李 銀，呂顯瑞，趙 昕，姜 博

（1.韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東韶關(guān) 512005；2.中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，廣州 510275；3.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，長春 130012；4.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院，長春 130118；5.新加坡國立大學(xué)理學(xué)院，新加坡119077，新加坡）

非線性Lorenz－Like系統(tǒng)的定性分析及控制

李 銀1，2，呂顯瑞3，趙 昕4，姜 博5

（1.韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東韶關(guān) 512005；2.中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，廣州 510275；3.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，長春 130012；4.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院，長春 130118；5.新加坡國立大學(xué)理學(xué)院，新加坡119077，新加坡）

利用定性分析和優(yōu)化控制方法，實現(xiàn)了Lorenz－Like模型的Hopf分支和優(yōu)化控制，得到了模型的動力學(xué)演化機(jī)理和分支條件及變量同步控制器和誤差系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定條件.

Lorenz－Like系統(tǒng)；定性分析；Hopf分支；變量廣義控制

Lorenz－Like系統(tǒng)是Lorenz混沌系統(tǒng)的一種延拓，混沌系統(tǒng)在保密通信、激光物理、化學(xué)反應(yīng)和生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛［1－2］.本文針對Lorenz－Like模型［3］的動力特性和狀態(tài)變量給出定性分析和優(yōu)化控制.首先，給出Lorenz－Like模型的吸引子、平衡點(diǎn)和耗散性等動力學(xué)特性；其次，研究模型的Hopf分支，給出判斷分支的表達(dá)式和判斷依據(jù)；最后，利用優(yōu)化控制方法給出模型部分變量快速同步的控制器.數(shù)值模擬表明，其誤差系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的，證實了本文方法的有效性與可行性.

1 Lorenz－Like系統(tǒng)模型及定性分析

考慮如下Lorenz－Like系統(tǒng)模型［3－5］：其中（x，y，z）T∈R3為系統(tǒng)的狀態(tài)變量.當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)p，q，k，h，s取正值時，文獻(xiàn)［3］證明了系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)是正的；當(dāng)p＝10，k＝1，h＝4，s＝2.5，q＝40時，系統(tǒng)吸引子如圖1（A）所示；當(dāng)p＝a，k＝a，h＝1，s＝c，q＝ab時，式（1）即為文獻(xiàn)［6－7］的系統(tǒng)；而當(dāng)a＝5，b＝4，c＝2時，系統(tǒng)吸引子如圖1（B）所示；當(dāng)p＝a，k＝a，h＝1，s＝b，q＝c－a時，系統(tǒng)（1）即為文獻(xiàn)［8］的系統(tǒng)；當(dāng)a＝2.1，b＝0.6，c＝30時，系統(tǒng)具有如圖1（C）所示的混沌吸引子；當(dāng)p＝a，k＝1，h＝1，s＝c，q＝b時；系統(tǒng)（1）即為文獻(xiàn)［9－10］的系統(tǒng)；當(dāng)a＝10，b＝16，c＝8／3時，系統(tǒng)具有如圖1（D）所示的混沌吸引子.

圖1 混沌系統(tǒng)的動力學(xué)演化Fig.1 Evolutionary dynamics of the chaotic system

2 混沌系統(tǒng)（1）的Hopf分支

下面考慮混沌系統(tǒng)（1）的Hopf分支情況.設(shè)Cn是復(fù)數(shù)域C上的線性空間.數(shù)量積〈u，v〉中u，v∈Cn滿足如下條件：

3 部分變量廣義控制的應(yīng)用

基于文獻(xiàn)［13］的方法，考慮兩個混沌系統(tǒng)：一個狀態(tài)變量為x∈Rp，另一個狀態(tài)變量為y∈Rq，假設(shè)x m∈Rs和y s∈Rs為其狀態(tài)變量的子集.

由式（26）可知，Ω＜p有很多類型的解，系統(tǒng)（24）特征根有負(fù)實部，

由于參數(shù)和初值的選擇為任意，因此不失一般性，可選擇參數(shù)如下：p＝10，k＝1，h＝4，s＝2.5，q＝40，a＝2.1，b＝0.6，c＝30，θ（z2（t－τ））＝3z2（t－τ），初值x1（0）＝2，y1＝0，z1x2（0）＝0，y2＝0.經(jīng)過簡單計算誤差可知，e1（0）＝－13，e2（0）＝－136.73，e3（0）＝－252.94.圖2（A）～（C）分別為部分同步τ＝0，0.3，－0.3的數(shù)值仿真誤差曲線.

圖2 誤差同步演化曲線Fig.2 Error synchronizing evolution curves

綜上，本文利用控制理論和優(yōu)化控制方法，探討并定性分析了Lorenz－Like模型的動力學(xué)特性及Hopf分支與部分變量的廣義控制，實現(xiàn)了誤差變量的快速同步控制.數(shù)值模擬結(jié)果表明：誤差系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的；本文方法簡單易學(xué)，且實現(xiàn)同步控制的時間短，是實現(xiàn)系統(tǒng)模型控制的有效方法.

［1］ 劉式適，劉式達(dá).物理學(xué)中的非線性方程［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2012：341－345.（LIU Shishi，LIU Shida.Nonlinear Equations in Physics［M］.Beijing：Peking University Press，2012：341－345.）

［2］ 王興元.混沌系統(tǒng)的同步及在保密通信中的應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2012：356－385.（WANG Xingyuan.Synchronization and Application of Chaos the Systems in Secure Communication［M］.Beijing：Science Press，2012：356－385.）

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Qualitative Analysis and Optimal Control of a Nonlinear Lorenz－Like Model

LI Yin1，2，LüXianrui3，ZHAO Xin4，JIANG Bo5
（1.SchoolofMathematicsandInformationScience，ShaoguanUniversity，Shaoguan512005，GuangdongProvince，China；2.SchoolofMathematicsandComputationalScience，SunYat－SenUniversity，Guangzhou510275，China；3.CollegeofMathematics，JilinUniversity，Changchun130012，China；4.CollegeofInformationTechnology，JilinAgriculturalUniversity，Changchun130118，China；5.FacultyofScience，NationalUniversityofSingapore，Singapore119077，Singapore）

We realized the Hopf bifurcation and optimal control of Lorenz－Like models via the qualitative analysis and optimal control methods，and obtained the dynamical evolution mechanism，the conditions of bifurcation；variable synchronous controller and the stable conditions of the error system.

Lorenz－Like model；qualitative analysis；Hopf bifurcation；variables generalized control

O175.12

A

1671－5489（2014）03－0429－06

10.13413／j.cnki.jdxblxb.2014.03.05

2013－09－12.

李 銀（1980—），男，漢族，博士研究生，講師，從事非線性動力學(xué)的研究，E－mail：liyin2009521＠163.com.通信作者：趙 昕（1974—），男，漢族，博士，副教授，從事微分方程與動力系統(tǒng)的研究，E－mail：jlndzx＠sina.com.

國家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號：10871214）、吉林省自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號：201215184）和韶關(guān)市科技計劃項目（批準(zhǔn)號：313140546）.

趙立芹）