王文君，段曉君，朱炬波

（國防科學技術大學 理學院，長沙410073）

制導工具誤差分離作為評估慣性導航設備性能和驗證天地一致性的主要手段，在國內(nèi)已經(jīng)有近30年的研究歷史。文獻［1］在國內(nèi)最早提出了制導工具誤差分析一般思想和基于協(xié)方差的分析方法。文獻［2］提出利用特殊彈道估計得到的誤差系數(shù)，并將其作為驗前信息，結合Bayes估計理論推算正常彈道誤差系數(shù)的方法。文獻［3］將制導工具誤差系數(shù)分離問題歸為線性回歸問題，建立了線性分離模型并提出了主成分分析方法。文獻［4］從制導工具誤差的數(shù)據(jù)檢驗出發(fā)，重點討論了利用先驗信息和不利用先驗信息的兩類方法，給出了各自的適用范圍。文獻［5］針對特定的慣導系統(tǒng)，即速率捷聯(lián)制導系統(tǒng)進行了數(shù)值仿真和計算。文獻［6］提出了制導系統(tǒng)工具誤差在特殊彈道和全程彈道之間的折合方法。文獻［7］針對線性模型給出了基于假設檢驗的誤差系數(shù)評價方法。文獻［8］對遙外測數(shù)據(jù)的互校準進行了專題論述，對于細節(jié)問題如環(huán)境函數(shù)的精確計算等展開了詳細的討論。

本世紀初，國內(nèi)相關領域的科研工作者對于制導工具誤差分離的模型和方法均進行了更為廣泛和深入的研究。模型方面，先后提出了誤差分離的非線性模型［9－10］，基于 Bayes的多層先驗模型［11］，文獻［12］對誤差分離線性模型的稀疏選擇做了初步的討論，并比較了正則化迭代算法與主成分分析方法的仿真計算結果。算法方面，先后提出了基于SVM和最優(yōu) LS－SVM 的誤差分離方法［13－14］、基于遺傳算法和遺傳主成分分析的誤差分離算法［15－16］，特征根估計算法［17］和比定階行列式方法［18］等。

在不考慮直接融合地面測試先驗信息的情況下，線性模型的主要分離方法是以主成分分析為核心的一類方法。不過主成分的項數(shù)選取與數(shù)據(jù)有關，很難給出一個普適性的原則。若對制導工具誤差分離提出更高的精度要求，則研究新的分離方法勢在必行。由于制導工具的所有誤差項中存在主次之分，即起決定性作用的僅有其中部分項。從數(shù)學的角度理解，制導工具誤差系數(shù)在某種程度上存在著稀疏性。利用稀疏性對線性模型加以約束，有望克服原問題的病態(tài)性［19－20］。

本文擬從誤差分離的線性模型入手，深入討論基于稀疏先驗約束的正則化誤差分離模型，提出自適應參數(shù)正則化誤差分離模型，同時給出相應的求解算法，最后結合試驗結果對幾種算法作出評價。

1 線性分離模型及經(jīng)典解法

1.1 線性分離模型

考慮速度域制導工具系統(tǒng)誤差的線性模型［1－3］：

式中：WY（t）為某采樣時刻遙測視速度向量（3個方向）；W（t）為慣性系下真實視速度向量（3個方向）；S（W（t），（t））為速度域環(huán)境函數(shù)矩陣；C為待估誤差系數(shù)向量；e（t）為誤差向量。

通常情況下，慣性系下真實的視速度無法得知，一般采用精度較高的外轉遙數(shù)據(jù)WW2Y（t）代替W（t），故式（1）可化為

式中：下標Y表示遙測坐標系，下標W表示外測坐標系，下標W2Y表示外測坐標系數(shù)據(jù)向遙測坐標系轉換。模型（2）可簡記為

式中：e′包含了表示誤差e和采用WW2Y（t）數(shù)據(jù)引入的轉換誤差，通?？梢哉J為e′～N（0，σI3）。故此，模型（3）的最小二乘解為

由于環(huán)境函數(shù)S的各列之間存在較強的相關性［3］，故此矩陣STS是病態(tài)的，根據(jù)式（4）求得的最小二乘解并不準確。為克服矩陣STS的病態(tài)性，通常采用比例因子規(guī)范化和主成分分析2種方法。

1.2 比例因子規(guī)范化

對線性回歸模型ΔW＝SC＋e′，當STS呈病態(tài)時，最小二乘估計的均方誤差的值很大，從而導致最小二乘的估計效果差。設Q是一個已知的非奇異矩陣，且滿足QQ－1≡I。將上述回歸模型改寫為

令V＝ΔSQ，a＝ΔQ－1C，則模型轉化為

若由此模型得到估計，則易知＝是C的一種估計。規(guī)范化后的矩陣V使得原矩陣S的病態(tài)性得以減弱，而Q被稱為規(guī)范化比例因子。

選擇合適的Q可使得估計具有較高的效率，具體可從以下3個方面考慮：①根據(jù)工程物理背景確定Q；②根據(jù)先驗測試值確定Q，例如在制導工具系統(tǒng)誤差分離中，可采用制導工具系統(tǒng)誤差系數(shù)的地面測試值；③根據(jù)工程經(jīng)驗獲得Q，對于一個確定的問題，可以通過工程經(jīng)驗確定哪些列之間是線性相關的，或者對模型影響小，從而選取相應的比例因子。

1.3 主成分分析方法

針對問題（3），記λ1≥λ2≥…≥λm為矩陣STS的m個特征根；記V1，V2，…，Vm為λ1，λ2，…，λm對應的標準正交化特征向量，令V＝（V1V2…Vm）；記Z＝SV，a＝VTC，記Y＝ΔΔW′t，則式（3）可化為

進一步，a的最小二乘估計為

注意到（diag（λ1，λ2，…，λm））－1，如果當i＞k時有λi＝0或λi≈0，則λk＋1，λk＋2，…，λm對矩陣求逆運算沒有影響或影響很?。欢?，λ2，…，λk對矩陣求逆運算影響很大，故此有

式中：下標（m－k）×k表示m－k行k列。將式（9）帶入式（8），即主成分估計結果。一般情況下工程上會選取λ＞0.01作為評判是否為主成分的標準，但這種標準不具備普適性，故此該方法無法避免引入主觀因素。

2 基于稀疏約束的自適應正則化模型

2.1 正則化模型及參數(shù)的選擇

通過大量的地面實驗可以發(fā)現(xiàn)，制導工具誤差系數(shù)C的大部分元素數(shù)量級非常小，僅有個別元素的量級較大，故此可以認為C具有一定的稀疏性。則線性模型病態(tài)性可通過正則化的方法加以克服。

所謂正則化方法是變病態(tài)為非病態(tài)一類方法的統(tǒng)稱，其主要手段是通過增加約束項，用來約束解空間的范圍使原問題的病態(tài)性得到克服。增加的約束項通常取決于信號蘊含的內(nèi)在特征，例如：假如信號本質是平坦光滑的，則可加總變分約束；如需要信號本質是稀疏的，則可加稀疏性約束。

考慮式（3），其最小二乘解可以理解為

加稀疏約束的模型解可以理解為

式（11）就是原問題的一般正則化模型的思想，其中λ稱為正則項或者稀疏約束項，λ稱為正則化參數(shù)；0＜p≤1稱為正則化模型參數(shù)，簡稱模型參數(shù)。特殊地，當p＝0時，‖C‖0就是信號中非零元素的個數(shù)。然而由于‖·‖0是非凸的，難于求解，故此采用代替，文獻［20］證明了L0約束在某些條件下與Lp約束對解的作用是等價的。

式中：s為信號C的稀疏度，可以憑經(jīng)驗獲取，0＜p＜1。

2.2 自適應參數(shù)的正則化模型

正則化模型（10）仍然存在如何選取正則化參數(shù)λ的問題。文獻［21］基于極大似然方法提供了一種可行的思路，結合本文的實際問題，經(jīng)推導可以得到以下結論。

測量值ΔW（樣本）的似然函數(shù)為

式中：σ為e′的均方誤差。取式（13）的對數(shù)似然函數(shù)：

求其極小值，即為原來的極大似然函數(shù)的極大值，舍棄常數(shù)項為

注意式（15），當σ≡1時，有

用式（16）代替逼近項模型，則可以得到新的模型：

令λ′＝λ2σ2，又由于σ2對于C的估計影響很小，將所有采樣點寫在一起，則模型可以簡化為

觀察式（18）可知，原來的正則化參數(shù)λ已被λ′取代，其中σ2是模型噪聲的方差，在迭代過程中用近似計算。其中n為對測量數(shù)據(jù)的采樣數(shù)。故此，參數(shù)λ′隨著逼近項的變小而變小，而λ′變小則意味著正則項的作用在不斷地變?nèi)?。特別地，當→0時，正則參數(shù)λ′→0，即不需要正則項的作用。式（17）就是制導工具誤差分離的自適應正則化模型。

2.3 自適應正則化模型的求解算法

針對模型（18），給出具體算法流程如下：

①取p＝arg｛＝s｝，按照經(jīng)驗公式選p取λ＝／s，令λ（0）＝λ；

③計算H（C（n））＝Δ2STS＋λ（n）Λ（C（n））；

④計算＝［H（）］－12STΔW，計算λ′n

3 仿真實驗及結果分析

3.1 確定模型的試驗結果

所謂“確定模型”，指構造模型的環(huán)境函數(shù)自變量項數(shù)是固定的。本小節(jié)以n0＝55為例分析噪聲大小對于分離結果的影響，n0為模型項數(shù)。首先仿真遙外差，取e′～N（0，0.02I3），利用ΔW＝SC＋e′仿真遙外差。根據(jù)前文介紹的方法，測試以下8種算法的性能：無規(guī)范化＋最小二乘；有規(guī)范化＋最小二乘；無規(guī)范化＋主成分；有規(guī)范化＋主成分；無規(guī)范化＋正則化；有規(guī)范化＋正則化；無規(guī)范化＋自適應正則化；有規(guī)范化＋自適應正則化。計算100次，記錄未超差項數(shù)n1以及3個方向的擬合殘差均方差，結果如表1所示。

表1 100次實驗平均結果

表中，“未超差”表示制導工具誤差系數(shù)的估計值未超過真實值的±3σ范圍。從表1的結果可以得到如下結論：

①從有無規(guī)范化的最小二乘計算結果可以看出，單純的規(guī)范化不能解決矩陣病態(tài)問題。必須配合后3種方法使用；

②未經(jīng)規(guī)范化的情況下，主成分分析與普通最小二乘效果相當，也就是說主成分分析應用于未規(guī)范化的數(shù)據(jù)，提高估計精度效果不顯著；

③不管有無規(guī)范化操作，主成分、正則化和自適應正則化3種方法在彈道3個方向的擬合殘差均方差幾乎與仿真噪聲的均方差一致，即解算曲線與真實曲線能夠較好地吻合。

3.2 模型噪聲對分離結果的敏感性分析

模型噪聲對分離結果的敏感性分析是在n0＝55條件下進行的。當仿真白噪聲e′的均方差取0.000 1，0.000 3，0.000 9，0.002 4，0.006 7，0.018 3的情況下，對主成分、正則化和自適應正則化方法進行100次計算，統(tǒng)計計算結果如圖1所示。

圖1 不同噪聲幅度下未超差項的結果比較

根據(jù)以上的實驗結果可以得到如下結論：

①由圖1可知，規(guī)范化能夠提高估計精度。經(jīng)規(guī)范化后，主成分分析方法的估計精度得到大幅度提高，其主要原因是規(guī)范化使主成分項數(shù)有所降低，未規(guī)范化時主成分有50項，規(guī)范化后主成分只有19項；

②經(jīng)規(guī)范化后，自適應正則化方法的精度略高于主成分方法，主成分分析方法的估計精度又略高于需要指定參數(shù)的正則化方法的估計精度。另外，自適應參數(shù)正則化方法不需要憑借經(jīng)驗給定參數(shù)，且在估計效果上優(yōu)于確定參數(shù)的正則化方法；

③由圖1可知，隨著噪聲幅度的增大，所有方法得到的未超差項數(shù)都有所降低，規(guī)范化后的數(shù)據(jù)對于噪聲變化相對而言不敏感，未經(jīng)規(guī)范化的數(shù)據(jù)對于噪聲變化較為敏感。

3.3 模型項數(shù)對分離結果的敏感性分析

本小節(jié)依次采用n0＝28，36，42，48，52，55項自變量構造環(huán)境函數(shù)矩陣，在噪聲水平為0.018 3的條件下，對每種算法進行100次計算，測試各個算法對模型項數(shù)的敏感程度。結果顯示，各算法平均殘差都與噪聲水平相當，如果以未超差項數(shù)占模型總項數(shù)的比例和超差項數(shù)為評價指標，統(tǒng)計結果如圖2、圖3所示。

圖2 n1／n0與n0的關系

圖3 n1與n0的關系

圖2 顯示的是平均未超差項數(shù)占模型總項數(shù)的比例隨模型項數(shù)的變化，圖3顯示的是平均超差項數(shù)隨模型總項數(shù)的變化。由以上結果可以得到以下結論：

①隨著模型項數(shù)的增加，分離結果中未超差項數(shù)所占的百分比也逐步增加；

②當模型的項數(shù)大于45項時，超差項數(shù)趨于平緩；

③自適應正則化方法優(yōu)于主成分方法和固定參數(shù)的正則化方法。

4 結論

本文針對制導工具誤差分離線性模型，豐富和發(fā)展了基于稀疏約束的正則化模型的制導工具誤差分離方法。在Bayes理論的框架下提出了自適應參數(shù)的正則化模型，避免了選取普適性正則化參數(shù)的困難，同時給出了求解算法。計算結果表明在擬合誤差基本相當?shù)那闆r下，從未超差項數(shù)量方面而言，自適應參數(shù)正則化模型方法優(yōu)于主成分方法和指定參數(shù)的正則化方法。

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