王鐵成　杜先富

摘要：數(shù)學(xué)充滿聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系建立聯(lián)系，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要目的.本文從三個(gè)方面探討“三角函數(shù)”與其他數(shù)學(xué)主題的關(guān)聯(lián)，重點(diǎn)討論與“銳角三角函數(shù)”、“直線和圓”、“函數(shù)單調(diào)性”的聯(lián)系.具體而言，第一，要突出與初中“銳角三角函數(shù)”的銜接；第二，要強(qiáng)化與直線和圓的關(guān)聯(lián)；第三，要實(shí)現(xiàn)與函數(shù)性質(zhì)以及指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的對(duì)接.無(wú)論是從“怎樣學(xué)數(shù)學(xué)”的角度，還是提升教學(xué)品質(zhì)的角度，關(guān)注數(shù)學(xué)聯(lián)系，尋求數(shù)學(xué)聯(lián)系，都應(yīng)該成為教學(xué)目標(biāo)之一，或者說數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一.

關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)目標(biāo)；數(shù)學(xué)聯(lián)系

作為教師，在教材中讀出聯(lián)系，是不成問題的.問題是，怎樣在課堂中 在教學(xué)中幫助學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)外的聯(lián)系，甚至“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)聯(lián)系，把“隱性的數(shù)學(xué)聯(lián)系”“顯現(xiàn)”出來，從而保證上述目標(biāo)的達(dá)成？下面就“三角函數(shù)”與其他各個(gè)主題的聯(lián)系，談一些思考.

一、作為理論化的三角函數(shù)，要突出與初中“銳角三角函數(shù)”的銜接

從認(rèn)知心理角度講，學(xué)生初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)，是高中學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ).作為理論化的任意角的三角函數(shù)，要突出與初中“銳角三角函數(shù)”的銜接.

圖1例1以銳角三角函數(shù)為基礎(chǔ)的“和角公式”和“半角公式”

解：（1）如圖1，在△ABC中，設(shè)∠ABC=α（α為鈍角），

AB=BC，E為AC的中點(diǎn)，AD⊥CD于D，

則∠ABE=α12，∠ABD=180°-α，不妨設(shè)AB=1，

在Rt△ABD中，AD=-cosα，AD=sinα，

所以CD=1-cosα，AC=AD2+CD2=2-2cosα，

AE=2-2cosα12，所以sinα12=2-2cosα12，cosα12=2+2cosα12.

圖2（2）設(shè)∠BAC=α，∠ABC=β（α+β<90°），過C作CD⊥AB于D，過B作BE⊥AC ，交AC的延長(zhǎng)線于E，如圖2.

不妨設(shè)AC=1，在Rt△ACD中，AD=cosα，CD=sinα.

在Rt△CDB中，BD=CD·cosβ1sinβ=sinαcosβ1sinβ，

BC=CD1sinβ=sinα1sinβ.在Rt△BCE中，∠BCE=α+β，BE=BCsin∠BCE=sinα1sinβsin（α+β）.

在Rt△BAE中，AB=cosα+sinαcosβ1sinβ，BE=cosαsinβ+sinαcosβ1sinβsinα，

所以sinα1sinβ·sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ1sinβ·sinα.

即sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

二、三角函數(shù)就是圓函數(shù)，要強(qiáng)化三角函數(shù)與必修2之間的關(guān)聯(lián)

我們知道任意角α的正弦和余弦就是角α的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)，這一規(guī)定是整個(gè)三角函數(shù)體系化的基石.三角函數(shù)天然就與圓緊密相連，比如，單位圓的方程是x2+y2=1，所以sin2α+cos2α=1.三角函數(shù)的教學(xué)應(yīng)該提示、揭示這種關(guān)系，強(qiáng)化相互關(guān)聯(lián)，一方面掌握正、余弦概念的程序操作，另一方面鞏固必修2的相關(guān)知識(shí).試舉兩例.

圖3例2如圖3，A、B是單位圓O上的點(diǎn)，且B在第二象限，C是圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)是 （315，415），△AOB為正三角形.（1）求sin∠COA；（2）求cos∠COB.

分析：設(shè)B的坐標(biāo)為（x，y）（x<0，y>0），由已知有

x2+y2=1

（x-315）2+（y-415）2=1 ，解得x=3-43110，

所以cos∠COB=3-43110.

例3已知圓 和圓外一點(diǎn) ，過 作圓的兩條切線，設(shè)兩切線夾角為 ，求 和 的值.析：設(shè)切線方程為 ，由已知有 ，解得 或 ，依題意 ，所以 三、作為一類基本的初等函數(shù)，要實(shí)現(xiàn)與必修1的對(duì)接

顯然，函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)在整個(gè)高中需經(jīng)歷三個(gè)階段：第一階段，必修1——函數(shù)的基本性質(zhì)，指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；第二階段，必修4——三角函數(shù) 的單調(diào)性；第三個(gè)階段，文科選修1-1、理科選修2-2——導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用. 每個(gè)階段的側(cè)重點(diǎn)不同，第一階段，側(cè)重函數(shù)單調(diào)性的概念理解和判斷（證明）程序的學(xué)習(xí)，第二個(gè)階段主要是求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間，第三個(gè)階段重點(diǎn)是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.從概念理解到程序操作，三角函數(shù)承前啟后，作用不可低估.用換元法和圖象變換求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+h的單調(diào)區(qū)間.

例3求函數(shù)y=2sin（2x+π13）圖象的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

分析：由y=2sin（2x+π13）的對(duì)稱中心是（kπ，0），對(duì)稱軸是x=kπ+π12，增區(qū)間是[2kπ-π12，2kπ+π12]，減區(qū)間是[2kπ+π12，2kπ+3π12]，得

y=2sin（2x+π13）的對(duì)稱中心是（kπ-π1312，0），對(duì)稱軸是x=kπ+π12-π1312，增區(qū)間是[2kπ-π12-π1312，2kπ+π12-π1312]，減區(qū)間是[2kπ+π12-π1312，2kπ+3π12-π1312].3.2 用單調(diào)性求 的最大（?。┲道? 求函數(shù) 的最大值和最小值.析：當(dāng) 時(shí)函數(shù) 遞減，也就是 時(shí)函數(shù) 遞增，即函數(shù)在 上遞增，在區(qū)間 上遞減，所以當(dāng) 時(shí)， 取得最小值 ，又當(dāng) 時(shí) ，當(dāng) 時(shí) ，所以 取得最大值 綜上，三角函數(shù)與多個(gè)數(shù)學(xué)主題相連，不僅如此，這種鏈接還可以延伸到選修4-4“極坐標(biāo)系”，延伸到向量空間，這里不再贅述.正如顧泠沅教授所說的：“在概念之間建立聯(lián)系” 可以“保持高水平認(rèn)知”，同樣，教學(xué)中不斷地嘗試各種表征方式、各種數(shù)學(xué)活動(dòng)方式，保持?jǐn)?shù)學(xué)思想與方法之間的密切聯(lián)系，不斷地溝通各數(shù)學(xué)主題，或許可以提升教學(xué)的品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

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