把以教師“教”的活動為主的課堂教學(xué)，改變?yōu)橐詫W(xué)生“學(xué)”的活動為主的課堂教學(xué)，首先需要改變的是教師備課的思維方式。所謂“備課”不等同于“寫教案”，備課的過程更多的是學(xué)習(xí)和思考的過程，包括教師個體具有創(chuàng)造性的思考。這樣的思考應(yīng)當(dāng)聚焦于學(xué)生“學(xué)什么”以及學(xué)生可以“怎樣學(xué)”這樣兩個基本問題上。[1]

一、思考“本質(zhì)屬性”

對“學(xué)什么”這一問題的思考，實際上就是對學(xué)生“學(xué)習(xí)目標（Objective）”的確定過程。如果把學(xué)生視為學(xué)習(xí)的主體，那么這樣的學(xué)習(xí)目標相對于學(xué)生來說就具有客觀性，是課程編制者或者教師對學(xué)生應(yīng)當(dāng)“學(xué)什么”的期望（Expectation）。對“怎樣學(xué)”的思考，首先是將學(xué)習(xí)目標轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生應(yīng)當(dāng)執(zhí)行并完成的學(xué)習(xí)任務(wù)（Task），之后是思考學(xué)生為完成任務(wù)所需要經(jīng)歷的學(xué)習(xí)活動（Activity）。對“學(xué)什么”和“怎樣學(xué)”這兩個問題的思考并不是截然分開的，二者的思考應(yīng)當(dāng)是融合在一起，并且都要基于對所學(xué)知識點及其認識過程本質(zhì)屬性的認識。

比如“平行四邊形的面積”，[2]這一知識點反映的是一個平行四邊形面積的大小與這個平行四邊形內(nèi)部元素（底邊長度和高的長度）之間相互依賴與制約的關(guān)系，其本質(zhì)屬性是對客觀規(guī)律的描述，此類知識的特點相對于學(xué)習(xí)者來說具有“確定性”，不依人的意志為轉(zhuǎn)移。認識這種知識的基本方法是“發(fā)現(xiàn)（Discover）”，也就是通過觀察并比較諸多不同對象，從中發(fā)現(xiàn)共性，這樣的共性就成為了具有一定普遍意義的規(guī)律。

數(shù)學(xué)課程中另外一類知識其本質(zhì)屬性是人的“發(fā)明（Invention）”，這一類知識通常是依賴于人的主觀“需求（Need）”而出現(xiàn)的。以分數(shù)為例，這種“需求”至少表現(xiàn)在三個方面。從語言的視角看，當(dāng)表達數(shù)量關(guān)系的時候，同一種數(shù)量關(guān)系通常會有兩種說法，這兩種說法往往是“雙向同義”的。如果說“甲的收入比乙的收入多100元”，就會有反過來并且意義相同的說法，即“乙的收入比甲的收入少100元”。如果說“甲的收入是乙的3倍”，需要反過來并且要求意義相同的說法，那么沒有分數(shù)，這樣的說法就難以實現(xiàn)。有了分數(shù)，就可以說“乙的收入是甲收入的三分之一”，從而實現(xiàn)了“雙向同義”的語言描述。

歷史上人們對分數(shù)的“需求”還表現(xiàn)在“量（Magnitude）”的測量方面。在沒有度量單位的時候，人們對量與量之間的比較通常都是“用小量大”，當(dāng)出現(xiàn)“量不盡”的情況時，就“用余量小”，如此反復(fù)，量盡為止。比如圖1兩條線段分別表示量A和量B，其中A是較大的量。

量A：— — — — — —

量B：———

圖1 量的比較示意圖

如果需要了解并且表達兩個量之間關(guān)系的時候，人們首先就會用較小的量B去與較大的量A重疊測量，目的是為了知道幾次量盡，從而就可以知道量A中包含了幾個量B。但是測量過程中經(jīng)常出現(xiàn)量不盡的情況，也就是有剩余的情況出現(xiàn)。（見圖2）

量A：

量B：

圖2 “量不盡”示意圖

圖2中用量B測量量A重疊2次后，出現(xiàn)了小于量B的剩余量C，這時候人們通常會用剩余的量C反過來去與量B重疊測量，如果仍然量不盡，就繼續(xù)重復(fù)這一“用余量小”的過程。圖2用C量B的結(jié)果恰好三次量盡。這時候就需要用數(shù)來描述量A與量B之間的關(guān)系，此時僅有整數(shù)就不夠了，有了分數(shù)就可以說“A是B的2（或者）”，也可以說“B是A的”。用“比”的語言說就是A與B的比是7∶3，或者B與A的比是3∶7。

數(shù)學(xué)家對分數(shù)的“需求”還表現(xiàn)為對除法運算“封閉”的愿望。在整數(shù)范圍內(nèi)，兩個整數(shù)相除，可能得不到整數(shù)的結(jié)果，這種情況就叫作“整數(shù)集合對除法運算不封閉”，也就是整數(shù)集合內(nèi)兩個元素的運算結(jié)果跑到了整數(shù)集合的外面了。因此需要擴大整數(shù)集合的范圍，把分數(shù)合并到整數(shù)集合中來，由此形成了數(shù)學(xué)中的有理數(shù)集合，在這個集合中除法運算就能保證封閉了，即任何兩個有理數(shù)相除的結(jié)果一定還是有理數(shù)。

“發(fā)現(xiàn)”的知識與“發(fā)明”的知識屬性不同，當(dāng)然學(xué)習(xí)的方式也就有了差異。發(fā)現(xiàn)的過程核心環(huán)節(jié)是“觀察與比較”，發(fā)明的過程重在“需求與創(chuàng)造”。針對不同屬性的知識，備課中就要思考如何為學(xué)生設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù)和學(xué)習(xí)活動。

二、如何設(shè)計“發(fā)現(xiàn)”的過程

對客觀規(guī)律的認識至少應(yīng)當(dāng)包括兩個方面。首先應(yīng)當(dāng)是定性的認識，比如對于“平行四邊形面積”來說，應(yīng)當(dāng)認識無論什么樣的平行四邊形，其面積的大小都受制于底邊長度和高的長度；在定性認識的基礎(chǔ)上，就可以有定量的認識，即面積的大小等于底邊與高的乘積。針對定性的認識，需要觀察并且比較不同的平行四邊形，在不同中發(fā)現(xiàn)共性，也就是所有平行四邊形面積的大小都受制于底邊長度和高的長度；而對于定量的認識，也就是平行四邊形的面積等于底邊與高的乘積，需要觀察平行四邊形與面積相等的長方形之間的關(guān)系而得到。如果把長方形視為特殊的平行四邊形，那么就可以將定性的認識與定量的認識合為一體，把學(xué)習(xí)目標確定為“發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的大小與底邊和高的關(guān)系”。

既然這一學(xué)習(xí)目標的實現(xiàn)依賴于觀察與比較，那么教師在備課中需要思考的就是如何設(shè)計能夠溝通學(xué)習(xí)目標及觀察與比較活動之間聯(lián)系的學(xué)習(xí)任務(wù)。這種任務(wù)的設(shè)計是否有效，取決于兩個前提，第一是觀察者為什么需要觀察，也就是要為學(xué)生提供觀察的理由，這種理由可以使得學(xué)生具有觀察的動機；第二是觀察什么，也即需要為學(xué)生提供觀察對象以及思考方向。學(xué)習(xí)任務(wù)的敘述可以是以問題的形式出現(xiàn)的，不妨稱之為“問題型”任務(wù)。比如針對學(xué)習(xí)目標“發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的大小與底邊及高的關(guān)系”，可以設(shè)計如下的問題型任務(wù)：“下面是三組平行四邊形，每一組中兩個平行四邊形面積是否相等？你是怎么得到結(jié)論的？”

圖3 平行四邊形面積比較圖

第一組中兩個平行四邊形的底邊長度不相等，但是高的長度相等；第二組中兩個平行四邊形的底邊長度相等，但是高的長度不相等；第三組中兩個平行四邊形的底邊長度相等，同時高的長度也相等。為了回答這樣兩個問題，學(xué)生可能的學(xué)習(xí)活動有用眼睛“看”，看不出來還可以用尺子“量”，當(dāng)然也可以用剪刀把兩個平行四邊形“剪”下來重疊在一起“看”。所有的活動都是針對“是否相等”以及“為什么”這樣兩個問題，因此活動就不是盲目的，而是有目的的，活動的目的性使得學(xué)生具有了參與活動的動機。同時，教師為學(xué)生提供的三組圖形相當(dāng)于為學(xué)生的觀察提供了對象。通過活動最終期望學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的大小與底邊以及高有關(guān)。endprint

學(xué)習(xí)任務(wù)的敘述還可以是“指令性”的，就是指明要求學(xué)生做什么。比如在前面任務(wù)已經(jīng)完成的基礎(chǔ)上，為了能夠發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積公式，可以給學(xué)生布置如下任務(wù)：“在方格紙上畫出一個長方形，再畫出一個與長方形面積相等的平行四邊形，和你的同伴說說你的畫法?！睂W(xué)生依據(jù)前面觀察的經(jīng)驗，在畫圖過程中自然而然地就會把平行四邊形的底和高與長方形的長和寬建立起聯(lián)系。在以上學(xué)習(xí)活動的基礎(chǔ)上，最后可以通過布置指令性任務(wù)：“請自己總結(jié)出計算平行四邊形的面積公式，將你的結(jié)論寫出來?！蓖ㄟ^以上三項任務(wù)，學(xué)生經(jīng)歷一系列以觀察與比較為核心的學(xué)習(xí)活動，就應(yīng)當(dāng)可以達成“發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的大小與底邊和高的關(guān)系”這一學(xué)習(xí)目標。

三、“發(fā)明”的過程需要經(jīng)歷

對于“發(fā)明”的知識，認識的核心環(huán)節(jié)是感受需求，并且經(jīng)歷自主發(fā)明的過程。以分數(shù)為例，分數(shù)的學(xué)習(xí)包括分數(shù)概念的形成與語言表述、分數(shù)之間的相等與不等關(guān)系、分數(shù)的運算以及分數(shù)與除法和比的關(guān)系等內(nèi)容，這些內(nèi)容需要一個螺旋上升的學(xué)習(xí)過程。如果把分數(shù)的本質(zhì)屬性定位于語言，那么其學(xué)習(xí)過程就應(yīng)當(dāng)遵循語言學(xué)習(xí)的規(guī)律。語言通常是按照“先聽說，后讀寫”的順序進行學(xué)習(xí)的。通過“聽說”可以感受到分數(shù)的存在以及分數(shù)概念的含義，通過“讀寫”讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)明”的過程，感受數(shù)學(xué)中文字語言、圖形語言以及符號語言之間的相互關(guān)系。學(xué)習(xí)分數(shù)之初，首先應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感受到對分數(shù)的“需求”，體現(xiàn)“讓知識因需要而產(chǎn)生”的教學(xué)原則。因此小學(xué)三年級“分數(shù)初步認識”的學(xué)習(xí)目標可以確定為如下三個：感受分數(shù)在語言中的存在及其必要性；經(jīng)歷分數(shù)符號從“多樣”到“統(tǒng)一”的發(fā)明過程；了解分數(shù)的含義。

針對第一個學(xué)習(xí)目標，可以設(shè)計如下的學(xué)習(xí)任務(wù)：“鐘表上表示的時間是‘7點半，思考其中的‘半是什么意思？與同伴交流自己的想法?！保ㄒ妶D4）

圖4 鐘表示意圖

學(xué)生在執(zhí)行并完成這一任務(wù)的過程中，自然要思考和交流分針轉(zhuǎn)動一圈與半圈的關(guān)系，或者時針轉(zhuǎn)動一格與半格之間的關(guān)系。這種思考與交流一方面感受到二分之一的現(xiàn)實存在，同時也能初步感受到分數(shù)用于描述局部與整體關(guān)系的含義。類似的任務(wù)還可以設(shè)計為如下的形式。

將一張長方形紙對折，折痕將整張紙平均分成了兩部分。這兩部分的大小是什么關(guān)系？用盡可能多的語言說說其中一部分的大小與整張紙之間的關(guān)系。

用盡可能多的語言說說“10元錢”與“2元錢”之間的關(guān)系。

這樣的任務(wù)可以啟發(fā)學(xué)生在思考和交流的過程中，溝通描述數(shù)量關(guān)系的多種語言之間的聯(lián)系。比如關(guān)于“10元錢”與“2元錢”之間的關(guān)系，學(xué)生可能利用先前熟悉的描述加減關(guān)系的語言，說出：“10元比2元多8元”和“2元比10元少8元”。學(xué)生還可能利用二年級學(xué)習(xí)過的“倍的認識”說：“5個2元等于10元”或者“10元是2元的5倍”，此時恰好說明需要一種與之相反的說法：“2元是10元的五分之一”，“五分之一”自然而然地因需要而產(chǎn)生了。

通過“聽說”初步感受分數(shù)的含義后，就需要用符號來表示分數(shù)。符號作為一種數(shù)學(xué)的語言，具有“人造（Artificial）”的特點，其發(fā)生與發(fā)展必然是從“多樣”走向“統(tǒng)一”的過程。如果把分數(shù)的符號表示方法直接告知學(xué)生，表面看省時省力，但失去的是學(xué)生經(jīng)歷發(fā)明符號的思考過程。為了讓學(xué)生經(jīng)歷這種“發(fā)明”的思考過程，針對第二個學(xué)習(xí)目標，可以設(shè)計這樣的學(xué)習(xí)任務(wù)：“你認為應(yīng)當(dāng)用什么樣的符號表示二分之一？向同伴介紹你的發(fā)明?！痹诒本┬W(xué)萬年花城分?！白兘虨閷W(xué)教學(xué)改革實驗”的課堂中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生依據(jù)這個任務(wù)開展活動后，的確出現(xiàn)了“多樣”的符號表達。（見圖5）

圖5 學(xué)生分數(shù)符號表達

在這些符號表達中，學(xué)生運用斜線、橫線、逗號等多種方式表達“分”的含義。而且還發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生在寫“二分之一”的符號時，喜歡將2寫在左側(cè)或者上面。這實際上反映出平時習(xí)慣的閱讀和書寫順序（從左向右，自上而下）對學(xué)生認識分數(shù)的符號是有影響的。分數(shù)“二分之一”的讀法是“先2后1”，因此學(xué)生書寫也是這樣的順序。

在學(xué)生“多樣”的發(fā)明充分交流和展示之后，教師可以補充一個學(xué)習(xí)任務(wù)：“同一個二分之一出現(xiàn)了這么多不同的符號，行嗎？應(yīng)當(dāng)怎么辦呢？”補充這個任務(wù)的目的在于引發(fā)學(xué)生思考，分數(shù)符號作為一種數(shù)學(xué)語言，其重要作用是用于交流，多樣化會帶來交流的困難，因此需要統(tǒng)一，統(tǒng)一的目的是讓所有人看到后都能夠知道其確定的含義。

在這兩個任務(wù)之后，為了進一步溝通不同語言之間的聯(lián)系，深化對分數(shù)含義的理解，可以再為學(xué)生布置一個任務(wù)：“舉個例子說明的意思，在小組內(nèi)交流不同的想法?！睂W(xué)生可以通過畫圖、折紙、講故事等多樣化的活動完成這個任務(wù)，在完成任務(wù)的過程中自然會加深對分數(shù)含義的理解。

如果時間允許，還可以設(shè)計數(shù)學(xué)與其他學(xué)科溝通聯(lián)系的學(xué)習(xí)任務(wù)。比如中國傳統(tǒng)文化中成語和詩詞的學(xué)習(xí)通常是語文課程中的內(nèi)容，如果引入到數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中，一方面可以溝通不同學(xué)科知識之間的聯(lián)系，同時也能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實意義。在前面已經(jīng)初步認識分數(shù)之后，可以利用成語“半斤八兩”設(shè)計如下的學(xué)習(xí)任務(wù)：“中國古代用‘斤和‘兩作為重量單位，16兩為1斤。古代成語中有‘半斤八兩的說法，請你用今天學(xué)習(xí)的知識描述這個成語的意思?！边@個任務(wù)的思考討論實際上已經(jīng)滲透了六年級將要學(xué)習(xí)的“正比例”的知識。如果把“斤”和“兩”看作兩類不同的量，那么其相互依賴的關(guān)系可以從表1中明顯看出。

類似的成語還有“事半功倍”與“事倍功半”等。中國古代詩詞中也有蘊含著分數(shù)含義的。比如明代詩人杜庠的題為“岳陽樓”的詩：“茫茫雪浪帶煙蕪，天與西湖作畫圖。樓外十分風(fēng)景好，一分山色九分湖。”洞庭湖是湖南省和湖北省的分界，岳陽樓位于洞庭湖畔湖南省一側(cè)，在樓中能夠遠眺君山?！皹峭馐诛L(fēng)景好，一分山色九分湖”可以用分數(shù)的語言描述為，把樓外的風(fēng)景看作10，那么山景占了其中的，水景占了，描繪出了近大遠小的視覺效果。

“變教為學(xué)”教學(xué)改革期望的是學(xué)生“自由、自主、自信”地開展學(xué)習(xí)活動，為此就需要教師在備課中準確把握知識的本質(zhì)屬性，合理設(shè)置學(xué)習(xí)目標。在此基礎(chǔ)上，“把目標變成任務(wù)、把知識變成問題、把方法變成活動”，讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)活動中“愛做、能做、善做”。所謂“愛做”就是學(xué)生對于執(zhí)行學(xué)習(xí)任務(wù)具有積極性和主動性，也就是所謂內(nèi)在的動機（Motivation），讓學(xué)習(xí)活動成為學(xué)生“自覺自愿”的主動活動，而不是“被逼無奈”的被動活動；所謂“能做”是期望每位學(xué)生都能夠明白自己應(yīng)當(dāng)做什么和怎樣做，而不是“部分人做，其他人陪”；所謂“善做”指的是每位學(xué)生都有做好的愿望，活動過程中有機會向同伴學(xué)習(xí)，也有機會與同伴分享自己的想法。真正做到“每位學(xué)生都有活動，每位學(xué)生都有機會”。

參考文獻：

[1]郜舒竹.“變教為學(xué)”從哪兒做起[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2013（9）.

[2]郜舒竹. 類比思考，探索規(guī)律[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)） ，2013（11）.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）endprint

學(xué)習(xí)任務(wù)的敘述還可以是“指令性”的，就是指明要求學(xué)生做什么。比如在前面任務(wù)已經(jīng)完成的基礎(chǔ)上，為了能夠發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積公式，可以給學(xué)生布置如下任務(wù)：“在方格紙上畫出一個長方形，再畫出一個與長方形面積相等的平行四邊形，和你的同伴說說你的畫法?！睂W(xué)生依據(jù)前面觀察的經(jīng)驗，在畫圖過程中自然而然地就會把平行四邊形的底和高與長方形的長和寬建立起聯(lián)系。在以上學(xué)習(xí)活動的基礎(chǔ)上，最后可以通過布置指令性任務(wù)：“請自己總結(jié)出計算平行四邊形的面積公式，將你的結(jié)論寫出來。”通過以上三項任務(wù)，學(xué)生經(jīng)歷一系列以觀察與比較為核心的學(xué)習(xí)活動，就應(yīng)當(dāng)可以達成“發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的大小與底邊和高的關(guān)系”這一學(xué)習(xí)目標。

三、“發(fā)明”的過程需要經(jīng)歷

對于“發(fā)明”的知識，認識的核心環(huán)節(jié)是感受需求，并且經(jīng)歷自主發(fā)明的過程。以分數(shù)為例，分數(shù)的學(xué)習(xí)包括分數(shù)概念的形成與語言表述、分數(shù)之間的相等與不等關(guān)系、分數(shù)的運算以及分數(shù)與除法和比的關(guān)系等內(nèi)容，這些內(nèi)容需要一個螺旋上升的學(xué)習(xí)過程。如果把分數(shù)的本質(zhì)屬性定位于語言，那么其學(xué)習(xí)過程就應(yīng)當(dāng)遵循語言學(xué)習(xí)的規(guī)律。語言通常是按照“先聽說，后讀寫”的順序進行學(xué)習(xí)的。通過“聽說”可以感受到分數(shù)的存在以及分數(shù)概念的含義，通過“讀寫”讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)明”的過程，感受數(shù)學(xué)中文字語言、圖形語言以及符號語言之間的相互關(guān)系。學(xué)習(xí)分數(shù)之初，首先應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感受到對分數(shù)的“需求”，體現(xiàn)“讓知識因需要而產(chǎn)生”的教學(xué)原則。因此小學(xué)三年級“分數(shù)初步認識”的學(xué)習(xí)目標可以確定為如下三個：感受分數(shù)在語言中的存在及其必要性；經(jīng)歷分數(shù)符號從“多樣”到“統(tǒng)一”的發(fā)明過程；了解分數(shù)的含義。

針對第一個學(xué)習(xí)目標，可以設(shè)計如下的學(xué)習(xí)任務(wù)：“鐘表上表示的時間是‘7點半，思考其中的‘半是什么意思？與同伴交流自己的想法?！保ㄒ妶D4）

圖4 鐘表示意圖

學(xué)生在執(zhí)行并完成這一任務(wù)的過程中，自然要思考和交流分針轉(zhuǎn)動一圈與半圈的關(guān)系，或者時針轉(zhuǎn)動一格與半格之間的關(guān)系。這種思考與交流一方面感受到二分之一的現(xiàn)實存在，同時也能初步感受到分數(shù)用于描述局部與整體關(guān)系的含義。類似的任務(wù)還可以設(shè)計為如下的形式。

將一張長方形紙對折，折痕將整張紙平均分成了兩部分。這兩部分的大小是什么關(guān)系？用盡可能多的語言說說其中一部分的大小與整張紙之間的關(guān)系。

用盡可能多的語言說說“10元錢”與“2元錢”之間的關(guān)系。

這樣的任務(wù)可以啟發(fā)學(xué)生在思考和交流的過程中，溝通描述數(shù)量關(guān)系的多種語言之間的聯(lián)系。比如關(guān)于“10元錢”與“2元錢”之間的關(guān)系，學(xué)生可能利用先前熟悉的描述加減關(guān)系的語言，說出：“10元比2元多8元”和“2元比10元少8元”。學(xué)生還可能利用二年級學(xué)習(xí)過的“倍的認識”說：“5個2元等于10元”或者“10元是2元的5倍”，此時恰好說明需要一種與之相反的說法：“2元是10元的五分之一”，“五分之一”自然而然地因需要而產(chǎn)生了。

通過“聽說”初步感受分數(shù)的含義后，就需要用符號來表示分數(shù)。符號作為一種數(shù)學(xué)的語言，具有“人造（Artificial）”的特點，其發(fā)生與發(fā)展必然是從“多樣”走向“統(tǒng)一”的過程。如果把分數(shù)的符號表示方法直接告知學(xué)生，表面看省時省力，但失去的是學(xué)生經(jīng)歷發(fā)明符號的思考過程。為了讓學(xué)生經(jīng)歷這種“發(fā)明”的思考過程，針對第二個學(xué)習(xí)目標，可以設(shè)計這樣的學(xué)習(xí)任務(wù)：“你認為應(yīng)當(dāng)用什么樣的符號表示二分之一？向同伴介紹你的發(fā)明。”在北京小學(xué)萬年花城分?！白兘虨閷W(xué)教學(xué)改革實驗”的課堂中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生依據(jù)這個任務(wù)開展活動后，的確出現(xiàn)了“多樣”的符號表達。（見圖5）

圖5 學(xué)生分數(shù)符號表達

在這些符號表達中，學(xué)生運用斜線、橫線、逗號等多種方式表達“分”的含義。而且還發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生在寫“二分之一”的符號時，喜歡將2寫在左側(cè)或者上面。這實際上反映出平時習(xí)慣的閱讀和書寫順序（從左向右，自上而下）對學(xué)生認識分數(shù)的符號是有影響的。分數(shù)“二分之一”的讀法是“先2后1”，因此學(xué)生書寫也是這樣的順序。

在學(xué)生“多樣”的發(fā)明充分交流和展示之后，教師可以補充一個學(xué)習(xí)任務(wù)：“同一個二分之一出現(xiàn)了這么多不同的符號，行嗎？應(yīng)當(dāng)怎么辦呢？”補充這個任務(wù)的目的在于引發(fā)學(xué)生思考，分數(shù)符號作為一種數(shù)學(xué)語言，其重要作用是用于交流，多樣化會帶來交流的困難，因此需要統(tǒng)一，統(tǒng)一的目的是讓所有人看到后都能夠知道其確定的含義。

在這兩個任務(wù)之后，為了進一步溝通不同語言之間的聯(lián)系，深化對分數(shù)含義的理解，可以再為學(xué)生布置一個任務(wù)：“舉個例子說明的意思，在小組內(nèi)交流不同的想法?！睂W(xué)生可以通過畫圖、折紙、講故事等多樣化的活動完成這個任務(wù)，在完成任務(wù)的過程中自然會加深對分數(shù)含義的理解。

如果時間允許，還可以設(shè)計數(shù)學(xué)與其他學(xué)科溝通聯(lián)系的學(xué)習(xí)任務(wù)。比如中國傳統(tǒng)文化中成語和詩詞的學(xué)習(xí)通常是語文課程中的內(nèi)容，如果引入到數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中，一方面可以溝通不同學(xué)科知識之間的聯(lián)系，同時也能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實意義。在前面已經(jīng)初步認識分數(shù)之后，可以利用成語“半斤八兩”設(shè)計如下的學(xué)習(xí)任務(wù)：“中國古代用‘斤和‘兩作為重量單位，16兩為1斤。古代成語中有‘半斤八兩的說法，請你用今天學(xué)習(xí)的知識描述這個成語的意思。”這個任務(wù)的思考討論實際上已經(jīng)滲透了六年級將要學(xué)習(xí)的“正比例”的知識。如果把“斤”和“兩”看作兩類不同的量，那么其相互依賴的關(guān)系可以從表1中明顯看出。

類似的成語還有“事半功倍”與“事倍功半”等。中國古代詩詞中也有蘊含著分數(shù)含義的。比如明代詩人杜庠的題為“岳陽樓”的詩：“茫茫雪浪帶煙蕪，天與西湖作畫圖。樓外十分風(fēng)景好，一分山色九分湖?！倍赐ズ呛鲜『秃笔〉姆纸?，岳陽樓位于洞庭湖畔湖南省一側(cè)，在樓中能夠遠眺君山?！皹峭馐诛L(fēng)景好，一分山色九分湖”可以用分數(shù)的語言描述為，把樓外的風(fēng)景看作10，那么山景占了其中的，水景占了，描繪出了近大遠小的視覺效果。

“變教為學(xué)”教學(xué)改革期望的是學(xué)生“自由、自主、自信”地開展學(xué)習(xí)活動，為此就需要教師在備課中準確把握知識的本質(zhì)屬性，合理設(shè)置學(xué)習(xí)目標。在此基礎(chǔ)上，“把目標變成任務(wù)、把知識變成問題、把方法變成活動”，讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)活動中“愛做、能做、善做”。所謂“愛做”就是學(xué)生對于執(zhí)行學(xué)習(xí)任務(wù)具有積極性和主動性，也就是所謂內(nèi)在的動機（Motivation），讓學(xué)習(xí)活動成為學(xué)生“自覺自愿”的主動活動，而不是“被逼無奈”的被動活動；所謂“能做”是期望每位學(xué)生都能夠明白自己應(yīng)當(dāng)做什么和怎樣做，而不是“部分人做，其他人陪”；所謂“善做”指的是每位學(xué)生都有做好的愿望，活動過程中有機會向同伴學(xué)習(xí)，也有機會與同伴分享自己的想法。真正做到“每位學(xué)生都有活動，每位學(xué)生都有機會”。

參考文獻：

[1]郜舒竹.“變教為學(xué)”從哪兒做起[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2013（9）.

[2]郜舒竹. 類比思考，探索規(guī)律[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)） ，2013（11）.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）endprint

學(xué)習(xí)任務(wù)的敘述還可以是“指令性”的，就是指明要求學(xué)生做什么。比如在前面任務(wù)已經(jīng)完成的基礎(chǔ)上，為了能夠發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積公式，可以給學(xué)生布置如下任務(wù)：“在方格紙上畫出一個長方形，再畫出一個與長方形面積相等的平行四邊形，和你的同伴說說你的畫法?！睂W(xué)生依據(jù)前面觀察的經(jīng)驗，在畫圖過程中自然而然地就會把平行四邊形的底和高與長方形的長和寬建立起聯(lián)系。在以上學(xué)習(xí)活動的基礎(chǔ)上，最后可以通過布置指令性任務(wù)：“請自己總結(jié)出計算平行四邊形的面積公式，將你的結(jié)論寫出來?！蓖ㄟ^以上三項任務(wù)，學(xué)生經(jīng)歷一系列以觀察與比較為核心的學(xué)習(xí)活動，就應(yīng)當(dāng)可以達成“發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的大小與底邊和高的關(guān)系”這一學(xué)習(xí)目標。

三、“發(fā)明”的過程需要經(jīng)歷

對于“發(fā)明”的知識，認識的核心環(huán)節(jié)是感受需求，并且經(jīng)歷自主發(fā)明的過程。以分數(shù)為例，分數(shù)的學(xué)習(xí)包括分數(shù)概念的形成與語言表述、分數(shù)之間的相等與不等關(guān)系、分數(shù)的運算以及分數(shù)與除法和比的關(guān)系等內(nèi)容，這些內(nèi)容需要一個螺旋上升的學(xué)習(xí)過程。如果把分數(shù)的本質(zhì)屬性定位于語言，那么其學(xué)習(xí)過程就應(yīng)當(dāng)遵循語言學(xué)習(xí)的規(guī)律。語言通常是按照“先聽說，后讀寫”的順序進行學(xué)習(xí)的。通過“聽說”可以感受到分數(shù)的存在以及分數(shù)概念的含義，通過“讀寫”讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)明”的過程，感受數(shù)學(xué)中文字語言、圖形語言以及符號語言之間的相互關(guān)系。學(xué)習(xí)分數(shù)之初，首先應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感受到對分數(shù)的“需求”，體現(xiàn)“讓知識因需要而產(chǎn)生”的教學(xué)原則。因此小學(xué)三年級“分數(shù)初步認識”的學(xué)習(xí)目標可以確定為如下三個：感受分數(shù)在語言中的存在及其必要性；經(jīng)歷分數(shù)符號從“多樣”到“統(tǒng)一”的發(fā)明過程；了解分數(shù)的含義。

針對第一個學(xué)習(xí)目標，可以設(shè)計如下的學(xué)習(xí)任務(wù)：“鐘表上表示的時間是‘7點半，思考其中的‘半是什么意思？與同伴交流自己的想法?！保ㄒ妶D4）

圖4 鐘表示意圖

學(xué)生在執(zhí)行并完成這一任務(wù)的過程中，自然要思考和交流分針轉(zhuǎn)動一圈與半圈的關(guān)系，或者時針轉(zhuǎn)動一格與半格之間的關(guān)系。這種思考與交流一方面感受到二分之一的現(xiàn)實存在，同時也能初步感受到分數(shù)用于描述局部與整體關(guān)系的含義。類似的任務(wù)還可以設(shè)計為如下的形式。

將一張長方形紙對折，折痕將整張紙平均分成了兩部分。這兩部分的大小是什么關(guān)系？用盡可能多的語言說說其中一部分的大小與整張紙之間的關(guān)系。

用盡可能多的語言說說“10元錢”與“2元錢”之間的關(guān)系。

這樣的任務(wù)可以啟發(fā)學(xué)生在思考和交流的過程中，溝通描述數(shù)量關(guān)系的多種語言之間的聯(lián)系。比如關(guān)于“10元錢”與“2元錢”之間的關(guān)系，學(xué)生可能利用先前熟悉的描述加減關(guān)系的語言，說出：“10元比2元多8元”和“2元比10元少8元”。學(xué)生還可能利用二年級學(xué)習(xí)過的“倍的認識”說：“5個2元等于10元”或者“10元是2元的5倍”，此時恰好說明需要一種與之相反的說法：“2元是10元的五分之一”，“五分之一”自然而然地因需要而產(chǎn)生了。

通過“聽說”初步感受分數(shù)的含義后，就需要用符號來表示分數(shù)。符號作為一種數(shù)學(xué)的語言，具有“人造（Artificial）”的特點，其發(fā)生與發(fā)展必然是從“多樣”走向“統(tǒng)一”的過程。如果把分數(shù)的符號表示方法直接告知學(xué)生，表面看省時省力，但失去的是學(xué)生經(jīng)歷發(fā)明符號的思考過程。為了讓學(xué)生經(jīng)歷這種“發(fā)明”的思考過程，針對第二個學(xué)習(xí)目標，可以設(shè)計這樣的學(xué)習(xí)任務(wù)：“你認為應(yīng)當(dāng)用什么樣的符號表示二分之一？向同伴介紹你的發(fā)明。”在北京小學(xué)萬年花城分?！白兘虨閷W(xué)教學(xué)改革實驗”的課堂中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生依據(jù)這個任務(wù)開展活動后，的確出現(xiàn)了“多樣”的符號表達。（見圖5）

圖5 學(xué)生分數(shù)符號表達

在這些符號表達中，學(xué)生運用斜線、橫線、逗號等多種方式表達“分”的含義。而且還發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生在寫“二分之一”的符號時，喜歡將2寫在左側(cè)或者上面。這實際上反映出平時習(xí)慣的閱讀和書寫順序（從左向右，自上而下）對學(xué)生認識分數(shù)的符號是有影響的。分數(shù)“二分之一”的讀法是“先2后1”，因此學(xué)生書寫也是這樣的順序。

在學(xué)生“多樣”的發(fā)明充分交流和展示之后，教師可以補充一個學(xué)習(xí)任務(wù)：“同一個二分之一出現(xiàn)了這么多不同的符號，行嗎？應(yīng)當(dāng)怎么辦呢？”補充這個任務(wù)的目的在于引發(fā)學(xué)生思考，分數(shù)符號作為一種數(shù)學(xué)語言，其重要作用是用于交流，多樣化會帶來交流的困難，因此需要統(tǒng)一，統(tǒng)一的目的是讓所有人看到后都能夠知道其確定的含義。

在這兩個任務(wù)之后，為了進一步溝通不同語言之間的聯(lián)系，深化對分數(shù)含義的理解，可以再為學(xué)生布置一個任務(wù)：“舉個例子說明的意思，在小組內(nèi)交流不同的想法?！睂W(xué)生可以通過畫圖、折紙、講故事等多樣化的活動完成這個任務(wù)，在完成任務(wù)的過程中自然會加深對分數(shù)含義的理解。

如果時間允許，還可以設(shè)計數(shù)學(xué)與其他學(xué)科溝通聯(lián)系的學(xué)習(xí)任務(wù)。比如中國傳統(tǒng)文化中成語和詩詞的學(xué)習(xí)通常是語文課程中的內(nèi)容，如果引入到數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中，一方面可以溝通不同學(xué)科知識之間的聯(lián)系，同時也能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實意義。在前面已經(jīng)初步認識分數(shù)之后，可以利用成語“半斤八兩”設(shè)計如下的學(xué)習(xí)任務(wù)：“中國古代用‘斤和‘兩作為重量單位，16兩為1斤。古代成語中有‘半斤八兩的說法，請你用今天學(xué)習(xí)的知識描述這個成語的意思?！边@個任務(wù)的思考討論實際上已經(jīng)滲透了六年級將要學(xué)習(xí)的“正比例”的知識。如果把“斤”和“兩”看作兩類不同的量，那么其相互依賴的關(guān)系可以從表1中明顯看出。

類似的成語還有“事半功倍”與“事倍功半”等。中國古代詩詞中也有蘊含著分數(shù)含義的。比如明代詩人杜庠的題為“岳陽樓”的詩：“茫茫雪浪帶煙蕪，天與西湖作畫圖。樓外十分風(fēng)景好，一分山色九分湖?！倍赐ズ呛鲜『秃笔〉姆纸?，岳陽樓位于洞庭湖畔湖南省一側(cè)，在樓中能夠遠眺君山。“樓外十分風(fēng)景好，一分山色九分湖”可以用分數(shù)的語言描述為，把樓外的風(fēng)景看作10，那么山景占了其中的，水景占了，描繪出了近大遠小的視覺效果。

“變教為學(xué)”教學(xué)改革期望的是學(xué)生“自由、自主、自信”地開展學(xué)習(xí)活動，為此就需要教師在備課中準確把握知識的本質(zhì)屬性，合理設(shè)置學(xué)習(xí)目標。在此基礎(chǔ)上，“把目標變成任務(wù)、把知識變成問題、把方法變成活動”，讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)活動中“愛做、能做、善做”。所謂“愛做”就是學(xué)生對于執(zhí)行學(xué)習(xí)任務(wù)具有積極性和主動性，也就是所謂內(nèi)在的動機（Motivation），讓學(xué)習(xí)活動成為學(xué)生“自覺自愿”的主動活動，而不是“被逼無奈”的被動活動；所謂“能做”是期望每位學(xué)生都能夠明白自己應(yīng)當(dāng)做什么和怎樣做，而不是“部分人做，其他人陪”；所謂“善做”指的是每位學(xué)生都有做好的愿望，活動過程中有機會向同伴學(xué)習(xí)，也有機會與同伴分享自己的想法。真正做到“每位學(xué)生都有活動，每位學(xué)生都有機會”。

參考文獻：

[1]郜舒竹.“變教為學(xué)”從哪兒做起[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2013（9）.

[2]郜舒竹. 類比思考，探索規(guī)律[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)） ，2013（11）.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）endprint