摘 要： 二面角是高中立體幾何中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是一個(gè)難點(diǎn).學(xué)生常感到無(wú)從下手是因?yàn)闆](méi)有掌握尋找二面角的平面角的方法.尋找二面角的平面角的實(shí)質(zhì)其實(shí)就是找一個(gè)平面與交線垂直.

關(guān)鍵詞： 二面角 平面角 交線 垂直

二面角是高中立體幾何中的一個(gè)重要內(nèi)容，廣東理科數(shù)學(xué)高考從2010年開(kāi)始連續(xù)4年都考了求二面角的平面角，這個(gè)內(nèi)容也是一個(gè)難點(diǎn).對(duì)于二面角方面的問(wèn)題，學(xué)生往往無(wú)從下手，他們并不是不會(huì)構(gòu)造三角形或解三角形，而是沒(méi)有掌握尋找二面角的平面角的方法.

在教學(xué)中我試過(guò)把尋找二面角的方法分成：定義法、三垂線法介紹給學(xué)生，但學(xué)生掌握得并不好。特別是三垂線法，因?yàn)椴⒉灰髮W(xué)生掌握三垂線定理，學(xué)生對(duì)這個(gè)定理感到非常陌生，更別提應(yīng)用了.于是我換了種方式教授，課本上是這樣定義二面角的平面角的：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.由定義可得兩射線所確定的平面與棱垂直，也就是說(shuō)找二面角的平面角可從找交線的垂面入手，即找兩條相交直線與交線垂直.學(xué)生聽(tīng)我這一講立即就來(lái)勁了，說(shuō)：“這簡(jiǎn)單.”

我立即用了幾道題檢驗(yàn)，學(xué)生感覺(jué)容易多了.

例1：（廣東高考2011年18題）如圖1，在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的棱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)，

（1）證明：AD⊥平面DEF；

（2）求二面角P-AD-B的余弦值.

解：（1）證明：設(shè)AD中點(diǎn)為H，連接PH，BH，

∵PA=PD，∴PH⊥AD，AH=，AB=1，∠DAB=60°

可得出BH==，

從而AH+BH=AB，

∴AH⊥HB，即AD⊥HB，

∴∠PHB就是面角P-AD-B的平面角.

以下求解略.

高考結(jié)束后，學(xué)生反映：開(kāi)始時(shí)第（1）小題不會(huì)做，只能先做第（2）小題，在做第（2）小題的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)PH⊥AD，AD⊥HB，所以AD⊥平面PHB，從而把第（1）小題也解決了.

例2：如圖3，已知正三棱柱ABC-ABC的底面正三角形的邊長(zhǎng)是2，D是CC的中點(diǎn)，直線AD與側(cè)面BBCC所成的角是45°，求二面角A-BD-C的正切值.

分析：因?yàn)橹本€AD與側(cè)面BBCC所成的角是45°，所以學(xué)生都會(huì)在第一時(shí)間找直線AD與側(cè)面BCCB所成的角，由正三棱柱的性質(zhì)可知：面ABC⊥面BCCB，AB=AC.學(xué)生首先取BC中點(diǎn)E，連接AE，可證得AE⊥平面BCCB，所以AE⊥交線BD.在圖中再也找不到第二條直線與BD垂直了，于是學(xué)生想到了作輔助線，而這條輔助線應(yīng)與AE相交，所以有的過(guò)E作EF⊥BD，連接AF，有的過(guò)A作AF⊥BD，連接EF（如圖4），都可證得BD⊥平面AEF，可得∠AFE到就是二面角A-BD-C的平面角.學(xué)生解題思路一下子就打開(kāi)了.

例3：如圖5，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn).

（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；

（2）點(diǎn)M在線段PC上，PM=tPC，試確定t的值，使PA∥平面MQB；

（3）在（2）的條件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小.

求解此題的第（3）小題時(shí)，若從定義入手，則在平面BQC中顯然找到QD⊥QB，在平面QBM中很難找到一條直線與QB垂直.但若先找BQ的垂線，由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥BQ（由第（1）小題證得），可得BQ⊥平面PAD，所以BQ垂直平面PAD內(nèi)任何一條直線，即PA⊥BQ，第（2）小題曾證明PA∥MN（如圖6），也就是說(shuō)BQ⊥NM，所以AD與PA所成的角∠PAD=60°（因?yàn)镻A=PD=AD=2）即為所求.

找二面角的平面角的實(shí)質(zhì)就是找兩條相交直線與交線垂直，這種方法的好處在例3中更能體現(xiàn)出來(lái).

通過(guò)以上分析和舉例說(shuō)明，尋找二面角的平面角的方法比較容易.只要抓住問(wèn)題的本質(zhì)，關(guān)于二面角的平面角的問(wèn)題就能迎刃而解.

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修2.人民教育出版社.