楊星星

宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽宿州，234000

目前，開采原油廣泛使用的是有桿抽油系統(tǒng)。電機旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)化為抽油桿上下往返周期運動，帶動設(shè)置在桿下端的泵的兩個閥相繼開閉，從而將地下上千米深處蘊藏的原油抽到地面上來。

通過懸點示功圖可以初步診斷油井的工作狀況，如產(chǎn)量、氣體影響、閥門漏液、沙堵等。要精確診斷油井的工作狀況，最好采用泵功圖。然而，泵在地下深處，使用儀器測試其示功數(shù)據(jù)實現(xiàn)困難大、成本高。因此，通過數(shù)學(xué)建模把懸點示功圖轉(zhuǎn)化為桿上任意點的示功圖并最終確定泵功圖，以準確診斷油井的工作狀況，是一個很有價值的研究課題。

電機旋轉(zhuǎn)運動通過四連桿結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)槌橛蜅U的垂直運動[1]。經(jīng)分析四連桿機構(gòu)簡圖，發(fā)現(xiàn)求解懸點的運動規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為求解驢頭點的運動規(guī)律。但經(jīng)過計算，由于各條線段間的幾何關(guān)系，電機旋轉(zhuǎn)不可能實現(xiàn)圓周運動，這里假設(shè)各個連接點處有間隙量，可保證電機的圓周運動。因此，可在不同的假設(shè)條件下，通過以下三種方法進行求解：(1)將驢頭B點的運動規(guī)律簡化為簡諧運動，此模型比較簡單，但結(jié)果較為粗略，只能用于定性分析及近似計算。(2)若把驢頭B點繞游梁支點的弧線運動近似地看作直線運動[2]，則驢頭B點的運動模型簡化為曲柄滑塊機構(gòu)運動。(3)通過幾何分析精確求出B點運動規(guī)律的表達式，最后將驢頭點的運動規(guī)律轉(zhuǎn)化為懸點的運動規(guī)律：位移函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)。

1 模型假設(shè)

(1)抽油桿在垂直井中工作，抽油桿不與油管發(fā)生摩擦或摩擦載荷不計；(2)油管內(nèi)充滿液體，且液體密度均勻；(3)電機旋轉(zhuǎn)運動為勻速運動，且可實現(xiàn)全周旋轉(zhuǎn)；(4)抽油機的油管是錨定的，不考慮抽油管的長度變化；(5)抽油桿柱截面為圓形；(6)將原油粘度、原油密度、油壓視為常數(shù)，不隨壓力而變化；(7)忽略游動閥和固定閥漏失、游動閥關(guān)閉遲緩和上、下碰泵等情況。

2 符號說明

SE表示懸點位移；vE表示懸點速度；aE表示懸點加速度；φ表示曲柄轉(zhuǎn)角，rad；w表示曲柄角速度，rad/s；u(x,t)表示抽油桿在x斷面不同時間t的位移函數(shù)，m；E表示抽油桿的彈性模量，N/m3；Ar表示抽油桿截面積，m2；Dt、Dr分別表示油管內(nèi)徑、抽油桿直徑，mm；Q表示油井的實際產(chǎn)量，m3/d；ηv表示混合物的體積系數(shù)，m3/m3；SPE表示柱塞有效沖程，m；NS表示抽油機的沖次，min-1；r表示混合液密度，kg/m3；p表示井下壓力，M/Pa；θ表示井下溫度，θ=1.8t+32，F(xiàn)；Qp表示理論產(chǎn)量，t/d；Q表示泵功圖法計算的產(chǎn)量，t/d；A表示泵功圖面積，cm2；Ap表示理論泵功圖面積，cm2；μ表示油管內(nèi)液體的動力粘度，Pa·s；c表示粘滯阻尼系數(shù)，s-1；L表示抽油桿的長度，m；D表示泵徑，mm；S表示沖程，m；n表示沖次，min-1；α表示應(yīng)力波在抽油桿中的傳播速度，一般取4 960 m/s。

3 曲率模型的建立

取連續(xù)曲線上任意一點，將其曲率K定義為夾角α對弧度S的變化率，并等于曲率半徑R的倒數(shù)，如下所示：

(1)

由于泵功圖曲線由一系列離散點組成，其解析函數(shù)無法得到，故無法由式(1)直接求得泵功圖上任一點的曲率。

本文將相鄰三點圓弧近似為連續(xù)曲線來求泵功圖各離散點的曲率K，即利用泵功圖上任意離散點Xi(xi,yi)及其前一離散點Xi-1(xi-1,yi-1)和后一離散點Xi+1(xi+1,yi+1)三點之間的幾何關(guān)系，計算出點Xi(xi,yi)的曲率,如圖1所示。

圖1 離散點曲率求解模型

由三角幾何關(guān)系容易得出：

(2)

將Ki=1/R進行整理，可得到：

(3)

式中，R為點Xi到點Xi+1圓弧段的曲率半徑，m；α為點Xi到點Xi+1圓弧段的夾角，rad；Li-1為點Xi-1和點Xi之間的線段長度，m；Li為點Xi和點Xi+1之間的線段長度，m；Li+1為點Xi+1和點Xi-1之間的線段長度，m；SΔ為任意三角形ΔXi-1XiXi+1的面積，m2。

將式(2)代入式(3)可得：

(4)

式(4)即為求某一離散點曲率的數(shù)學(xué)模型，其中任意三角形的面積SΔ由海倫[3]公式求得：

(5)

4 模型的建立與求解

有桿抽油系統(tǒng)是以游梁支點和曲柄中心的連線作固定桿，以曲柄、連桿和游梁后臂為三個活動桿所構(gòu)成的四連桿機構(gòu)[4]。

4.1 簡諧運動模型

若抽油機的r/l→0及r/b→0，即認為曲柄半徑r比連桿長度l和游梁后臂b小得多，以至它與l和b的比值可以忽略。此時，可將橋梁和連接點B點的運動簡化為簡諧運動，即認為B點的運動規(guī)律和D點作圓周運動時在垂直中心線上的投影(C點)的運動規(guī)律相同，則B點經(jīng)過t時間(曲柄轉(zhuǎn)角φ)時的位移SB為：

SB=r(1-cosφ)=r(1-coswt)

(1)

因此，運動模型的懸點位移SE、速度vE、加速度αE分別為：

(2)

(3)

(4)

簡化為簡諧運動的模型比較簡單，但結(jié)果較為粗略，只能用于定性分析及近似計算。

4.2 曲柄滑塊模型

實際抽油機的r/l值是不可忽略的，特別是沖程長度較大時，忽略后會引起很大誤差。為此，取r/l的值為有限值，當抽油機的0

圖2 曲柄滑塊模型

圖2中，下死點(φ=0°)B點在B′位置，上死點(φ=180°)B點在B″位置，則B′B″=2r。因此B點經(jīng)過t時間(曲柄轉(zhuǎn)角φ)時的位移為：

SB=B′B=B′O′-BO′

=l+r-(BC+CO′)

=l+r-(lcosψ+rcosφ)

(5)

(6)

因此，運動模型的懸點位移SE、速度vE、加速度αE分別為：

(7)

(8)

(9)

4.3 精確方法

以下給出抽油機懸點運動規(guī)律的精確解。

圖3 精確方法示意圖

如圖3所示，任意時刻游梁與水平線之間的夾角σ為：

(10)

(11)

(12)

(13)

游梁擺動時的最小夾角即t=0時刻AB水平時，此時σmin=0。

任意時刻游梁的角位移Δσ為：

Δσ=σ-σmin

(14)

因此，運動模型的懸點位移SE、速度vE、加速度αE分別為：

SE=SA=αΔσ

(15)

(16)

(17)

考慮到抽油機四連桿機構(gòu)存在如下幾何關(guān)系[5]：

(18)

可得懸點運動速度和加速度的另一種較為簡便的表達式：

(19)

(20)

4.4 仿真分析

對簡諧運動、曲柄滑塊機構(gòu)以及精確求解時懸點位移函數(shù)進行仿真分析，如圖4所示。

圖4 位移函數(shù)曲線

懸點E的位移函數(shù)如圖4所示，圖4(a)是根據(jù)已知材料中懸點位移數(shù)據(jù)描點畫出的位移函數(shù)曲線，圖4(b)、圖4(c)和圖4(d)是根據(jù)三種不同的模型得到的位移函數(shù)曲線。圖4(b)是基于簡諧運動模型的，圖4(c)是基于曲柄滑塊模型的，圖4(d)是根據(jù)精確的幾何計算模型得到的。通過比較，不難發(fā)現(xiàn)，用三種模型計算得到的位移曲線與根據(jù)實測數(shù)據(jù)繪制出的位移曲線是相近的，盡管同一時間下的數(shù)值不同，但其變化趨勢是類似的，從而驗證了模型的有效性。由于每種計算模型都是基于一定假設(shè)的，因此會與實測數(shù)據(jù)有少許偏差。

[1]張琪.基于泵功圖分析的有桿泵井故障診斷系統(tǒng)[D].大連：大連理工大學(xué)研究生院,2011：24-26

[2]岳廣韜.抽油機井地面示功圖量油技術(shù)研究[D].北京：中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院，2011:11-20

[3]董世民，崔曉華.計算抽油泵充滿系數(shù)的新方法[J].石油機械，2002，30(1)：37-39

[4]吳偉，陳國定，何焱，基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和灰度矩陣的泵功圖診斷[J].西安石油大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2007,22(3)：31-33

[5]爨瑾，基于灰色理論的抽油井泵功圖診斷技術(shù)研究[J].微電子學(xué)與計算機，2005,22(3)：7-13