袁 暉 坪

（重慶工商大學(xué)電子商務(wù)及供應(yīng)鏈系統(tǒng)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067）

行（列）反對(duì)稱矩陣的極分解及其擾動(dòng)界

袁 暉 坪

（重慶工商大學(xué)電子商務(wù)及供應(yīng)鏈系統(tǒng)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067）

考慮行（列）反對(duì)稱矩陣的極分解、廣義逆和擾動(dòng)界，給出了行（列）反對(duì)稱矩陣的極分解和廣義逆的計(jì)算公式，并給出了行（列）反對(duì)稱矩陣極分解的系列擾動(dòng)界.結(jié)果表明，所給方法既減少了計(jì)算量與存儲(chǔ)量，又不會(huì)降低數(shù)值精度.

行（列）反對(duì)稱矩陣；極分解；廣義逆；擾動(dòng)界

0 引 言

矩陣的極分解在航空計(jì)算、最優(yōu)化、矩陣逼近、因子分析和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛［1－10］.矩陣的廣義逆在數(shù)值分析、測(cè)量學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、預(yù)測(cè)理論、病態(tài)（非）線性問題、回歸與Markov鏈等統(tǒng)計(jì)問題、隨機(jī)規(guī)劃問題、控制論和系統(tǒng)識(shí)別問題以及網(wǎng)絡(luò)問題等領(lǐng)域是不可缺少的重要工具［11］.很多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型都可轉(zhuǎn)化成線性問題，進(jìn)而利用矩陣解決.研究矩陣時(shí)一般都從主對(duì)角線方向考慮問題（如對(duì)角化、正定性等），而次對(duì)角線方向和行（列）對(duì)稱或反對(duì)稱的情形常被忽略.文獻(xiàn)［12－14］對(duì)行（列）對(duì)稱矩陣的QR分解和奇異值分解進(jìn)行了深入研究，獲得了深刻而應(yīng)用廣泛的結(jié)果.文獻(xiàn)［9］研究了行（列）反對(duì)稱矩陣的極分解與廣義逆，本文對(duì)該問題做進(jìn)一步研究，獲得了一些新結(jié)果，給出了行（列）反對(duì)稱矩陣的極分解及Moore－Penrose逆的公式，極大減少了它們的計(jì)算量與存儲(chǔ)量，同時(shí)給出了行（列）反對(duì)稱矩陣極分解的一系列擾動(dòng)界.本文用J n＝J表示次對(duì)角線元素全為1、其余元素全為0的n階方陣，I n＝I表n階單位矩陣，A H和A＋分別表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置陣與Moore－Penrose逆，Cm×n表示m×n復(fù)矩陣集，表示秩為r的m×n復(fù)矩陣集，‖·‖F(xiàn)表示Frobenius范數(shù)，顯然J H＝J，J2＝I，J－1＝J.

定義1設(shè)A＝（aij）∈Cm×n，則稱

分別為矩陣A的行轉(zhuǎn)置矩陣與列轉(zhuǎn)置矩陣，并記為A R和A C.特別地，若A R＝A（A C＝A），則稱A為行（列）對(duì)稱矩陣.若A R＝－A（A C＝－A），則稱A為行（列）反對(duì)稱矩陣.

1 行（列）反對(duì)稱矩陣的極分解與廣義逆

引理1［15］設(shè)A∈Cm×n，則對(duì)任何酉矩陣U∈Cm×m，V∈Cn×n有UAV的Moore－Penrose逆：

2 行（列）反對(duì)稱矩陣極因子的擾動(dòng)界

列反對(duì)稱陣（B－BJ），（BO－BJ）的極分解也有類似定理7和定理8的擾動(dòng)界.

綜上，本文研究了行（列）反對(duì)稱矩陣的極分解、廣義逆與擾動(dòng)界，給出了行（列）反對(duì)稱矩陣與母矩陣兩者的極分解、廣義逆與擾動(dòng)界間的定量關(guān)系.結(jié)果表明，用母矩陣代替行（列）反對(duì)稱矩陣計(jì)算極分解、廣義逆與擾動(dòng)界，既能減少計(jì)算量和儲(chǔ)存量，又不會(huì)喪失數(shù)值精度.

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Polar Factorization and Perturbation Bound for Row（Column）Skew Symmetric Matrix

YUAN Huiping
（ChongqingKeyLaboratoryofElectronicCommerce＆SupplyChainSystem，CollegeofMathematics andStatistics，ChongqingTechnologyandBusinessUniversity，Chongqing400067，China）

The author studied the polar factorization and generalized inverse and perturbation bound of row（column）skew symmetric matrix.In addition，the formula of the polar factorization and generalized inverse of row（column）skew symmetric matrix were given，which makes calculation easier.And some perturbation bounds of the polar factorization of row（column）skew symmetric matrix were also presented.

row（column）skew symmetric matrix；polar factorization；generalized inverse；perturbation bound

O151.21

A

1671－5489（2014）03－0475－07

10.13413／j.cnki.jdxblxb.2014.03.13

2013－09－05.

袁暉坪（1958—），男，漢族，教授，從事矩陣論的研究，E－mail：yhp＠ctbu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號(hào)：11271388）和電子商務(wù)及供應(yīng)鏈系統(tǒng)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室專項(xiàng)基金（批準(zhǔn)號(hào)：2012ECSC0216）.

趙立芹）