徐國(guó)盛，趙曉兵

（浙江財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，浙江 杭州310018）

一、引 言

商業(yè)醫(yī)療保險(xiǎn)在社會(huì)醫(yī)療保障體系中占有重要地位，是公費(fèi)醫(yī)療保險(xiǎn)的有益補(bǔ)充。在醫(yī)療保險(xiǎn)中，醫(yī)療費(fèi)用的評(píng)估是保險(xiǎn)理賠的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。在某些情況下，醫(yī)療費(fèi)用數(shù)據(jù)的分布具有一定的特殊性，如費(fèi)用數(shù)據(jù)是右偏態(tài)的，刪失和死亡事件時(shí)有發(fā)生等，這使醫(yī)療費(fèi)用的評(píng)估變得困難。

在國(guó)外，醫(yī)療費(fèi)用評(píng)估已成為當(dāng)下的研究熱點(diǎn)，定量研究方法被廣泛采用。在國(guó)內(nèi)，注重描述性分析和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的結(jié)合，楊馥等對(duì)陜西人身保險(xiǎn)市場(chǎng)需求進(jìn)行了描述性分析和相關(guān)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)［1］。最近幾年，國(guó)外研究者提出了許多量化模型和量化方法來(lái)進(jìn)行醫(yī)療費(fèi)用的估計(jì)和預(yù)測(cè)，如經(jīng)驗(yàn)似然方法、混合模型方法及廣義線性模型等。Moran等用廣義線性模型對(duì)醫(yī)療費(fèi)用數(shù)據(jù)進(jìn)行建模并預(yù)測(cè)［2］。在醫(yī)療費(fèi)用數(shù)據(jù)分析中，廣義線性模型是最常用的方法之一。其中的解釋變量可以用來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的醫(yī)療保險(xiǎn)索賠額度，但如果費(fèi)用數(shù)據(jù)中含有太多的解釋變量，傳統(tǒng)的評(píng)估方法就不再適用。仇春涓和陳滔運(yùn)用廣義線性模型分析了四川和上海的一組醫(yī)療保險(xiǎn)數(shù)據(jù)，在分析中假定了已知的聯(lián)系函數(shù)，并針對(duì)二十多個(gè)解釋變量，主觀選擇了若干個(gè)變量納入模型分析［3］?？紤]到上述方法的不足，趙曉兵和王偉偉采用了一種全新的模型和方法重新分析了這組數(shù)據(jù)，即在非參數(shù)聯(lián)系函數(shù)的假設(shè)下，利用充分降維方法尋找高維解釋變量的線性組合，從而達(dá)到降維的目的［4］。但充分降維方法最大的缺陷是很難給予解釋變量的效應(yīng)一個(gè)直觀解釋，因?yàn)檫@個(gè)解釋需要結(jié)合解釋變量效應(yīng)的大小和正負(fù)，并且和回歸函數(shù)有關(guān)。針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出另外一種降維方法—變量選擇法，用來(lái)分析上述醫(yī)療費(fèi)用數(shù)據(jù)。變量選擇法與主成分分析和因子分析相比，考慮了響應(yīng)變量和解釋變量的關(guān)系，充分利用響應(yīng)變量的信息，該方法也是目前研究高維數(shù)據(jù)的熱點(diǎn)方法之一。與充分降維方法相比較，變量選擇法的最大優(yōu)點(diǎn)是可以給予解釋變量的效應(yīng)很直觀的解釋。

本文采用Lin的模型對(duì)醫(yī)療費(fèi)用數(shù)據(jù)進(jìn)行變量選擇［5］。Lin模型中可以假設(shè)聯(lián)系函數(shù)是非參數(shù)或者半?yún)?shù)的，再利用穩(wěn)健的變量選擇方法。但是本文主要關(guān)心的是變量選擇方法，所以仍然假設(shè)聯(lián)系函數(shù)是參數(shù)化的。這樣的模型有兩個(gè)特點(diǎn)：一是可以允許高維附加信息的存在，二是可以給解釋變量的效應(yīng)直觀的解釋，這是充分降維無(wú)法達(dá)到的。

二、模型與方法

假設(shè)因變量為醫(yī)療保險(xiǎn)賠付金額Yi，i＝1，2，…，n，解釋變量為影響醫(yī)療保險(xiǎn)賠付的因素，如性別，年齡，住院天數(shù)，醫(yī)療費(fèi)用等）。由于醫(yī)療費(fèi)用數(shù)據(jù)通常具有偏態(tài)性，因此采用Lin提出的模型，其模型如下：

針對(duì)以上模型，變量選擇方法不僅可以達(dá)到降維目的，又能賦予模型良好的解釋性，成為目前廣泛使用的降維方法之一，具體如下：

LASSO變量選擇方法。LASSO是Tibshirani提出，該方法應(yīng)用絕對(duì)值函數(shù)作為懲罰項(xiàng)，壓縮模型系數(shù)，保留重要的變量［6］。在廣義線性模型中，響應(yīng)變量分布屬于指數(shù)分布族，密度為。其中，。記＾是廣義線性模型的最大似然估計(jì)，那么）的LASSO估計(jì)可由以下目標(biāo)函數(shù)得到［7］：

SCAD方法。Fan和Li提出了一種新的懲罰函數(shù)SCAD，它具有oracle性質(zhì)［8］。在SCAD方法中，對(duì)于所有的j，懲罰函數(shù)項(xiàng)不都是完全一致的。SCAD的懲罰函數(shù)為：

將目標(biāo)函數(shù)最小化就可以得到估計(jì)值＾β。為了優(yōu)化計(jì)算，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造如下目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變量選擇：

LASSO算法。對(duì)于伽馬分布廣義線性模型，選擇的連接函數(shù)為，據(jù)此構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：

使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小，就可以得到經(jīng)過(guò)LASSO壓縮過(guò)的β估計(jì)值。根據(jù)函數(shù)近似逼近的方法，對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行逼近，進(jìn)而得到如下算法［9］：

Step 1：通過(guò)如下目標(biāo)函數(shù)求得無(wú)懲罰的估計(jì)

不斷重復(fù)Step 2，使相鄰兩次迭代之間的差異充分小。這樣，最終得到了β的LASSO估計(jì)。

SCAD算法。根據(jù)廣義線性模型的Gamma分布，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：

然后運(yùn)用SCAD算法計(jì)算，使目標(biāo)函數(shù)最小化，選擇影響醫(yī)療賠付的重要變量。在這里采用了one－step LLA算法［10］。在此方法中，借鑒了最小角回歸（LARS）的思想。

參數(shù)的選取。在LASSO算法中，根據(jù)BIC準(zhǔn)則選擇，借鑒 Wang和趙為華的做法是λj＝0的無(wú)懲罰估計(jì)［9］。SCAD算法中，取 。同時(shí)，對(duì)，令，相應(yīng)的解釋變量被剔除。最終的解釋變量被選入模型。

三、數(shù)值模擬

運(yùn)用前文的Gamma廣義線性模型進(jìn)行模擬。Yi～Gamma分布的密度函數(shù)為：

且μi＝E（yi），即：

例一：令β＝ （11，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0）T并 且 用 正 態(tài) 分布產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)構(gòu)成X，X是d×n矩陣，令d＝30，n＝50，100，150。

當(dāng)i＝1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。運(yùn)用LASSO，SCAD方法對(duì)其進(jìn)行變量選擇。

通過(guò)表1可以看出，LASSO和SCAD方法對(duì)變量的選擇都很顯著，具有較強(qiáng)穩(wěn)定性。在小樣本下，變量選擇的效果依然很好。

表1 LASSO，SCAD變量選擇的表

表1 LASSO，SCAD變量選擇的表

LASSOSCAD β1 β2～β30 β1 β2～β30 n＝5013．64504．0120（1．18）－（12．29）－n＝10012．808010．4800（0．83）－（1．026）－n＝15012．267010．4800（0．70）－（1．026） －

例二：取β＝ （17，－5，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0）T，X為d×n（d＝40，n＝50，100，150）矩陣，其中有。

通過(guò)表2與表3可以看出，對(duì)服從兩點(diǎn)分布的解釋變量進(jìn)行變量選擇，兩種方法都具有良好效果，但SCAD方法的穩(wěn)定性較強(qiáng)。在小樣本條件下，變量選擇效果仍然良好。

表2 LASSO變量選擇的表

表2 LASSO變量選擇的表

β1 β2 β3～β40 8530（0．16）（0．18）－n＝1007．159－4．8810（0．13）（0．17）－n＝1507．114－4．8840（0．17）（0．15）n＝507．180－4．－

表3 SCAD變量選擇的表

表3 SCAD變量選擇的表

β1 β2 β3～β40 5180（1．40）（1．25）－n＝1005．602－2．2230（1．16）（1．30）－n＝1506．084－3．2510（1．03）（1．16）n＝504．607－0．－

例三：令β＝ （5，5，5，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0）T，并且用正態(tài)分布產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)構(gòu)成X，X是d×n（d＝50，n＝50，100，150）矩陣，其中，。

由表4及表5可以看出，LASSO和SCAD方法對(duì)于變量的選擇作用都很顯著。隨著樣本的增大，CAD算法選擇依然精確，標(biāo)準(zhǔn)差逐漸減小，穩(wěn)定性增強(qiáng)；LASSO方法隨著樣本的增大，標(biāo)準(zhǔn)差略微增大，但穩(wěn)定性依然比SCAD方法好。

表4 LASSO變量選擇的表

表4 LASSO變量選擇的表

β1 β2 β3 β4～β50 4550（0．88）（0．93）（1．01）－n＝1004．7974．9144．8070（0．50）（0．44）（0．53）－n＝1504．8644．9074．9050（0．50）（0．45）（0．53）n＝504．6144．4824．－

表5 SCAD變量選擇的表

表5 SCAD變量選擇的表

β1 β2 β3 β4～β50 1340（2．52）（2．20）（3．19）－n＝1001．7871．6211．8620（2．01）（1．76）（1．76）－n＝1502．5482．2982．5200（1．73）（1．47）（1．50）n＝500．1640．8341．－

下面針對(duì)變量選擇選出的變量，進(jìn)行系數(shù)的估計(jì)。同樣的，在樣本數(shù)為n＝50，100，150的情況下分別求得最大似然估計(jì)，得到的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

表6 選擇變量的的均值和標(biāo)準(zhǔn)差表

表6 選擇變量的的均值和標(biāo)準(zhǔn)差表

β1 β2 β3 688（2．43）（2．24）（2．29）n＝1004．9505．1435．201（1．46）（1．42）（1．50）n＝1505．0615．1074．943（1．20）（1．67）（1．07）n＝504．8714．6134．

四、實(shí)例分析

在醫(yī)療保險(xiǎn)賠付研究中，人們常關(guān)心兩個(gè)變量，一是賠付金額，二是影響賠付的重要因素（變量）。識(shí)別因素在醫(yī)療保險(xiǎn)賠付中的效應(yīng)是一個(gè)基本的任務(wù)。利用前面的模型和方法來(lái)分析2008年某商業(yè)保險(xiǎn)公司在上海和四川兩地推廣的一種醫(yī)療保險(xiǎn)險(xiǎn)種的理賠數(shù)據(jù)，尋找影響醫(yī)療保險(xiǎn)賠付的重要因素。由于該組數(shù)據(jù)被不同研究者分析過(guò)，使用該組數(shù)據(jù)便于與其他研究者的結(jié)果進(jìn)行比較，進(jìn)一步顯示本文方法的有效性。其次，由于本文提出的模型和變量選擇方法較為簡(jiǎn)便，因此它在未來(lái)的醫(yī)療保險(xiǎn)賠付研究中具有廣泛的借鑒性。

仇春娟等根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選出了重要變量，并進(jìn)行了實(shí)證，由于是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)主觀選擇，并不能把所有關(guān)鍵信息納入決策，可能遺漏重要變量［3］。趙曉兵等運(yùn)用切片逆回歸達(dá)到了降維目的，充分考慮了高維附加信息，但模型缺乏良好的解釋性［4］。本文中使用同樣的廣義線性模型分析該數(shù)據(jù)。通過(guò)LASSO，SCAD變量選擇方法進(jìn)行變量選擇，不僅達(dá)到降維的目的，選擇出重要的解釋變量，保留關(guān)鍵信息，并且賦予模型更好的解釋性。

選取響應(yīng)變量是一份醫(yī)療保險(xiǎn)合同在一個(gè)固定保險(xiǎn)期內(nèi)的最終賠款額，即實(shí)賠金額。解釋變量為大部分可能的影響因素，共21個(gè)。

由表7可知，LASSO和SCAD選擇結(jié)果十分接近。通過(guò)LASSO選擇后，主要的解釋變量為醫(yī)院級(jí)別，賬單金額，護(hù)理費(fèi)。通過(guò)SCAD選擇后，主要的解釋變量是醫(yī)院級(jí)別，賬單金額，診療費(fèi)。接下來(lái)對(duì)選出變量的系數(shù)分別估計(jì)。采用極大似然法求解相應(yīng)的，如下表：

表7 基于LASSO和SCAD方法的＾β

表8 LASSO選擇變量的系數(shù)表

表9 SCAD選擇變量的系數(shù)

據(jù)此，得到以下結(jié)論：

1．醫(yī)院級(jí)別。通過(guò)圖1可以看出，雖然第二等級(jí)的醫(yī)院箱體較第一等級(jí)的醫(yī)院箱體下降，可以認(rèn)為這是由于去第一等級(jí)醫(yī)院就診的樣本較少，不能反映總體性質(zhì)。總體上來(lái)看，醫(yī)院級(jí)別越高，實(shí)際賠償金額也增高。醫(yī)院級(jí)別的估計(jì)系數(shù)在LASSO方法和SCAD方法下分別為36．64，39．20，是正相關(guān)的，所以醫(yī)院級(jí)別是一個(gè)重要影響變量，這是與實(shí)際相符的。這一結(jié)果與仇春娟和趙曉兵的結(jié)論一致。

圖1 醫(yī)院等級(jí)箱型圖

2．住院時(shí)間。一般情況下，住院時(shí)間越長(zhǎng)，賠付金額應(yīng)該越高。但是由于其他因素的影響，如放射費(fèi)用，手術(shù)費(fèi)用等，個(gè)體可能在較短的住院時(shí)間內(nèi)花費(fèi)較高費(fèi)用，進(jìn)而使住院時(shí)間的影響因素變得不顯著。這一結(jié)果與趙曉兵相同，而與仇春娟的不同。

3．年齡。該保險(xiǎn)數(shù)據(jù)是根據(jù)案件性質(zhì)（如疾病，意外傷害程度）進(jìn)行賠償，并且由于研究對(duì)象都是60歲以下，低齡兒童占有很大比重，所以年齡因素并不顯著。這一結(jié)果與兩位學(xué)者是相同的，也做了充分的解釋。

4．保障檔次。這與兩位學(xué)者的結(jié)果均不相同。一般情況下，保障檔次越高，賠付金額越高。在本文中的保險(xiǎn)數(shù)據(jù)中，大多數(shù)保障檔次為1檔，但由于案件或疾病的嚴(yán)重性，造成賠付較高。即使為更高的檔次，也因?yàn)榘讣男再|(zhì)并不是特別嚴(yán)重而使賠償金額較少。因此，保障檔次的影響并不顯著。

5．性別。變量選擇的結(jié)果說(shuō)明性別不是顯著因素。這與仇春娟的結(jié)論相同，與趙曉兵的不同。

6．賬單總金額。這一因素在兩位學(xué)者中都未被提及，但通過(guò)本文的變量選擇，卻成為重要的影響因素，因?yàn)樗税讣?yán)重程度等重要信息，賬單總金額較高，則說(shuō)明案件性質(zhì)嚴(yán)重，導(dǎo)致實(shí)賠金額較多。圖2是對(duì)賬單總金額和實(shí)際賠付金額所做的散點(diǎn)圖，并用局部回歸進(jìn)行擬合，核函數(shù)取高斯核K，窗寬h通過(guò)交叉驗(yàn)證選取，進(jìn)而來(lái)研究?jī)烧咧g的關(guān)系。

圖2 賬單金額的散點(diǎn)平滑圖

通過(guò)圖3可以看出，隨著賬單總金額的增加，實(shí)賠金額的增加是十分明顯的，并且，在LASSO方法和SCAD方法下，估計(jì)系數(shù)分別為39．20，36．17，具有較強(qiáng)的正相關(guān)性。因此，賬單金額是影響實(shí)際賠付的重要因素。

圖3 護(hù)理費(fèi)和診療費(fèi)的散點(diǎn)平滑圖

7．護(hù)理費(fèi)和診療費(fèi)。這兩個(gè)因素在兩位學(xué)者研究中未提到，但通過(guò)本文的變量選擇，成為重要的影響因素。在這里，對(duì)于具有相同護(hù)理費(fèi)或診療費(fèi)的個(gè)體，取其實(shí)賠金額的均值進(jìn)行作圖，用局部回歸進(jìn)行擬合，核函數(shù)取高斯核，窗寬h通過(guò)交叉驗(yàn)證選取。

通過(guò)圖4，發(fā)現(xiàn)護(hù)理費(fèi)和診療費(fèi)在一定程度上增加，說(shuō)明案件或疾病較為嚴(yán)重，引起醫(yī)療費(fèi)用較高，進(jìn)而造成實(shí)際賠付較高。從圖中可以看出，圖5（a）的橫坐標(biāo)范圍明顯大于圖5（b）的橫坐標(biāo)范圍，兩圖的縱坐標(biāo)范圍基本相同。因此，診療費(fèi)對(duì)實(shí)賠金額的正效應(yīng)較大，這也可以從估計(jì)系數(shù)上得出，護(hù)理費(fèi)和診療費(fèi)的估計(jì)系數(shù)分別為0．12，7．47?？梢?jiàn)，通過(guò)變量選擇選出了具有更好解釋性的變量，較Zhang Riquan采用的充分降維具有一定的優(yōu)勢(shì)［9］。

五、結(jié) 論

采用Lin的醫(yī)療費(fèi)用模型，運(yùn)用變量選擇（LASSO，SCAD）方法，解決了高維變量帶來(lái)的一系列問(wèn)題。運(yùn)用LASSO，SCAD選出了重要的影響變量，對(duì)選出的重要變量進(jìn)行系數(shù)的估計(jì)，不僅達(dá)到了變量選擇的目的，保留了高維數(shù)據(jù)的附加信息，并且給予模型良好的解釋性。這就賦予估計(jì)系數(shù)一定的含義，同時(shí)不因?yàn)橹饔^原因遺漏重要的解釋變量。傳統(tǒng)的主成分分析和因子分析，僅僅就解釋變量的相關(guān)矩陣做譜分解，沒(méi)有考慮解釋變量和響應(yīng)變量之間的關(guān)系，而變量選擇充分考慮了這一關(guān)系，利用了響應(yīng)變量的信息。因此，本文給出了處理高維醫(yī)療費(fèi)用數(shù)據(jù)的一種有效方法。在本文中，主要研究的是醫(yī)療保險(xiǎn)的索賠額度，并沒(méi)有考慮索賠次數(shù)的問(wèn)題。另外，與其他文獻(xiàn)一樣，對(duì)響應(yīng)變量做了某種參數(shù)假設(shè)，這也是變量選擇方法的一個(gè)主要局限。最近已經(jīng)有文獻(xiàn)討論穩(wěn)健變量選擇的半?yún)?shù)和非參數(shù)方法，以后我們也將考慮用穩(wěn)健變量選擇方法來(lái)分析醫(yī)療保險(xiǎn)索賠額度等相關(guān)問(wèn)題。

［1］ 楊馥，劉珺．“十二五”期間陜西人身保險(xiǎn)市場(chǎng)需求變化研究［J］．西安財(cái)經(jīng)學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（1）．

［2］ Moran J L，Solomon P J，Aaron P R．New Models for Old Questions：Generalized Linear Models for Cost Prediction［J］．Journal of Evaluation in Clinical Practice，2007（3）．

［3］ 仇春娟，陳滔．商業(yè)醫(yī)療保險(xiǎn)損失分析：基于廣義線性模型的實(shí)證研究［J］．應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2012（4）．

［4］ 趙曉兵，王偉偉．高維附加信息下的商業(yè)醫(yī)療保險(xiǎn)費(fèi)用評(píng)估模型和方法［J］．財(cái)經(jīng)論叢，2013（4）．

［5］ Lin D Y．Regression Analysis of Incomplete Medical Cost Data［J］．Statistics in Medicine，2003（7）．

［6］ Tibshirani R．Regression Shrinkage and Selection via the Lasso［J］．Journal of the Royal Statistical Society，1996（1）．

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［9］ Zhang Riquan，Zhao Weihua，Liu Jicai．Robust Estimation and Variable Selection for Semiparametric Partially Linear Varying Coefficient Model Based on Modal Regression［J］．Journal of Nonparametric Statistics，2013（2）．

［10］Zou Hui，Li Runze．One－Step Sparse Estimates in Nonconcave Penalized Likelihood Models［J］．The Annals of Statistics，2008（4）．