純的濾波方法能夠更好地保持圖像的真實(shí)性.在某種意義上比一些傳統(tǒng)的去噪算法更具優(yōu)勢(shì).本實(shí)驗(yàn)同樣啟發(fā)我們相信通過對(duì)圖像訓(xùn)練樣本更有針對(duì)性的設(shè)計(jì)，本文方法同樣適用于其他類似圖像的復(fù)原問題.

［1］DONOHO D L，JOHNSTONE I M.Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage［J］.Biometrika，1994，81(3):425-455.

［2］DONOHO D L.De-noising by soft thresholding［J］.IEEE Trans Inf Theory，1995，41(3):613-627.

［3］COIFMAN R，DONOHO D L.Translation invariant de-noising［J］.In Wavelets and Statistics，Lecture Notes in Statistics，1995，125-150.

［4］STARCK J L，CANDES E J，DONOHO D L.The curvelet transform for image denoising［J］.IEEE Trans Image Proc，2002，11(6):670-684.

［5］ESLAMI R，RADHA H.Translation-invariant contourlet transform and its application to image denoising［J］.IEEE Trans Image Proc，2006，15(11):3362-3374.

［6］MATALON B，ELAD M，ZIBULEVSKY M.Improved denoising of images using modeling of the redundant contourlet transform［J］.it Presented at the SPIE Conf Wavelets，Jul，2005.

［7］ELAD M，AHARON M.Image denoising via sparse and redundant representation over learned dictionaries［J］.IEEE Trans Image Proc，2006，15(12):3736-3745.

［8］YANG J，WRIGHT J，HUANG T，et al.Image super-resolution via sparse representation［J］.IEEE Trans Image Proc，2010，19(11):2861-2873.

［9］MALLAT S，ZHANG Z.Matching pursuit in a time-frequency dictionary［J］.IEEE Trans Signal Proc，1993，41:3397-3415.

［10］CHEN S S，DONOHO D L，SAUNDERS M A.Atomic decomposition by basis pursuit［J］.Soc Ind Appl Math Rev，2001，43(1):129-159.

［11］PATI Y C，REZAIIFAR R，KRISHNAPRASAD P S.Orthogonal matching pursuit:Recursive function approximation with applications to wavelet decomposition presented at the 27th Annu［M］.Asilomar Conf Signals，Systems，and Computers，1993.

［12］FIQUEIREDO M A T，NOWAK R D，WRIGHT S J.Gradient projection for sparse reconstruction:Application to compressed sensing and other inverse problem［J］.IEEE J Selected Topics Signal Proc，2007，1(4):586-598.

［13］DONOHO D L.For most large underdetermined systems of linear equations，the minimal l1-norm solution is also the sparsest solution［J］.Commun Pure Appl Math，2006，59(6):797-829.

［14］DONOHO D L.For most large underdetermined systems of linear equations，the minimal l1-norm near-solution approximates the sparsest near-solution［J］.Commun Pure Appl Math，2006，59(7):907-934.