[摘 要] 數學概念理解型教學把對數學概念的理解作為教學的一個重要目標,本文以人教版“生活中的軸對稱”為例,談論了數學概念理解型教學.
[關鍵詞] 數學概念;概念教學;理解型教學
《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《課標(2011年版)》)指出:“數學知識的教學,應注重學生對所學知識的理解.”數學概念是數學知識體系中的基本元素,是反映現實世界的空間形式和數量關系的本質屬性的思維形式. 它是掌握數學基礎知識的前提,是學好定理、公式、法則和數學思想的基礎. 《課標(2011年版)》進一步指出:“學生掌握數學知識,不能依賴死記硬背,而應以理解為基礎.”其實,學生學習數學概念如果不借助理解,只是記憶事實和操作性程序,很難把握其形式化特征所表征的意義,這樣,既不能在新概念與已有認知結構中的相關知識之間建立“非人為的、實質性” 的聯系,也不能將所獲得的知識順暢地遷移到新的情境中,表現為對數學概念的“假性理解”——介于正確理解和錯誤理解之間,即對概念只是簡單地記憶和表面地理解,不能抓住概念的本質特征. 造成學生對數學概念“假性理解”的原因很多,最主要的原因是概念教學的“重記憶輕理解”,學生對概念的內涵理解不深刻、似是而非,因此,學生學習數學概念應重在理解,教學中需要理解型教學. 那么,什么叫數學概念理解型教學?
數學概念理解型教學
關于理解,《課標(2011年版)》定義為:描述對象的特征和由來,闡述此對象與相關對象之間的區(qū)別和聯系. 它在對結果目標描述的四級水平(了解、理解、掌握、運用)中處于第二級,理解是學生掌握和應用數學概念的基礎. 理解不僅要“知其然”,而且還要“知其所以然 ”,也就是不僅要知道“是什么”,還要明白“為什么是這樣”,即要了解數學概念的背景,掌握概念的邏輯意義,理解內容所反映的思想方法,把握概念的多元聯系,挖掘數學知識所蘊涵的科學方法、理性精神等價值觀資源. 事實上,學生正是在理解中掌握數學概念本質屬性的,理解要在理解型教學中實現. 何謂理解型教學?教學具有理解性,理解是數學教學的內在品質. 教學總是在學生已有的知識經驗基礎上展開的,數學教學內在地包含理解. 課堂教學中,教師采取各種方法或手段主要是為了幫助學生積極地、正確地理解. 理解型教學包含彼此區(qū)別又相互聯系的三個層面.
第一層面:理解性教學. 理解是數學教學的基本屬性,數學學習重在理解.
第二層面:數學地理解. 學會數學地理解就是學會從數學的角度觀察、思考和處理問題. 在這里,理解是探索世界的方法,數學知識是理解世界的結果. 與掌握一些具體的數學知識相比,學會數學地理解也許是數學教學更為基本的價值追求.
第三層面:為理解而教. 理解是數學教學的目標,且是一個極為重要的目標.
據此,我們認為數學概念理解型教學就是把對數學概念的理解作為教學的一個重要目標,通過理解性教學,數學地理解概念的內涵,掌握概念的本質特征,在這個過程中突出對概念外延的應用,注重知識之間的聯系和拓展. 那么,教師應如何實施數學概念理解型教學呢?為了便于說明,下面以人教版課標教材八年級數學第十二章“生活中的軸對稱”的教學為例. 本節(jié)課的教學重點是理解軸對稱圖形和成軸對稱的概念.
案例與評析
1. 創(chuàng)設情景,感知中理解
活動1 多彩大世界
播放多媒體課件(如圖1).
師:這些圖形有什么共同特點呢?
生1:這些圖形的左、右兩邊是完全相同的.
生2:這些圖形是對稱的.
師:我們生活在一個充滿對稱的世界之中,剛才的圖片(再次用多媒體快速演示剛才所放的圖片)都是令人難忘的對稱景象,今天讓我們一起走進數學世界中的另一種美——對稱美. (出示課題)
活動2 巧手大施展
動手折一折,找圖2中的對稱軸:
(3分鐘后)
師:你有什么發(fā)現?
生3:通過折疊,我發(fā)現角、等邊三角形、正方形、圓的折痕兩邊部分能重合,而平行四邊形不能重合.
生4:重合不準確,應該是“完全重合”.
師:這位同學說得很好,折痕兩邊的部分能完全重合,這個特征很重要. 折痕叫什么?
生(眾):對稱軸.
師:也就是說,角、等邊三角形、正方形、圓等圖形有對稱軸,而平行四邊形沒有對稱軸. 對稱軸是一條直線,是折痕所在的直線. 還有發(fā)現嗎?
生5:我發(fā)現不同的圖形折疊方式不同,角有一種,等邊三角形有三種,正方形有四種,圓有無數種. (邊說邊演示)
師:太棒了,這位同學的意思是,角有一條對稱軸,等邊三角形有三條對稱軸,正方形有四條對稱軸,圓有無數條對稱軸,對吧?(眾生點頭表示同意)
評析:從學生最為熟悉的現實背景、生活背景、數學知識背景等出發(fā),設置最能體現概念本質特征的知識背景——“先行組織者”,建立日常經驗與課本知識之間的聯系,幫助學生理解數學概念的意義. 活動1設置了學生熟知的蝴蝶、楓葉、窗花等圖片,讓學生感受在現實生活中存在大量的具有軸對稱現象的實例;活動2通過學生的動手折疊操作,讓學生認識到有些圖形有對稱軸,有些圖形沒有對稱軸. 這個環(huán)節(jié)是讓學生初步感知軸對稱圖形的特征,在感知中初步理解“軸對稱圖形”的意義.
2. 動手操作,探索中理解
(1)揭示“軸對稱圖形”的內涵
活動3 潛力大開發(fā)
討論:在活動2中,角、等邊三角形、正方形、圓這四個圖形有什么共同特征?
生6:他們都能被一條直線分成左、右相同的兩部分.
生7:它們沿著一條直線對折后左、右兩邊能夠完全重合.
師:剛才兩位同學說得很好,他們都具備沿著某條直線對折后,直線兩旁的部分能夠完全重合的特征. (用多媒體演示重合的過程,并板書它們的共同特征). 這四個圖形分別針對幾個圖形?
生8:都是一個圖形.
師:誰能用自己的話說一說什么叫軸對稱圖形?
生9:一個圖形沿著某條直線對折后直線兩旁的部分能夠完全重合.
生10:有一條直線把一個圖形分成兩部分,這兩部分能夠完全重合.
生11:我強調一下剛才他們說的直線應該是過圖形本身的一條直線.
師:你能傾聽別人的回答,揭示需要注意的地方,真了不起(充滿激情地對生11進行鼓勵,并用多媒體展示軸對稱圖形的概念,學生齊讀)
評析:搭建腳手架能夠創(chuàng)建符合學生認知發(fā)展水平的教學任務,促進學生理解的實現. 活動3通過學生討論,用分析角、等邊三角形、正方形、圓等四個圖形的對稱關系這個腳手架,引導學生抽象概括出“軸對稱圖形”的本質屬性,理解“軸對稱圖形”的最重要的本質特征——“完全重合”.
(2)揭示“成軸對稱”的內涵
活動4 思想大碰撞
動手操作,思考并回答:
將一張矩形紙對折,在紙的一面,用筆尖扎出不在同一條直線上的三個點,將紙打開鋪平,畫出折痕,用筆連結折痕兩側的三個點,形成△ABC和△DEF. (3分鐘后)
師:這兩個三角形的對應點有什么關系?
生12:對稱.
師:為什么是對稱的呢?
生13:因為△ABC沿著折痕對折后能夠與△DEF完全重合,對應點也就能夠完全重合.
師:這里的“對稱”與剛才的“軸對稱圖形”一樣嗎?如果不一樣,區(qū)別在哪里?
生14:軸對稱圖形是一個圖形的對稱,這里是兩個圖形的對稱關系.
生15:這里是兩個圖形成軸對稱.
師:同學們很善于觀察和總結. 誰能夠描述一下什么叫做兩個圖形成軸對稱呢?
(生隨機回答,多媒體展示結論)
師:剛才我們接觸了兩種對稱形式——軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱,下面,小組討論,它們的共同特征是什么?有什么區(qū)別?有什么聯系?
(學生會得出,軸對稱圖形是一個圖形本身的對稱,兩個圖形成軸對稱是兩個圖形之間的對稱關系. 到此,教師可引出它們的聯系)師生共同完成下表.
評析:建構主義認為學生的學習是一種主動建構的過程,不是被動地接受教師的灌輸,而是師生、生生相互交流,積極共進,有意義的學習過程. 學生在合作交流中學習數學地理解,在理解中掌握概念的內涵是數學概念理解型教學的重要方式之一. 活動4是在學生動手操作的基礎上,用問題串層層遞進,讓學生邊動手邊動腦,通過小組討論、合作交流得出成軸對稱的概念以及理解軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的區(qū)別與聯系.
3. 嘗試應用,鞏固中理解
活動5 智力大闖關
第一關:如圖3,△ABC與△DEF關于直線m成軸對稱,點A的對稱點是點_____,∠C是_____°.
生16:△ABC與△DEF關于直線m成軸對稱,即△ABC與△DEF完全重合,所以點A的對稱點是點D,∠C=∠F,∠A=∠D. 因為∠D=65°,所以∠A=65°. 又因為∠B=35°,再根據三角形的內角和為180°,得∠C=80°.
第二關:欣賞圖4這幅風景畫,你能找出成軸對稱的兩個圖形嗎?
第三關:猜數字游戲,如圖5,這兩組圖形是兩個數在鏡面中的成像,猜猜這兩個數分別是多少?
第四關:推理,根據自己發(fā)現的規(guī)律,畫出圖6中下一個圖形的形狀.
(學生在合作、交流中闖過了這四關)
評析:變式教學理論認為,概念性變式教學突出對概念內涵的理解,注重概念的情景引入、語言轉換等,逐步從概念的“標準變式”轉向概念的“非標準變式”,使學生獲得對概念多角度的理解. 前面兩個環(huán)節(jié)都是在“標準變式”下的理解,學生在這種狀態(tài)下對概念的理解不會太深刻. 在“非標準變式”下,通過變式來剖析數學概念,能凸顯對象中隱蔽的本質要素,加深學生對概念理解的全面性. 在這個環(huán)節(jié),用闖關的形式通過欣賞、猜想、推理等說明生活中成軸對稱的美無處不在,同時培養(yǎng)學生的數學應用意識以及推理分析能力和空間想象能力,在這個過程中能加深學生對概念本質的理解.
4. 放飛想象,創(chuàng)造中理解
活動6 智慧大比拼
放飛你的想象,動手創(chuàng)作出富有特色的軸對稱圖案.
(有的學生用紙疊,有的學生畫畫,有的學生用剪刀剪,還有的學生把墨水滴在紙上折疊再打開……)5分鐘后的展示有花籃、紙鶴、衣服和褲子、青蛙、用墨水做的花朵……
評析:學生對數學概念的理解表現在兩方面,一是對概念做表面加工(只注意概念表述的準確詞句);二是對概念做深入的心理加工(對概念的意義做深刻的思考). 理解型教學追求的是學生對數學概念的“深加工”. 活動6是通過學生的創(chuàng)造,加深對數學概念的意義做深刻的思考,從而培養(yǎng)學生的審美情操和審美能力.
5. 解決問題,應用中理解
活動7 素養(yǎng)大提升
(1)觀察圖片(動畫展示),并領會其中的數學道理.
飛機的對稱使飛機能在空中保持平衡;鬧鐘的對稱保證了走時的均勻;人的眼睛的對稱,使人看物體更加準確、完整……
(2)畫出圖7中各圖形的對稱軸.
(3)剪一張圓形紙,試用折疊的方法找出它的圓心,并簡述折疊過程.
評析:數學概念理解的價值在于應用,在應用中理解,在理解中應用. 學生只有對數學概念運用自如才能深刻理解,也只有深刻理解才會運用自如. 這個環(huán)節(jié)的(1)利用教育技術的動態(tài)演示功能使本節(jié)課的概念本質特征具體、直觀、形象,促進和加深了學生對概念的理解,并且為學生的理解創(chuàng)造了各種各樣的條件;(2)(3)運用變式突出了概念的本質屬性與非本質屬性,能幫助學生理解概念的內涵.
思考與建議
本節(jié)課圍繞數學概念的理解組織和展開:教師為幫助學生理解“軸對稱圖形”和“成軸對稱”這兩個概念的本質屬性進行教學,創(chuàng)設學生熟悉的生活情景,學生在生活中感知、理解概念;讓學生通過動手操作、自主探究、合作交流建構數學概念,從“標準變式”的維度理解概念的內涵與外延;讓學生通過欣賞、猜想、推理等方式,從逆向思維——“非標準變式”的維度全面理解概念的本質特征;讓學生通過對概念的“深加工”——創(chuàng)造性地應用,理解概念的意義,學習數學地理解. 整個教學充滿“理解數學、理解學生、理解教學”的課程觀,既遵循了概念教學的規(guī)律,又符合初中生的認知特點,注重培養(yǎng)學生的形象思維和抽象思維;重視以數學活動為載體,完成概念的內化,完成基于數學本質的概念教學活動. 數學概念理解型教學應做到以下三點:
1. 在體驗數學概念產生的過程中感知、理解概念
在課堂教學中,理解是一種個性化的、自我實現的行為. 實施數學概念理解型教學的核心就是要創(chuàng)設一種學習環(huán)境,讓學生有機會參與思維和行動,學會如何理解. 數學概念具有高度的抽象性和概括性,如果讓初中生直接理解,肯定會存在很大困難,所以在數學概念的引入時,應從實際出發(fā),創(chuàng)設情境,提出問題. 通過與概念有明顯聯系、直觀性的例子,使學生在對具體問題的體驗中感知概念,形成感性認識;通過對一定數量感性材料的觀察、分析,提煉出感性材料的本質屬性;通過為學生提供一些實物、模型、教具、教學軟件等豐富的數學學習材料,讓學生有充分的時間對具體事物進行操作,使他們獲得學習新概念所需要的具體經驗,通過自己的思維活動形成對概念的理解.
2. 在挖掘數學概念內涵與外延的基礎上意義理解概念
概念內涵就是指反映在概念中對象的本質屬性;概念外延是指具有概念所反映的本質屬性的對象. 每一個數學概念都有其確定的內涵和外延. 數學概念理解型教學的實質在于對數學概念的內涵與外延的意義理解,在幫助學生獲取知識的同時,引導學生建構知識的意義,進而理解世界的意義.
(1)通過標準變式揭示概念內涵,突出理解概念的本質屬性.
數學概念的教學要經歷“具體——抽象——具體”的認識過程,即“概念的外延分類—概念內涵的歸納、概括——概念的外延辨析”的認識過程. 在這個過程中,從數學概念的正面對數學概念的內涵與外延進行盡量詳細地“深加工”,對“概念要素”進行具體界定,以使學生建立更清晰的概念表象,獲得更多的概念例證,對概念的細節(jié)把握得更加準確,理解概念的各個方面,獲得概念的某些限制條件等.
(2)通過非標準變式拓展外延,加深理解概念的不變內涵.
學生對某一數學概念的全面理解要遵循“循環(huán)反復螺旋上升”的學習原則;要歷經“實踐——認識——再實踐——再認識”的過程,這是個“正確”與“錯誤”搖擺不定的過程;更是一個對概念的理解不斷深化的過程. 標準變式雖然有利于學生對概念的準確把握,但也容易限制學生的思維,從而人為地縮小概念的外延,使得學生不能透徹地理解概念. 解決這個問題的方法之一就是充分利用非標準變式,通過變換概念的非本質屬性,突出其本質屬性,同時,通過非標準變式與標準變式的比較,幫助學生理解概念的本質屬性.
3. 在運用數學概念解決問題的過程中深度理解概念
對數學概念的深刻理解,是提高學生運用能力的基礎;反之,也只有通過運用,學生才能加深對概念的認識,才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的內涵和外延. 數學概念形成之后,通過具體的、創(chuàng)造性的運用,說明概念的內涵,認識概念的“原型”,引導學生利用概念解決數學問題和發(fā)現概念在解決問題中的作用是數學概念理解的一個重要環(huán)節(jié),此環(huán)節(jié)操作的成功與否,將直接影響學生對數學概念的鞏固,以及解題能力的形成. 學生通過對問題的思考,能盡快投入到新概念的探索中,從而激發(fā)學生的好奇心以及探索和創(chuàng)造的欲望,使學生在參與的過程中產生內心的體驗和創(chuàng)造. 除此之外,教師還可通過反例、錯解等進行辨析,這也有利于學生鞏固概念.
總之,數學概念理解型教學重視知識所表征的意義或事物意義的獲得,主張通過知識的建構和意義的賦予,發(fā)展和豐富個體的意義世界.