江海峰，崔立志，汪忠志

（安徽工業(yè)大學(xué)a．商學(xué)院；b．?dāng)?shù)理學(xué)院，安徽 馬鞍山243002）

一、引 言

自從Phllips在1986年從理論上證明單位根可以產(chǎn)生偽回歸以來，單位根檢驗已在實證研究中引起重視，單位根檢驗理論也日益豐富［1］。作為一種假設(shè)檢驗，單位根檢驗也同樣會犯兩類錯誤，但單位根檢驗有其特殊性：首先，單位根檢驗統(tǒng)計量分布不但與數(shù)據(jù)生成過程有關(guān)，還取決于檢驗?zāi)Ｐ驮O(shè)定形式［2－3］；其次，除個別情形之外，絕大多數(shù)單位根檢驗統(tǒng)計量分布收斂到維納過程的泛函，且分布收斂都建立在大樣本前提下，有限樣本下分布并不存在。這種特殊性對單位根檢驗的兩類錯誤必然會產(chǎn)生影響。為降低第一類錯誤，研究人員將Bootstrap方法引入到單位根檢驗中，取得了良好效果，但對提高檢驗功效的作用并不明顯［4－5］。為提高檢驗功效，Shin和So于2001年將遞歸均值調(diào)整方法引入單位根檢驗中［6］。其檢驗思路如下：設(shè)數(shù)據(jù)生成模型和檢驗?zāi)Ｐ头謩e為下列式（1）和式（2）：

其中），建立假設(shè)。經(jīng)典第二類DF檢驗①①照陸懋祖的分類標(biāo)準(zhǔn)，將單位根DF檢驗分成四類：第一類和第二類DF檢驗數(shù)據(jù)生成為無漂移項的隨機(jī)游走過程，而檢驗?zāi)Ｐ头謩e與式（1）、式（2）相對應(yīng)；第三類和第四類DF檢驗與本文研究無關(guān)，具體介紹參見陸懋祖的介紹［7］57－76。參數(shù)估計為：

顯然，這種偏差隨著ρ0靠近1而逐漸變大，進(jìn)而降低單位根檢驗功效。為消除偏差，Shin和So更改檢驗?zāi)Ｐ停?）的設(shè)定形式如下：

Shin和So的模擬表明：對于同樣的真值ρ0，和式（3）相比，引入遞歸均值以后，比更加接近真實值ρ0，偏差改進(jìn)程度約為（1＋ρ0）／n。因此，對于較大的ρ0或者較小的樣本n，遞歸均值方法確實可以降低估計偏差，使得遞歸均值調(diào)整下檢驗統(tǒng)計量的臨界值右偏，從而提高檢驗功效。此后Cook使用遞歸均值調(diào)整方法討論結(jié)構(gòu)突變單位根檢驗?zāi)Ｐ停驳玫筋愃平Y(jié)論［9］。Rodrigues等進(jìn)一步研究遞歸趨勢調(diào)整單位根檢驗?zāi)Ｐ?，但沒有和對應(yīng)的DF檢驗?zāi)Ｊ竭M(jìn)行比較，也沒有推導(dǎo)檢驗統(tǒng)計量的漸進(jìn)分布［10－11］。

引入遞歸均值真能夠提高檢驗功效嗎？正如上文所提到的那樣，單位根檢驗功效同時取決于數(shù)據(jù)生成過程和檢驗?zāi)Ｐ驮O(shè)定形式。實際上，Shin和So在所有模擬中，都假設(shè)μ＝0，當(dāng)原假設(shè)H0：ρ＝1成立時，由式（4）可知，無論μ＝0是否成立，對模擬均不產(chǎn)生影響，但當(dāng)μ≠0且備擇假設(shè)成立時，模型（4）表示均值為μ的平穩(wěn)過程，對于此種情況下的檢驗功效，他們并沒有給出結(jié)論。從可比性角度來說，當(dāng)備擇假設(shè)成立時，μ＝0意味著序列為零均值平穩(wěn)過程，如果使用DF檢驗，則應(yīng)該與第一類DF檢驗而不是第二類DF檢驗比較功效；如果從誤設(shè)檢驗?zāi)Ｐ托问絹碚f，即錯誤選擇帶漂移項檢驗?zāi)Ｐ停等詾榱?，此時可以比較遞歸均值調(diào)整檢驗?zāi)Ｊ脚c采用全樣本均值 調(diào)整的第二類DF檢驗?zāi)Ｊ?。顯然Shin和So僅比較了后者，而忽略了前者，由此得到的結(jié)論缺乏普遍性。

當(dāng)μ≠0時，還可以從雙模型數(shù)據(jù)生成角度來理解式（4）。類似式（2）那樣，經(jīng)典DF檢驗將均值和單位根生成過程融入一個模型中，而Bhargava主張使用兩個模型表示各自的生成過程［12］。例如與式（2）對應(yīng)的數(shù)據(jù)生成過程用雙模型表示如下：

當(dāng)μ＝0時對應(yīng)Shin和So的結(jié)論，當(dāng)μ≠0且ρ＝1－c／n（c＞0）為近單位根時，模型（4）表明yt是均值為μ的平穩(wěn)過程，這也正是模型（6）表示的含義。相對于第二類DF檢驗?zāi)Ｊ剑葍r于模型（2）中δ＝n－1cμ≠0且ρ＝1－c／n，這時也可以比較第二類DF檢驗與遞歸均值調(diào)整檢驗下的檢驗功效，顯然Shin和So也沒有對此進(jìn)行研究。

因此，要全面比較遞歸均值調(diào)整檢驗與經(jīng)典DF檢驗的功效，就必須從檢驗?zāi)Ｐ驮O(shè)定形式以及均值μ取值是否為零兩個角度出發(fā)，在保持可比性基礎(chǔ)上進(jìn)行全面分析，即應(yīng)該研究以下3個內(nèi)容：

（1）真實均值μ＝0，比較正確使用第一類DF檢驗和遞歸均值調(diào)整檢驗的功效；

（2）真實均值μ＝0，比較誤用第二類DF檢驗與遞歸均值調(diào)整檢驗的功效；

（3）真實均值μ≠0，比較正確使用第二類DF檢驗與遞歸均值調(diào)整檢驗的功效。

顯然，Shin和So只研究了其中的內(nèi)容（2）。因此，本文就按照這個思路展開研究，首先導(dǎo)出各種情況下檢驗功效公式，然后再通過蒙特卡羅模擬來估算有限樣本下的檢驗功效，最后給出研究的最終結(jié)論。

二、零均值數(shù)據(jù)生成模型檢驗功效

（一）第一類DF檢驗

如果數(shù)據(jù)生成與檢驗?zāi)Ｐ投疾缓衅祈?，此時對應(yīng)第一類DF檢驗，根據(jù)式（1）有：

當(dāng)H1：ρ＝1－c／n成立時，遞推式（1）有，其中 ，且有成立，［nr］表示不超過的正整數(shù)，）。利用結(jié)論得到，根據(jù) Phillips的研究有［13］：

其中Cτ1α和Ct1α是式（7）當(dāng)c＝0時檢驗統(tǒng)計量τ1和t1對應(yīng)顯著性水平為α的臨界值）為標(biāo)準(zhǔn)差。式（8）等號左邊給出了檢驗功效的模擬計算公式，而等號右邊給出了功效計算的理論公式（下同）。這就導(dǎo)出了研究內(nèi)容（1）中第一類DF檢驗統(tǒng)計量的功效公式。

（二）遞歸均值調(diào)整檢驗

建立檢驗統(tǒng)計量為：

根據(jù)Kurtz和Protter在1991的研究有［14］：

其中：

因此得到：

從而采用遞歸均值調(diào)整模式時檢驗功效為：

（三）第二類DF檢驗

如果采用第二類DF檢驗?zāi)Ｊ剑床捎萌缦聶z驗?zāi)Ｐ停?/p>

根據(jù)最小二乘法有：

利 用 結(jié) 論 n－1／2y［nr］σJc（r）得 到，帶入式（12）有：

三、非零均值數(shù)據(jù)生成模型檢驗功效

實際上，Shin和So的理論研究中并沒有要求μ＝0，下面分兩種情況討論其檢驗功效。

（一）單方程第二類DF檢驗

為得到含有非零均值平穩(wěn)序列，就需要假設(shè)式（2）中δ≠0。為和式（6）表示的模型具有可比性，必須保證在原假設(shè)成立時有相同的均值，因此有δ＝（1 －ρ）μ。當(dāng)備擇假設(shè)H1：ρ＝1－c／n成立時，根據(jù)式（2）結(jié)合δ＝ （1 －ρ）μ 遞推得到：

（二）雙方程遞歸均值調(diào)整模型檢驗

當(dāng)使用數(shù)據(jù)生成式（6）來考察非零均值單位根過程或者平穩(wěn)過程時，消除xt可得到式（4），此時仍使用遞歸均值進(jìn)行調(diào)整得到檢驗?zāi)Ｐ蜑椋?/p>

因此有：

從而檢驗功效仍為式（11）。這就導(dǎo)出了內(nèi)容（3）中遞歸均值調(diào)整檢驗統(tǒng)計量的功效公式。

同樣需要說明的是：均值μ是否為零不影響檢驗功效理論公式的原因在于式（16）中第二項為，對分布的影響在大樣本下可以忽略，但在有限樣本下仍有差異。

四、檢驗功效的蒙特卡洛模擬分析

（一）模擬設(shè)置

為比較遞歸均值調(diào)整模式與DF類檢驗?zāi)Ｊ较碌臋z驗功效，現(xiàn)進(jìn)行蒙特卡洛模擬分析。設(shè)模擬次數(shù)為10 000次，取樣本容量為25、50、100和250，顯著性水平為0．05，εt服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，ρ分別取1、0．95、0．90、0．85和0．80，μ按照研究內(nèi)容分別設(shè)置μ＝0和μ≠0兩種情況。

（二）零均值數(shù)據(jù)生成與模擬

首先比較均值μ＝0時第一類DF檢驗、第二類DF檢驗和遞歸均值調(diào)整檢驗的模擬結(jié)果，表1給出了模擬結(jié)果。當(dāng)μ＝0且備擇假設(shè)成立時，數(shù)據(jù)生成都是零均值平穩(wěn)過程，根據(jù)研究內(nèi)容（1）和研究內(nèi)容（2）可知，此時第一類DF檢驗、第二類DF檢驗分別與遞歸均值調(diào)整檢驗的功效具有可比性。表1表明：當(dāng)ρ＜1時，對于相同的ρ和樣本容量，遞歸均值調(diào)整模式檢驗統(tǒng)計量τrma、trma的檢驗功效都高于第二類DF檢驗對應(yīng)檢驗統(tǒng)計量τ2、t2，這與Shin和So的結(jié)論完全一致，卻明顯低于第一類DF檢驗對應(yīng)檢驗統(tǒng)計量τ1、t1，這是他們沒有發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。從這個角度來說，不能完全接受遞歸均值調(diào)整檢驗?zāi)Ｊ侥軌蛱岣邫z驗功效。另外，表1也顯示，對于相同的ρ，隨著樣本n增大，每種檢驗統(tǒng)計量檢驗功效呈現(xiàn)遞增趨勢；對于相同樣本容量n，隨著ρ降低，每種檢驗統(tǒng)計量檢驗功效也呈現(xiàn)遞增趨勢，這可以從ρ＝1－c／n中得到解釋，因為上述兩種情況都會導(dǎo)致c呈現(xiàn)遞增趨勢，而上文各個檢驗功效計算公式都表明檢驗功效隨著c遞增而遞增。

表1 零均值調(diào)整和DF檢驗的功效模擬結(jié)果

另外，表1還給出了此種情況第一類DF檢驗、第二類DF檢驗以及遞歸均值調(diào)整檢驗的檢驗水平模擬結(jié)果，這對應(yīng)ρ＝1的取值。由于模擬的隨機(jī)性，每種檢驗的實際顯著性水平不可能正好等于名義水平0．05。根據(jù)Godfrey和Orme提供的實際顯著性水平區(qū)間估計公式，取概率度為1．96得到實際顯著性水平的區(qū)間估計為（4．60%，5．40%）［15］。顯然，這些檢驗統(tǒng)計量的檢驗水平均落在該區(qū)間估計內(nèi)，因此具有滿意的檢驗水平，從而在此基礎(chǔ)之上的檢驗功效比較是有意義的。

（三）非零均值數(shù)據(jù)生成與模擬

接下來考察當(dāng)μ≠0時各個檢驗統(tǒng)計量檢驗功效。直觀地認(rèn)為，當(dāng)μ與0差距不大時，相關(guān)檢驗結(jié)論應(yīng)該與μ＝0結(jié)果大體相同，為了考察μ的變化對各檢驗統(tǒng)計量檢驗功效的影響，同時鑒于經(jīng)濟(jì)時間序列中的μ＞0，本文考察μ從1到10每次遞增0．5時的功效，表2～5只給出了上述4種樣本下μ取值為1、5和10時各個檢驗統(tǒng)計量的檢驗功效和檢驗水平。

表2 樣本為25時均值調(diào)整和DF檢驗的功效模擬結(jié)果

表3 樣本為50時均值調(diào)整和DF檢驗的功效模擬結(jié)果

根據(jù)研究內(nèi)容（3）可知，此時第一類DF檢驗沒有可比性，而第二類DF檢驗和遞歸均值檢驗?zāi)Ｊ皆趥鋼窦僭O(shè)成立時都表示非零均值的平穩(wěn)過程，具有可比性。表2和表5顯示：當(dāng)μ＝1且ρ＜1時，對于相同的ρ和樣本容量，遞歸均值調(diào)整模式的檢驗統(tǒng)計量的檢驗功效都高于第二類DF檢驗對應(yīng)檢驗統(tǒng)計量；當(dāng)μ＞1時，除樣本容量為25和250且ρ＝0．95之外，其它參數(shù)組合下，第二類DF檢驗對應(yīng)檢驗統(tǒng)計量的檢驗功效都不低于遞歸均值調(diào)整下對應(yīng)檢驗統(tǒng)計量的檢驗功效。因此，當(dāng)μ≠0時，遞歸均值調(diào)整模式下檢驗功效也不是始終最高。

表4 樣本為100時均值調(diào)整和DF檢驗的功效模擬結(jié)果

另外，除表2中有一處檢驗水平?jīng)]有落在上述理論檢驗水平區(qū)間估計之外①①表5中的檢驗統(tǒng)計量tdf1也有一處不滿足上述區(qū)間估計要求，但因不具備可比性而不予考慮。（用黑體表示），表2和表5中第二類DF檢驗統(tǒng)計量和遞歸均值檢驗統(tǒng)計量的其它場合檢驗水平都很好地落入到理論檢驗水平的區(qū)間估計內(nèi)，因此上述的檢驗功效比較也是有意義的。

表5 樣本為250時均值調(diào)整和DF檢驗的功效模擬結(jié)果

為反映出μ取值對檢驗統(tǒng)計量功效的影響，下面以第二類DF檢驗和遞歸均值調(diào)整檢驗?zāi)Ｊ降膫蝨檢驗統(tǒng)計量為代表，給出檢驗功效、樣本容量和ρ取值的三維圖形，結(jié)果如圖1～8所示，其中縱軸表示檢驗功效，取值為0至1；標(biāo)有4個刻度坐標(biāo)軸表示ρ取值，分別為0．80、0．85、0．90和0．95；取值從1到10的軸表示均值μ變化過程。圖1、圖3、圖5和圖7對應(yīng)第二類DF偽t檢驗統(tǒng)計量4種樣本的檢驗功效圖，而圖2、圖4、圖6和圖8表示遞歸均值調(diào)整偽t檢驗統(tǒng)計量4種樣本的檢驗功效圖。顯然，對固定的μ，兩類檢驗?zāi)Ｊ降臋z驗功效隨著ρ增加呈遞增趨勢，但當(dāng)固定ρ，對于第二類DF檢驗來說，檢驗功效隨著μ增加呈遞增趨勢，但對均值調(diào)整檢驗?zāi)Ｊ絹碚f，檢驗功效卻隨著μ增加呈遞減趨勢，但當(dāng)樣本為250時兩類檢驗?zāi)Ｊ降臋z驗功效都達(dá)到最大值。類似的結(jié)論也適用于兩類檢驗?zāi)Ｊ降南禂?shù)檢驗統(tǒng)計量。因此，綜合表2～5以及圖1～8的結(jié)果，不難看出，當(dāng)μ＞0時，第二類DF檢驗統(tǒng)計量的檢驗功效在大多數(shù)場合下要高于均值調(diào)整遞歸檢驗?zāi)Ｊ较碌臋z驗功效。

圖1 樣本為25第二類DF偽t檢驗統(tǒng)計量功效圖

圖2 樣本為25遞歸均值調(diào)整偽t檢驗統(tǒng)計量功效圖

圖3 樣本為50第二類DF偽t檢驗統(tǒng)計量功效圖

圖4 樣本為50遞歸均值調(diào)整偽t檢驗統(tǒng)計量功效圖

圖5 樣本為100第二類DF偽t檢驗統(tǒng)計量功效圖

圖6 樣本為100遞歸均值調(diào)整偽t檢驗統(tǒng)計量功效圖

圖7 樣本為250第二類DF偽t檢驗統(tǒng)計量功效圖

圖8 樣本為250遞歸均值調(diào)整偽t檢驗統(tǒng)計量功效圖

五、結(jié) 論

綜上分析，本文得到以下四點(diǎn)結(jié)論：

1．當(dāng)原假設(shè)成立表示單位根過程而備擇假設(shè)成立表示平穩(wěn)過程時，無論平穩(wěn)過程的均值是否為零，第二類DF檢驗功效理論公式相同，遞歸均值調(diào)整模式檢驗功效理論公式也與均值是否為零無關(guān)，但這僅限于大樣本情況下的結(jié)論，而有限樣本下結(jié)論不成立，模擬結(jié)果驗證了這點(diǎn)。

2．當(dāng)序列表示為零均值平穩(wěn)過程時，第一類DF檢驗?zāi)Ｐ蜑檎_設(shè)定形式，而第二類DF檢驗和遞歸均值調(diào)整檢驗?zāi)Ｊ剑瑸槟Ｐ驼`設(shè)形式，三種檢驗?zāi)Ｊ綕M足可比性原則，模擬結(jié)果表明：此時遞歸均值調(diào)整檢驗?zāi)Ｊ降臋z驗功效高于第二類DF檢驗?zāi)Ｊ?，但低于第一類DF檢驗?zāi)Ｊ剑@表明對于零均值的平穩(wěn)過程而言，遞歸均值調(diào)整檢驗?zāi)Ｊ綑z驗功效并非最高。

3．當(dāng)序列表示為非零均值的平穩(wěn)過程時，第一類DF檢驗?zāi)Ｐ蜑檎`設(shè)形式，而第二類DF檢驗和遞歸均值調(diào)整檢驗?zāi)Ｊ綖檎_模型形式。此時只有后兩種檢驗?zāi)Ｊ綕M足可比性原則，模擬結(jié)果表明，遞歸均值檢驗功效的優(yōu)勢僅限于較小的非零均值，對于較大均值，第二類DF檢驗?zāi)Ｊ降臋z驗功效具有優(yōu)勢。

4．無論均值是否為零，各種檢驗統(tǒng)計量的實際檢驗水平與名義檢驗水平完全吻合，因此上述有關(guān)檢驗功效的結(jié)論得到檢驗水平結(jié)果的支持。

綜上所述，在實證分析中，應(yīng)結(jié)合序列均值的判斷，謹(jǐn)慎使用遞歸均值調(diào)整模式進(jìn)行單位根檢驗。

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