高 峰，唐勝景，師 嬌，郭 杰

（1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院飛行器動力學(xué)與控制教育部重點實驗室，北京100081；2.中國運載火箭技術(shù)研究院，北京100076）

現(xiàn)代戰(zhàn)場立體化的趨勢對武器系統(tǒng)多用途化的需求逐步提高。對于新一代反坦克導(dǎo)彈，不僅要求能夠摧毀地面裝甲目標，還要求其具備一定的低空防御能力，如打擊處于攻擊狀態(tài)的武裝直升機。

相比于主戰(zhàn)坦克、裝甲車等地面目標，空中目標的機動性更強；但另一方面，由于飛行的需要，空中目標的防護相對薄弱，只要命中目標，反坦克導(dǎo)彈常用的戰(zhàn)斗部足以對目標造成致命毀傷。一般反坦克導(dǎo)彈的飛行速度與可用過載均低于專用的防空導(dǎo)彈，因此需要根據(jù)導(dǎo)彈的具體情況，設(shè)計合適的導(dǎo)引律，使其在保證命中精度的同時能夠合理分配彈道的過載。

經(jīng)典比例導(dǎo)引律是攻擊非機動目標的最優(yōu)導(dǎo)引律，可以實現(xiàn)非機動目標視線角速度的零化，但在攻擊機動目標時其性能會急劇下降。為提高導(dǎo)彈對高機動目標的攔截能力，研究人員基于不同的出發(fā)點提出了一些高精度改進比例導(dǎo)引律［1－3］，雖然可以實現(xiàn)對機動目標的攻擊，但存在著所需導(dǎo)引信息過多，或者形式復(fù)雜等問題，且并不適用于速度較低的反坦克導(dǎo)彈。

滑模變結(jié)構(gòu)控制對干擾和攝動具有某種完全自適應(yīng)的優(yōu)點［4］，而且滑動模態(tài)對攝動的不變性十分有益于控制系統(tǒng)的設(shè)計。另外，滑模變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計比較簡單，便于理解應(yīng)用，因此在導(dǎo)引律尤其是攔截高機動目標導(dǎo)引律的研究中得到了廣泛的應(yīng)用與發(fā)展［5－10］。

本文以零化彈目視線角速度為出發(fā)點，設(shè)計了一種自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律，并根據(jù)實際研究中出現(xiàn)的具體問題，改進了變開關(guān)項的形式，并綜合應(yīng)用飽和函數(shù)，削弱了變結(jié)構(gòu)控制的抖振現(xiàn)象，最終形成一種改進自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律。導(dǎo)引律可以滿足反坦克導(dǎo)彈對空中目標的命中精度需求，同時可以合理分配末制導(dǎo)段的法向過載。

1 彈目相對運動關(guān)系

在縱向平面內(nèi)，導(dǎo)彈與目標的相對運動關(guān)系示意圖如圖1所示。圖中，r為導(dǎo)彈相對目標的距離，vM為導(dǎo)彈速度，θM為導(dǎo)彈彈道傾角，q為彈目視線角，vT為目標速度，θT為目標航跡角。規(guī)定水平基準線逆時針旋轉(zhuǎn)到彈目視線上時，q為正，反之為負。

根據(jù)圖1所示的運動關(guān)系，得到彈目相對運動關(guān)系方程組：

2 導(dǎo)引律初步設(shè)計與分析

2.1 導(dǎo)引律推導(dǎo)

對式（1）第二式求微分，并根據(jù)第一式進行簡化，可得：

取u＝為控制項，由式（2）可得：

在導(dǎo)引律的設(shè)計中，根據(jù)準平行接近原理，一般希望在制導(dǎo)過程中使視線角速度趨近于0，即使導(dǎo)彈在目標機動時也可以實現(xiàn)的零化。為達到這個目的，應(yīng)用滑模變結(jié)構(gòu)理論，選取＝0作為導(dǎo)引律的切換平面，即切換函數(shù)設(shè)計為

通過變結(jié)構(gòu)控制，使系統(tǒng)在有限時間內(nèi)到達切換平面內(nèi)，系統(tǒng)進入滑動模態(tài)時，即可使在有限時間內(nèi)零化，滿足＝0的理想導(dǎo)引要求，在滑動模態(tài)附近，漸進實現(xiàn)平行接近導(dǎo)引。

為使系統(tǒng)到達切換面，要求系統(tǒng)的運動必須趨向切換平面，即滿足可達性條件：

可達性條件保證了系統(tǒng)運動可以在有限時間內(nèi)到達切換平面，但對這段時間內(nèi)具體的狀態(tài)軌跡沒有約束。為改善這段運動的動態(tài)品質(zhì)，可以通過趨近率的設(shè)計加以控制。在滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律的研究中，常采用指數(shù)趨近率的形式。根據(jù)導(dǎo)彈控制系統(tǒng)的時變性，設(shè)計一種對時變參數(shù)具有自適應(yīng)能力的指數(shù)趨近率，具體形式為

式中：k＞0，ε＞0。

趨近率表達式（6）的自適應(yīng)性主要體現(xiàn)在切換函數(shù)向切換面的運動速率隨彈目距離r的變化而調(diào)整。在末制導(dǎo)初始階段，r較大，趨近速率較慢；隨著導(dǎo)彈接近目標，r→0時，趨近速率迅速上升，保證了不會發(fā)散，從而提高了命中精度。在式中，當(dāng)s＝→0時，趨近速率約等于ε／r，可以保證有限時間到達切換面。由于趨近率的自適應(yīng)性，最終得到的導(dǎo)引律也具有了自適應(yīng)能力。

將式（4）、式（6）代入式（3），求得控制項：

在實際制導(dǎo)過程中，目標的機動信息一般很難準確獲取，通常利用卡爾曼濾波或擴展卡爾曼濾波技術(shù)，通過建立目標機動模型，可以實現(xiàn)目標的加速度估計。但這種假設(shè)的目標機動模型在工程上可能存在很大的建模誤差，甚至導(dǎo)致糟糕的估計結(jié)果。因此，在滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律的研究中，可以將其作為干擾項處理［11］。

將d作為干擾項進行簡化后，式（7）可簡化為

從而可以得到自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律的形式：

2.2 穩(wěn)定性分析

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

根據(jù)式（3）以及式（8），可得Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

式中：d′為目標機動干擾項的預(yù)估值，可根據(jù)目標特性離線估計。

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定定理，為使導(dǎo)引律收斂，需要有＜0。因此，根據(jù)式（11），需要滿足：

則可保證系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。

2.3 導(dǎo)引律分析

如式（9）所示，設(shè)計的自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律可視為由比例導(dǎo)引項、切換偏置項以及加速度補償項等3部分組成。反坦克導(dǎo)彈在末制導(dǎo)段一般進行無動力飛行，切向加速度較小，若忽略導(dǎo)彈攻擊段的切向加速度，則式（9）可簡化為

即導(dǎo)引律可視為一種具有時變比例系數(shù)和一個切換偏置項的改進比例導(dǎo)引律。該導(dǎo)引律無需估計目標機動信息，僅需目標機動的界限即可?；l件滿足時，控制指令中的切換偏置項起到了估計目標加速度的作用。

3 導(dǎo)引律的改進

3.1 抖振的削弱

對于采用滑模變結(jié)構(gòu)控制的系統(tǒng)，在實際控制過程中，開關(guān)在時間和空間上的滯后會導(dǎo)致控制的不連續(xù)性，產(chǎn)生抖振現(xiàn)象，進而影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，導(dǎo)致導(dǎo)彈命中精度的降低。抖振是變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的嚴重缺陷，也是阻礙變結(jié)構(gòu)控制應(yīng)用的主要障礙［12］。在導(dǎo)引律的研究中，為削弱抖振現(xiàn)象的影響，目前最常用的方法是飽和函數(shù)法，另外還有變開關(guān)項系數(shù)法等。

1）飽和函數(shù)法。

飽和函數(shù)法的基本思想是將不連續(xù)的符號函數(shù)連續(xù)化，具體可將符號函數(shù)取代為

或

式中：δ＞0，是一個微小量，一般可稱為邊界層厚度，也稱為消顫因子［13］。

以改進后的函數(shù)代替符號函數(shù)，可使控制在切換面附近具有高增益性。若δ較小，則可保持高度的魯棒性；但實際在控制器上，大幅時間滯后需要較大的δ，且在極端情況下，將導(dǎo)致大幅振動且系統(tǒng)不再是變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

在飽和函數(shù)法的2種形式中，式（14）抑制抖振的效果更好，因此也更為常用。另外還有一種死區(qū)法，可視作飽和函數(shù)法的一種變形，因其抑制抖振的效果不如飽和函數(shù)法，所以并不常用。

2）變開關(guān)項系數(shù)法。

變開關(guān)項系數(shù)法可以視作趨近率參數(shù)調(diào)節(jié)方式的一種改進，趨近率表達式中含有符號函數(shù)的εsgn稱為開關(guān)項，系數(shù)ε的取值非常關(guān)鍵。根據(jù)式（6），若ε選擇較小的值，狀態(tài)軌跡接近切換面時的運動速率變小，可有效減小顫振幅度。但若ε選擇過小，會導(dǎo)致到達切換面的時間無窮大，系統(tǒng)不再是滑動模態(tài)控制系統(tǒng)。

因此，為兼顧減少到達切換面的時間以及控制抖振幅度的目的，可設(shè)定ε為變量，隨著接近切換面，使ε逐漸減小。在文獻［14］中，劉永善等人研究了基于模糊控制技術(shù)確定ε變化的形式，可有效削弱抖振。但該方法需要應(yīng)用彈上傳感器等設(shè)備對目標的運動進行預(yù)估，并且模糊器的設(shè)計也為導(dǎo)引律的設(shè)計增加了難度。

為此，本文采用變開關(guān)項系數(shù)法時，對ε的形式進行了改進，將ε設(shè)計為隨r逐漸減小的變量，即隨著導(dǎo)彈飛向目標，ε也隨之減小。為簡單起見，ε的形式設(shè)計為r的一次函數(shù)，即

式中：a＞0，b＞0，其取值需要根據(jù)ε的取值范圍及r的變化范圍進行。在接近目標時，r逐漸接近于零，因此可首先確定b的取值，其作用是保證系統(tǒng)在末制導(dǎo)的大部分時間內(nèi)處于滑模控制系統(tǒng)；然后根據(jù)末制導(dǎo)開始時r的最大值和ε的上限進行a的取值，在保證系統(tǒng)可以較快進入滑模面的同時盡量減小抖振幅度。根據(jù)趨近率表達式中ε的作用可知，a和b的取值越大，系統(tǒng)進入滑模面的速度越快，同時出現(xiàn)抖振的可能性或抖振幅度也會增大。

3.2 導(dǎo)引律的改進

研究中發(fā)現(xiàn)，分別采用飽和函數(shù)或變開關(guān)項系數(shù)進行抖振的削弱處理，難以有效地削弱抖振現(xiàn)象。

如圖2～圖3所示，分別采用飽和函數(shù)法和變開關(guān)項系數(shù)法時，雖然末制導(dǎo)段的彈目視線角速度進入滑模面的速度較快，但均出現(xiàn)了不同程度的抖振現(xiàn)象。其中，采用變開關(guān)項系數(shù)法時，盡管對的抑制效果更好，但抖振現(xiàn)象也更為嚴重。而且飽和函數(shù)中消顫因子δ取值越小，或是變開關(guān)項系數(shù)中參數(shù)a和b的取值越大，抖振現(xiàn)象越嚴重；反之，對的抑制效果會下降，當(dāng)抖振現(xiàn)象完全消除時，甚至無法進入滑模面。

圖2 采用飽和函數(shù)法時的彈目視線角速度曲線

圖3 采用變開關(guān)項系數(shù)法時的彈目視線角速度曲線

圖4 采用飽和函數(shù)法時的法向過載曲線

圖5 采用變開關(guān)項系數(shù)法時的法向過載曲線

在本文研究中，嘗試綜合采用飽和函數(shù)法和變開關(guān)項系數(shù)法進行消顫處理，取得了較好的效果。首先，用飽和函數(shù)替換導(dǎo)引律表達式中的符號函數(shù)，然后采用本文設(shè)計的一次函數(shù)形式的變開關(guān)項系數(shù)，將式（14）和式（16）代入式（9），最終得到改進的自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律：

若忽略導(dǎo)彈攻擊段加速度，則式（17）可變?yōu)?/p>

4 仿真分析

基于導(dǎo)引彈道仿真對設(shè)計的導(dǎo)引律進行仿真分析，仿真參數(shù)設(shè)置如下：導(dǎo)彈平飛高度h＝150m，速度為vM＝180m／s；目標初始位置（2 000，300）（m）；轉(zhuǎn)入末制導(dǎo)時刻彈目水平距離rx＝1 000m，并以此時刻作為仿真開始時間，即t＝0；同一時刻目標開始作蛇形機動，目標運動參數(shù)為vT＝50m／s＝10g（cos2t）／vTs－1；導(dǎo)引頭盲區(qū)距離為70 m，導(dǎo)彈進入盲區(qū)時給予視線角速度信號零值，以此為依據(jù)計算脫靶量。仿真中比例導(dǎo)引律（PNG）的比例系數(shù)取4；改進自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律（IAVSG）中的參數(shù)取值為k＝2，δ＝0.001，a＝0.1，b＝50。仿真得到彈道曲線以及各類參數(shù)變化曲線如圖6～圖9所示。

圖6 彈道曲線比較

圖7 彈目視線角速度曲線比較

圖8 法向過載曲線比較

圖9 彈目視線角曲線比較

如圖6所示，IAVSG的彈道曲線機動幅度比PNG大，而且距目標越遠時這種對比越明顯，說明IAVSG為抑制的變化在末制導(dǎo)開始階段導(dǎo)彈就需要隨目標的機動進行較大幅度的機動。

如圖7所示，在末制導(dǎo)開始后，采用IAVSG的很快進入滑模面，在最后階段由于彈目距離過小才離開了滑模面。與圖2、圖3相比，進入滑模面的速度較快，雖然對的抑制效果稍差，卻完全消除了的抖振現(xiàn)象。而采用PNG時變化很大，尤其在接近目標時甚至接近10（°）／s。

抑制的代價就是在追擊過程中一直需要導(dǎo)彈進行較大幅度的機動，因此法向過載會保持在較大的范圍內(nèi)變化，如圖8所示。但在接近目標時，IAVSG的法向過載要小于PNG，因此可以視為IAVSG可以更合理地分配整個末制導(dǎo)段的法向過載。與圖4、圖5相比，采用IAVSG的法向過載曲線也完全消除了振蕩現(xiàn)象。

圖9所示為彈目視線角q的變化曲線，由于受到了抑制，因此采用IAVSG時q的變化明顯要比采用PNG時小很多。

仿真得到PNG和IAVSG的脫靶量分別為2.473m和0.449m，說明在攻擊機動目標時IAVSG的精度要遠高于PNG。同時IAVSG也完全消除了變結(jié)構(gòu)控制導(dǎo)致的抖振現(xiàn)象，有益于保持控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

5 結(jié)束語

本文提出的改進自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律通過設(shè)計形式簡單的變開關(guān)項系數(shù)并綜合采用飽和函數(shù)法，兼顧了保證系統(tǒng)趨近速率和控制抖振的需求。該導(dǎo)引律具備了遠優(yōu)于比例導(dǎo)引律的精度，并實現(xiàn)了對末制導(dǎo)段導(dǎo)彈法向過載較為合理的分配，可以滿足反坦克導(dǎo)彈對低空目標的作戰(zhàn)需求。同時本文提出的變開關(guān)項系數(shù)的形式及消除抖振的方法對變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律的研究也有一定的參考價值。

［1］程鳳舟，陳士櫓.攔截彈頭的修正比例導(dǎo)引律［J］.空軍工程大學(xué)學(xué)報，2003，4（4）：15－18.CHENG Feng－zhou，CHEN Shi－lu.An amendable proportional navigation law for intercepting warhead［J］.Journal of Air Force Engineering University，2003，4 （4）：15 － 18.（in Chinese）

［2］郭鵬飛，任章.一種攻擊大機動目標的組合導(dǎo)引律［J］.宇航學(xué)報，2005，26（1）：104－106，111.GUO Peng－fei，REN Zhang.An integrated guidance law for target escapes with high acceleration［J］.Journal of Astronautics，2005，26（1）：104－106，111.（in Chinese）

［3］王輝，章虹虹.高精度偏置比例導(dǎo)引末制導(dǎo)律研究［J］.航天控制，2009，27（6）：19－22，32.WANG Hui，ZHANG Hong－h(huán)ong.The development of highprecision biased proportional navigation terminal guidance control［J］.Aerospace Control，2009，27（6）：19－22，32.（in Chinese）

［4］HUNG Y W，GAN H J C.Variable structure control a survey［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，1993，40（1）：2－22.

［5］BRIERLEY S D，LONGCHAM R.Application of sliding node control to air－air interception problem［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1990，26（2）：306－325.

［6］RAVINDRA B K，SARMA I G，SWAMY K N.Switch bias proportional navigation for homing guidance against highly maneuvering targets［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，1994，17（6）：1 357－1 363.

［7］ZHOU Di，MU Chun－di，XU Wen－li.Adaptive sliding－mode guidance of a homing missile［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1999，22（4）：589－594.

［8］郭建國，周鳳岐，周軍.基于零脫靶量設(shè)計的變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律［J］.宇航學(xué)報，2005，26（2）：152－155，216.GUO Jian－guo，ZHOU Feng－qi，ZHOU Jun.Variable structure terminal guidance law based on zero miss－distance［J］.Journal of Astronautics，2005，26（2）：152－155，216.（in Chinese）

［9］楊軍.紅外尋的制導(dǎo)空空導(dǎo)彈變結(jié)構(gòu)比例導(dǎo)引律研究［J］.西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報，1998，16（1）：38－41.YANG Jun.A variable structure PN law suitable for high performance IR homing air to air missile［J］.Journal of Northwestern Polytechnical University，1998，16（1）：38－41.（in Chinese）

［10］宋建梅，張?zhí)鞓?帶末端落角約束的變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律［J］.彈道學(xué)報，2001，13（1）：16－19.SONG Jian－mei，ZHANG Tian－qiao.The passive homing missile’s variable structure proportional navigation with terminal impact angular constraint［J］.Journal of Ballistics，2001，13（1）：16－19.（in Chinese）

［11］任義元，袁建平，方群.空空導(dǎo)彈變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律研究［J］.計算機仿真，2009，26（10）：25－29.REN Yi－yuan，YUAN Jian－ping，F(xiàn)ANG Qun.A study of terminal variable structure guidance law of air－to－air missile［J］.Computer Simulation，2009，26（10）：25－29.（in Chinese）

［12］顧文錦，趙紅超，楊智勇.變結(jié)構(gòu)控制在導(dǎo)彈制導(dǎo)中的應(yīng)用綜述［J］.飛行力學(xué)，2005，23（1）：1－4.GU Wen－jin，ZHAO Hong－chao，YANG Zhi－yong.Application of variable structure control in missiles guidance［J］.Flight Dynamics，2005，23（1）：1－4.（in Chinese）

［13］佘文學(xué)，周軍，周鳳岐.一種考慮自動駕駛儀動態(tài)特性的自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律［J］.宇航學(xué)報，2003，24（3）：245－249.SHE Wen－xue，ZHOU Jun，ZHOU Feng－qi.An adaptive structure guidance law considering missile’s dynamics of autopilot［J］.Journal of Astronautics，2003，24（3）：245－249.（in Chinese）

［14］劉永善，劉藻珍，李蘭忖.攻擊機動目標的被動尋的模糊變結(jié)構(gòu) 制 導(dǎo) 律 研 究 ［J］.系 統(tǒng) 工 程 與 電 子 技 術(shù)，2007，29（2）：254－258.LIU Yong－shan，LIU Zao－zhen，LI Lan－cun.Research on fuzzy variable structure guidance law for passive homing missiles against maneuvering targets［J］.Systems Engineering and Electronics，2007，29（2）：254－258.（in Chinese）