谷坤明，謝偉苗，王 宇，高繼華

深圳大學(xué)材料學(xué)院，深圳市特種功能材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，深圳518060

混沌控制［1］與混沌同步［2］的先驅(qū)性工作始于20 世紀(jì)90 年代. 由于混沌運(yùn)動(dòng)的特性，混沌控制和混沌同步在激光、網(wǎng)絡(luò)安全等領(lǐng)域都有潛在的應(yīng)用價(jià)值，是復(fù)雜性研究的重要方向之一［3-11］. 目前，對(duì)混沌的研究存在從低維系統(tǒng)向高維系統(tǒng)發(fā)展的趨勢(shì)，時(shí)空混沌是混沌理論研究的熱點(diǎn)之一［12-21］. 與低維離散系統(tǒng)相比，時(shí)空系統(tǒng)模型更接近真實(shí)體系，對(duì)時(shí)空系統(tǒng)的研究可更有效針對(duì)實(shí)際系統(tǒng)中出現(xiàn)的復(fù)雜性問(wèn)題，有利于理論向?qū)嶋H應(yīng)用轉(zhuǎn)化. Hu 等［15］利用低維周期反饋信號(hào)成功控制了時(shí)空混沌系統(tǒng)，并建立了局域線性變量反饋(釘扎)方法的解析理論. Gao 等［16］提出廣義反饋方法的概念，并通過(guò)局域廣義反饋方法實(shí)現(xiàn)了控制時(shí)空混沌的數(shù)值實(shí)驗(yàn). 混沌控制的重點(diǎn)之一是如何在降低控制信號(hào)維數(shù)的同時(shí)提高可控時(shí)空系統(tǒng)維數(shù).Peng 等［17］提出用一組標(biāo)度信號(hào)控制超混沌;Xiao等［18］提出用單個(gè)控制器通過(guò)邊界控制一維偏流時(shí)空系統(tǒng);Gao 等［19］提出隨機(jī)巡游 (random itinerant)方法，通過(guò)單個(gè)控制器來(lái)控制二維時(shí)空系統(tǒng)，提高可控時(shí)空混沌系統(tǒng)的維數(shù);Gao 等［20］在此基礎(chǔ)上提出校正反饋巡游(rectificative feedback itinerant)方法，進(jìn)一步提高巡游控制方法的效率，大幅降低了控制器所需的反饋強(qiáng)度. 但是，校正反饋控制方法需實(shí)時(shí)跟蹤和測(cè)量全空間系統(tǒng)變量，不適于某些實(shí)際應(yīng)用情形. 本研究采用二維復(fù)金茲堡-朗道方程(complex Ginzburg-Landau equation，CGLE)作為時(shí)空混沌模型，提出一種混合巡游方法，增加校正概率作為新的控制參數(shù)，既突出了上述兩種巡游方法的優(yōu)點(diǎn)，又增加了巡游反饋方法的適用性.

1 模型與控制方法

設(shè)二維CGLE 系統(tǒng)為

其中，ε 是反饋控制強(qiáng)度;δ(x，y)是二元Dirac 函數(shù)，僅當(dāng)x = y = 0 時(shí)函數(shù)δ(x，y)≠0，且滿足全空間積分?δ(x，y)dxdy = 1;A^是周期目標(biāo)態(tài)，由式(2)確定;xc和yc是反饋控制器所處的空間位置.在隨機(jī)反饋巡游方法中，xc和yc每隔時(shí)間τ 在系統(tǒng)空間內(nèi)重新隨機(jī)選取1 次;在校正反饋巡游方法中，xc和yc每隔時(shí)間τ 選取1 次，使它們位于該時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)與目標(biāo)態(tài)差別最大的位置. 這里，τ 為巡游時(shí)間. 隨機(jī)巡游反饋方法能有效利用低維信號(hào)控制高維時(shí)空混沌系統(tǒng)，但因隨機(jī)選擇控制位置，所需控制強(qiáng)度較大，所以控制效率不高;而校正巡游反饋方法雖降低了所需的控制強(qiáng)度，但要及時(shí)跟蹤和測(cè)量全空間系統(tǒng)變量，并據(jù)此判斷得到系統(tǒng)與目標(biāo)態(tài)差別最大的位置坐標(biāo)，所以不適于某些情形. 本研究提出新的時(shí)空混沌控制方案，在式(3)中，每個(gè)巡游時(shí)間τ 以概率q 選擇校正巡游反饋方法，用概率1 - q 選擇隨機(jī)巡游反饋方法來(lái)控制系統(tǒng). 通過(guò)引入新的控制參數(shù)q，在不同場(chǎng)合最大限度地發(fā)揮隨機(jī)巡游和校正巡游反饋方法的優(yōu)勢(shì)，增加控制方法的靈活性. 這種時(shí)空混沌控制方法被稱為混合巡游方法(hybrid itinerant method).

2 數(shù)值模擬

通過(guò)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)可驗(yàn)證混合巡游方法的有效性，并討論校正概率在混沌控制過(guò)程中的作用. 控制方程(3)中設(shè)定參數(shù)c1= 2.1、c2= -1.5，則系統(tǒng)處于缺陷湍流態(tài). 系統(tǒng)尺寸為L(zhǎng) = 32，目標(biāo)態(tài)在式(2)中取mx= 1、my= 2. 為定量刻畫系統(tǒng)與周期目標(biāo)態(tài)之間的差值，引式(4)的P 函數(shù)來(lái)判斷兩者之間的同步程度.

由式(4)可知，當(dāng)系統(tǒng)未與目標(biāo)態(tài)同步時(shí)，P 函數(shù)的值較大，而當(dāng)系統(tǒng)與目標(biāo)態(tài)達(dá)到完全同步時(shí)，P 函數(shù)的值接近零，則可用P 函數(shù)的值作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷系統(tǒng)變量與目標(biāo)態(tài)的同步.

首先討論隨機(jī)巡游反饋和校正巡游反饋方法控制時(shí)空混沌的特點(diǎn). 圖1 (a)和圖1 (b)分別為系統(tǒng)在兩種巡游方法控制下的時(shí)空?qǐng)D，混沌系統(tǒng)均可被完全控制到周期目標(biāo)態(tài). 圖1 (c)和圖1 (d)中分別畫出它們對(duì)應(yīng)的P 函數(shù)隨時(shí)間的變化情況. 由圖1可見，加入控制后，P 函數(shù)迅速降至接近零的程度，時(shí)空混沌在短時(shí)內(nèi)被控制到周期態(tài).

圖1 控制器在t=20 時(shí)刻加入系統(tǒng)時(shí)，兩種巡游反饋方法控制時(shí)空混沌系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.1 Experimental results of spatiotemporal chaos controlled by two itinerant feedback methods after introducing the controller to the system at t=20

在相同反饋強(qiáng)度ε 和巡游時(shí)間τ 條件下，隨機(jī)巡游反饋和校正巡游反饋方法的可控性不同. 在圖2 中，選取ε = 400 及τ = 0.002，并對(duì)系統(tǒng)變量的時(shí)空?qǐng)D進(jìn)行觀察. 從圖2 (a)可見，此時(shí)系統(tǒng)未被控制到周期態(tài)，加入隨機(jī)巡游控制器后系統(tǒng)依然處于混沌態(tài)，而在相同的控制參數(shù)條件下，校正反饋巡游方法能把時(shí)空混沌引導(dǎo)至目標(biāo)周期態(tài)，如圖2(b). 若以P ＜0.1 作為可控條件，進(jìn)一步掃描控制參數(shù)空間，在ε-τ 平面內(nèi)搜索可控區(qū)域，則可發(fā)現(xiàn)校正巡游方法的可控區(qū)間比隨機(jī)巡游方法的可控區(qū)間大許多，如圖2 (c)和圖2 (d). 采用混合巡游反饋方法并引入校正概率q，可通過(guò)調(diào)整q 達(dá)到最優(yōu)控制效果. 在某些時(shí)空混沌系統(tǒng)中，系統(tǒng)變量隨時(shí)間的變化速度較快，此時(shí)對(duì)系統(tǒng)變量的實(shí)時(shí)跟蹤和測(cè)量變得較困難，每個(gè)巡游時(shí)間都要考察變量與目標(biāo)態(tài)的差值，且確定控制器坐標(biāo)的成本較高，直接采用校正巡游反饋方法控制混沌并不容易;而在另外一些時(shí)空混沌系統(tǒng)中，系統(tǒng)變量隨時(shí)間的變化速度較慢，可對(duì)系統(tǒng)變量和目標(biāo)態(tài)進(jìn)行充分地測(cè)量和比較，此時(shí)可通過(guò)提高q 值來(lái)發(fā)揮校正巡游反饋方法的優(yōu)勢(shì). 校正概率q 的引入，并非將隨機(jī)巡游和校正巡游兩種方法簡(jiǎn)單組合，而是要考慮引入不同系統(tǒng)中變量隨時(shí)間的變化情況不同，提出一種新的局域反饋控制方法，通過(guò)調(diào)整q 值來(lái)獲得最優(yōu)化的巡游反饋控制結(jié)果.

圖2 ε=400，τ=0.002 時(shí)，兩種巡游反饋方法的控制結(jié)果Fig.2 Results of spatiotemporal chaos controlled by two itinerant feedback methods for ε=400 and τ=0.002

采用混合巡游反饋的方法給時(shí)空混沌系統(tǒng)注入周期信號(hào)，來(lái)觀察系統(tǒng)變量隨時(shí)間的變化情況. 在q = 0.5、ε = 350 及τ = 0.002 的條件下，系統(tǒng)被成功地控制到目標(biāo)態(tài)，如圖3(a). 采用隨機(jī)巡游反饋方法，在相同ε 和τ 值下控制時(shí)空混沌則是無(wú)效的.

圖3 q=0.5，ε=350，τ=0.002 時(shí)，混合巡游反饋方法控制結(jié)果Fig.3 Results of the spatiotemporal chaos controlled by hybriditinerant feedback method for q=0.5，ε=350，and τ=0.002

在混合巡游方法中，q 是重要的控制參數(shù)，以下將討論它對(duì)控制結(jié)果的影響. 圖4 顯示了P 函數(shù)隨控制參數(shù)的變化情況. 當(dāng)選取較小的校正概率如q = 0.2 時(shí)，系統(tǒng)變量與目標(biāo)態(tài)要達(dá)到完全同步，需巡游時(shí)間少且反饋強(qiáng)度大，如圖4 (a)和圖4(b). 這說(shuō)明校正概率較小的條件下，較快的巡游操作和較強(qiáng)的反饋控制更有利于實(shí)現(xiàn)混沌控制. 當(dāng)選取較大的校正概率如q = 0.7 時(shí)，較慢的巡游操作和較弱的反饋控制也能達(dá)到相同的控制效果，如圖4 (c)和圖4 (d). 由圖4 可知，利用巡游方法實(shí)現(xiàn)時(shí)空混沌控制，存在臨界最大巡游時(shí)間τmax和臨界最小反饋強(qiáng)度εmin這兩個(gè)關(guān)鍵值. 當(dāng)其他控制參數(shù)固定時(shí)，滿足τ ＜τmax或ε ＞εmin才能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)與目標(biāo)態(tài)之間的完全同步.

圖4 P 函數(shù)隨控制參數(shù)的變化Fig.4 The dependence of P on controlling parameters

分析校正概率q 與臨界最大巡游時(shí)間τmax和臨界最小反饋強(qiáng)度εmin之間的關(guān)系，結(jié)果如圖5. 由混合巡游方法的定義可知，當(dāng)q = 0 時(shí)該方法對(duì)應(yīng)于隨機(jī)巡游反饋方法，而當(dāng)q = 1 時(shí)該方法即校正巡游反饋方法. 在實(shí)現(xiàn)有效控制時(shí)空混沌的前提下，隨機(jī)巡游反饋方法所需的反饋強(qiáng)度較大. 從圖5 (a)可見，εmin隨q 的增大呈下降趨勢(shì). 當(dāng)其余控制參數(shù)不變時(shí)，成功控制時(shí)空混沌所需的巡游時(shí)間越大越好，這樣就可在相同的系統(tǒng)演化時(shí)間內(nèi)減少控制器進(jìn)行巡游操作的次數(shù)，降低控制成本. 為此，我們進(jìn)一步分析實(shí)現(xiàn)有效控制時(shí)空混沌所需的τmax值. 由圖5 (b)可見，τmax隨q 的增大呈上升趨勢(shì).

圖5 校正概率對(duì)εmin和τmax的影響Fig.5 The dependence of εmin and τmax on q

結(jié) 語(yǔ)

本研究以二維CGLE 為模型，根據(jù)時(shí)空系統(tǒng)的不同特點(diǎn)提出一種混合巡游控制時(shí)空混沌的方法，引入校正概率q 并將其作為新的控制參數(shù). 數(shù)值模擬驗(yàn)證了該方法的有效性，同時(shí)分析了校正概率與反饋強(qiáng)度和巡游時(shí)間之間的關(guān)系. 在某些時(shí)空混沌系統(tǒng)中系統(tǒng)變量隨時(shí)間的變化速度比較快，對(duì)系統(tǒng)變量的即時(shí)跟蹤和測(cè)量往往比較困難，直接采用校正巡游反饋方法控制混沌的成本比較高;而在系統(tǒng)變量隨時(shí)間的變化速度比較慢的場(chǎng)合，對(duì)系統(tǒng)變量和目標(biāo)態(tài)進(jìn)行測(cè)量和比較的成本較低，則可提高校正概率來(lái)發(fā)揮校正巡游反饋方法的優(yōu)勢(shì). 通過(guò)調(diào)整校正概率q，針對(duì)不同的時(shí)空系統(tǒng)進(jìn)行控制器的巡游操作也有不同的要求. 混合巡游方法考慮不同系統(tǒng)中變量隨時(shí)間的變化特點(diǎn)，可更靈活地面向時(shí)空混沌的實(shí)際應(yīng)用.

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