楊 倫，樓文娟，潘小濤

浙江大學結(jié)構(gòu)工程研究所，杭州310058

舞動是輸電導線在惡劣風雨雪冰凍氣候條件下產(chǎn)生的大幅低頻振動，會對輸電塔線造成構(gòu)件及電氣方面的損壞，危害電網(wǎng)的安全和電力的正常供應(yīng)［1-2］.

自Den Hartog［3］和Nigol 等［4］分別提出豎向和扭轉(zhuǎn)舞動機理以來，不少學者針對覆冰導線提出了各種二自由度［5-6］和三自由度耦合舞動質(zhì)點模型［7-8］，并采用攝動法、多尺度法等近似解析的方式求解了舞動響應(yīng). 然而鑒于質(zhì)點舞動模型無法考慮導線大幅振動所致的幾何非線性效應(yīng)，Luongo［9］、Liu［10］和Yan［11］等建立了二維或三維連續(xù)體耦合非線性模型，并針對導線在初始條件下的舞動穩(wěn)定性、分岔特征以及內(nèi)共振模式展開了一系列的定性分析. 值得注意的是，以上連續(xù)體舞動模型仍然過于簡化，忽略了實際大氣環(huán)境下線路不均勻覆冰、幾何剛度時變特征、不同階振型之間的耦合效應(yīng)以及不同檔距導線之間的相互作用等因素的影響，不能有效反映輸電線路舞動響應(yīng)的動態(tài)物理特征. 為此，Desai 等［12］針對覆冰導線舞動的非線性特征，提出了三節(jié)點拋物線索單元，并建立了用于單導線舞動分析的非線性有限元法. 與商業(yè)有限元軟件提供的索單元不同的是，Desai 提出的索單元具有扭轉(zhuǎn)自由度，同時能考慮偏心覆冰對舞動的影響. 李黎等［13］利用具有扭轉(zhuǎn)自由度的二節(jié)點索單元，并通過將分裂導線等效為單導線的方式，建立了連續(xù)多檔距覆冰導線有限元模型. 然而有關(guān)研究表明，將分裂導線等效為單根導線無法考慮子導線之間的尾流干擾效應(yīng)，從而導致得出的舞動幅值偏小［14］. 因此，劉小會等［15］基于Desai 提出的三節(jié)點拋物線索單元，采用對索節(jié)點扭轉(zhuǎn)自由度擴充為3 個方向上轉(zhuǎn)動自由度的方式，建立了能夠?qū)Ω髯訉Ь€施加不同氣動荷載，且考慮間隔棒與子導線運動耦合效應(yīng)的分裂導線有限元模型.

值得注意的是，覆冰分裂導線的扭轉(zhuǎn)剛度遠大于單導線，致使兩者在起舞機理方面有著顯著差別. 為此，本研究基于完全拉格朗日格式(Total Lagrange)，建立適用于單導線和分裂導線舞動數(shù)值模擬的非線性有限元動力分析方法，采用具有扭轉(zhuǎn)自由度的三節(jié)點拋物線索單元離散覆冰單導線. 對于覆冰分裂導線，在單導線有限元法的基礎(chǔ)上，利用歐拉梁單元模擬間隔棒的運動過程. 為盡可能地提高計算效率，提出梁單元轉(zhuǎn)動自由度縮聚法實現(xiàn)間隔棒與分裂子導線之間的耦合，并運用隨轉(zhuǎn)坐標系法求解舞動過程中的梁節(jié)點不平衡力. 在此基礎(chǔ)上，結(jié)合覆冰導線氣動力系數(shù)的風洞試驗結(jié)果，分別考察覆冰單導線和四分裂導線在湍流和均勻流場中的起舞機理和舞動響應(yīng)特征之異同.

1 覆冰導線有限元法

1.1 單導線的動力平衡方程和氣動荷載

基于完全拉格朗日格式，具有扭轉(zhuǎn)自由度的三節(jié)點拋物線索單元描述導線單元的非線性動力平衡方程［12］為

如圖1 所示，作用于覆冰導線某截面的氣動荷載可表示為

其中，F(xiàn)x、Fy和M 分別為x 向、y 向和扭轉(zhuǎn)向的節(jié)點氣動荷載;ρair為空氣密度;D 為導線直徑;Uz為來流風速;CL、CD和CM分別是導線截面的升力系數(shù)、阻力系數(shù)和扭轉(zhuǎn)系數(shù)，與導線覆冰形狀和風對導線的攻角α 有關(guān)，

其中，˙y 為豎向運動速度;β 和θ 分別為初始風攻角和t 時刻導線的扭轉(zhuǎn)角. 式(6)右第3 和第4 項分別代表導線豎向和扭轉(zhuǎn)運動速度對總風攻角的影響.

圖1 覆冰導線截面風攻角及受力Fig.1 Attack angle and aerodynamic force of iced conductor

1.2 覆冰分裂導線有限元模型

分裂導線由多根單導線和間隔棒共同組成. 間隔棒的作用在于保持子導線間距，防止子導線之間由于電磁吸引以及風力而引發(fā)的相互靠近和碰撞鞭擊. 同時，受間隔棒約束作用的影響，分裂導線舞動時表現(xiàn)為顯著的整體運動. 因此從數(shù)值模擬的角度來看，只需對按照一定規(guī)律排列的多根子導線構(gòu)成的振動系統(tǒng)中加入模擬間隔棒的梁單元即可. 這一過程中首先需要解決的是如何高效、可靠地實現(xiàn)分裂子導線與間隔棒的連接. 另外，分裂導線發(fā)生舞動時間隔棒的運動表現(xiàn)出典型的大轉(zhuǎn)動、小應(yīng)變特征，精確求解間隔棒在運動過程中的單元不平衡抗力向量，是保證舞動計算收斂性的關(guān)鍵. 本研究分別采用梁單元轉(zhuǎn)動自由度縮聚和隨轉(zhuǎn)坐標系法［16］，實現(xiàn)子導線與間隔棒的連接，并求解梁單元節(jié)點的不平衡抗力向量.

1.2.1 分裂子導線與間隔棒的連接

分裂導線由單導線和間隔棒組成，其有限元模型如圖2 所示. 各子導線之間通過由歐拉梁單元模擬的間隔棒相連，其中梁單元節(jié)點有3 個平動自由度及3 個扭轉(zhuǎn)自由度，子導線單元節(jié)點有3 個平動自由度和1 個轉(zhuǎn)動自由度.

圖2 分裂導線有限元模型Fig.2 Finite element model of bundled conductors

針對分裂子導線與間隔棒的連接問題，文獻［15］提出一種對索單元節(jié)點扭轉(zhuǎn)自由度擴張的方式來模擬子導線與間隔棒的連接. 即在間隔棒與子導線的交點處，將索節(jié)點扭轉(zhuǎn)自由度投影至梁節(jié)點3個方向的轉(zhuǎn)動自由度上，交點處索節(jié)點自由度數(shù)由4 個增加至6 個. 采用該連接方式會在一定程度上增加整個系統(tǒng)的自由度數(shù)，從而影響求解效率.

為盡可能地減小計算量，提高舞動分析效率，本研究采用對梁節(jié)點扭轉(zhuǎn)自由度縮聚的方法實現(xiàn)梁單元節(jié)點與索單元節(jié)點的耦合. 在間隔棒與子導線的連接處，保持索單元節(jié)點的4 個自由度不變，將梁單元節(jié)點在整體坐標系下的3 個轉(zhuǎn)動自由度縮聚為1 個沿索單元軸線方向的扭轉(zhuǎn)自由度. 以導線初始構(gòu)型為參考構(gòu)型，t 時刻梁單元在整體坐標系下的節(jié)點位移向量可表示為

圖3 分裂子導線與間隔棒的連接Fig.3 Connection between sub-conductor and space rod

1.2.2 梁單元節(jié)點抗力的計算

分裂導線舞動過程中，間隔棒的節(jié)點位移可分解為剛體運動和單元變形兩部分. 傳統(tǒng)的完全拉格朗日列式法僅適用于轉(zhuǎn)動較小的情形，轉(zhuǎn)動位移較大時無法有效分離單元的剛體轉(zhuǎn)動和單元變形，導致在結(jié)構(gòu)非線性增量求解過程中無法精確計算由于純變形產(chǎn)生的單元抗力. 為此，本研究運用隨轉(zhuǎn)坐標系方法［16］解決問題. 如圖4，選定t = 0 時刻梁單元構(gòu)型所在的局部坐標系為初始坐標系，則t 時刻梁單元節(jié)點在初始坐標系下的位移向量可表示為

圖4 梁單元不同時刻的構(gòu)型Fig.4 Configurations of beam element at different time

在初始局部坐標系下梁單元兩端平動位移增量可表示為

由于梁單元在運動過程中變形較小，因此在t 時刻的弦長Lt可表示為

則梁單元的伸長量ΔLt為

如圖5，將梁單元在t 時刻局部坐標系的坐標原點移至初始時刻局部坐標系的坐標原點，則轉(zhuǎn)動剛體位移可用梁端位移平動位移增量和扭轉(zhuǎn)角表示為

梁節(jié)點在t 時刻局部坐標系下的轉(zhuǎn)動變形位移為

將梁單元在局部坐標系下的單元抗力轉(zhuǎn)換至整體坐標系下，并進行自由度縮聚，可得梁單元在整體坐標系下的節(jié)點抗力為

圖5 梁單元轉(zhuǎn)動剛體位移Fig.5 Rigid rotational displacement of beam element

1.3 非線性動力方程的求解

求得表征子導線和間隔棒舞動特性的單元矩陣和荷載向量后，便可根據(jù)單元定位向量獲得單導線或者分裂導線系統(tǒng)的非線性運動方程. 本研究采用無條件穩(wěn)定的Newmark 法對方程直接積分求解，并運用Newton-Raphson 法對每個時間步末尾的位移向量進行迭代求解. Newmark 法采用平均加速度方案，即積分精度參數(shù)α 和穩(wěn)定性參數(shù)β 分別取0.25和0.5. 那么t 至t +Δt 過程中，基于完全拉格朗日格式的遞推迭代公式可表示為［18］

2 有限元算例驗證

為驗證本研究計算分裂導線方法的有效性，以某工程的單跨四分裂導線為例，采用本研究方法和ANSYS 有限元軟件求解導線舞動響應(yīng). 分裂導線等間距設(shè)置5 組間隔棒，子導線物理參數(shù)如表1.

表1 覆冰導線物理參數(shù)Table 1 Physical parameters of iced conductor

ANSYS 模型中分別采用Link 10 單元和Beam 4單元離散子導線和間隔棒. 由于分裂導線的整體抗扭剛度比子導線繞自身軸的抗扭剛度大得多，因此在ANSYS 模型中不考慮子導線的抗扭剛度. 本研究計算模型中，每根子導線劃分20 個三節(jié)點拋物線索單元. 鑒于Link 10 單元是2 節(jié)點單元，為保證兩種方法的節(jié)點數(shù)量保持一致，ANSYS 計算模型中每根子導線劃分40 個單元.

分別在每根子導線跨中節(jié)點上同時施加400 N、400 N 和40 N·m 的垂直、水平和扭轉(zhuǎn)向突加荷載.經(jīng)計算，兩種方法所得的子導線跨中位移時間歷程如圖6. 不難看出，兩種方法得出的計算結(jié)果吻合很好，說明本算法可靠有效.

圖6 子導線跨中位移時程Fig.6 Time histories of displacement of sub-conductor at the mid-span

3 覆冰導線舞動數(shù)值模擬

3.1 覆冰導線氣動力

以新月形覆冰為例，制作1∶1 四分裂導線節(jié)段模型，模型長度為1.0 m. 鑒于舞動發(fā)生時的風速大多低于20 m/s，本研究試驗風速取為15 m/s. 利用高頻動態(tài)測力天平，考察導線在均勻流和6%均勻湍流場下新月形覆冰四分裂導線整體氣動三分力系數(shù)隨攻角的變化規(guī)律(如圖7).

圖7 覆冰導線氣動三分力系數(shù)隨風攻角的變化規(guī)律Fig.7 Aerodynamic coefficients of iced conductor versus wind attack angle

由于Den Hartog 系數(shù)和Nigol 系數(shù)分別體現(xiàn)了覆冰導線的豎向和扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定性，因此結(jié)合氣動力測試結(jié)果，給出了以上2 類系數(shù)隨初始攻角的變化規(guī)律(如圖8). 不難看出，初始攻角落在25°和175°附近時兩類系數(shù)均小于零，說明在此情形下導線極有可能喪失穩(wěn)定性.

3.2 覆冰導線舞動響應(yīng)分析

以表1 導線參數(shù)為例，采用本研究提出的有限元法，分別對單根和四分裂導線在均勻流和湍流條件下進行舞動分析. 結(jié)合圖8 給出的不穩(wěn)定攻角范圍，選取25°和175°為初始風攻角. 鑒于舞動屬于典型的自激振動，主要與平均風荷載有關(guān)，計算風速取為13 m/s. 另外，為保證算法的收斂性，舞動計算的時間步長取為0.01 s.

3.2.1 覆冰單導線舞動響應(yīng)分析

圖9 為25°攻角下覆冰單導線在2 類流場下的跨中舞動響應(yīng). 初始風攻角為25°時，無論在湍流還是均勻流作用下，單導線在垂直方向上均保持穩(wěn)定. 但在這2 種流場中未發(fā)生舞動的原因有著本質(zhì)區(qū)別:在湍流場中，雖然Den Hartog 系數(shù)和Nigol系數(shù)均為負，但是單導線的抗扭剛度很小，在扭轉(zhuǎn)系不穩(wěn)定攻角范圍內(nèi)，單導線會發(fā)生振幅較大的扭轉(zhuǎn)舞動，使動態(tài)攻角極易脫離Den Hartog 系數(shù)小于零的區(qū)域，所以其豎向振動幅值很小，可認為保持穩(wěn)定;而流場為均勻流時，Den Hartog 系數(shù)和Nigol系數(shù)均為正，因此覆冰單導線并未發(fā)生舞動.

圖8 覆冰導線的Den Hartog 系數(shù)和Nigol 系數(shù)Fig.8 Nigol coefficient of iced conductor

圖9 25°風攻角下單導線在兩類流場中的跨中舞動響應(yīng)Fig.9 Galloping responses of mid-point of single conductor with attack angle of 25° in two types of flow field

圖10 給出當風向改變、使初始風攻角變?yōu)?75°時的導線舞動響應(yīng). 可見，湍流作用下覆冰單導線僅發(fā)生了大振幅的扭轉(zhuǎn)舞動，其機理與湍流場中25°初始風攻角下的舞動機制相同. 當流場為均勻流時，Nigol 系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎鳧en Hartog 系數(shù)為負，因此單導線發(fā)生了振幅較大的豎向舞動. 從圖9 (b)和圖10 (b)均不難發(fā)現(xiàn)，單導線扭轉(zhuǎn)舞動的特征頻率更高.

圖10 175°風攻角下單導線在兩類流場中的跨中舞動響應(yīng)Fig.10 Galloping responses of mid-point of single conductor with attack angle of 175° in two types of flow field

3.2.2 覆冰四分裂導線舞動響應(yīng)分析

圖11 為25°初始攻角下四分裂導線在兩類流場中的跨中舞動響應(yīng). 由于分裂導線的扭轉(zhuǎn)剛度較大，因此在湍流場中即使初始攻角落入Nigol 系數(shù)的不穩(wěn)定區(qū)域，其扭轉(zhuǎn)向僅發(fā)生了小幅振動. 在此情形下，Den Hartog 系數(shù)起主導作用，所以分裂導線發(fā)生了顯著的豎向舞動. 流場為均勻流時，Den Hartog 系數(shù)和Nigol 系數(shù)均大于零，因此分裂導線豎向和扭轉(zhuǎn)向均保持穩(wěn)定.

圖11 25°風攻角下分裂導線子導線在兩類流場中的跨中舞動響應(yīng)Fig.11 Galloping responses of mid-point of sub-conductor with attack angle of 25° in two types of flow field

圖12 175°風攻角下分裂導線子導線在兩類流場中的跨中舞動響應(yīng)Fig.12 Galloping responses of mid-point of sub-conductor with attack angle of 175° in two types of flow field

圖12 給出175°攻角下分裂導線的舞動響應(yīng).結(jié)合圖8 不難看出，在湍流場中，雖然Nigol 系數(shù)為負，但由于分裂導線的抗扭剛度較大且Den Hartog 系數(shù)大于零，導線并未舞動.然而在均勻流場中，Den Hartog 系數(shù)變?yōu)樨撝担虼朔至褜Ь€發(fā)生了振幅較大的豎向舞動. 同時，受豎向舞動的激勵作用，分裂導線在扭轉(zhuǎn)向發(fā)生了振幅較小的受迫振動.

結(jié) 語

基于完全拉格朗日格式，采用具有扭轉(zhuǎn)自由度的三節(jié)點拋物線索單元和歐拉梁單元，分別模擬導線和間隔棒，提出了梁節(jié)點自由度縮聚法，實現(xiàn)了子導線和間隔棒的連接，建立了適用于單導線和分裂導線舞動分析的非線性有限元法. 結(jié)合覆冰導線在湍流場和均勻流場中的氣動力測試結(jié)果，求解了新月形覆冰單導線和四分裂導線的舞動響應(yīng)，并揭示了單導線和分裂導線在不同流場中的起舞機理.研究表明:由于單導線抗扭剛度較小，在Nigol 系數(shù)為負的情況下會發(fā)生大幅扭轉(zhuǎn)舞動，所以動態(tài)攻角極易脫離升力系數(shù)的不穩(wěn)定區(qū)域，保證了單導線的豎向穩(wěn)定性;對于抗扭剛度較大的分裂導線來說，其氣動穩(wěn)定性主要受升力系數(shù)的特征控制，即使在Den Hartog 系數(shù)和Nigol 系數(shù)均為負的情況下，仍易發(fā)生大幅的豎向舞動. 下一步筆者將基于D 形覆冰四、六、八分裂導線子導線氣動力測試結(jié)果，對各子導線施加不同的氣動荷載，運用本文給出的非線性有限元算法，細致考察子導線間氣流干擾效應(yīng)對分裂導線舞動特征的影響.

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