摘要：“set theory（musical）”一般被認為“pc set theory”（音級集合理論），殊不知它的源頭是20世紀中期美國作曲家、作曲理論家霍華德·漢森的理論研究成果。漢森的理論著作論述了音高組合全部可能性的問題，為和聲學的發(fā)展帶來了新的發(fā)展契機。

關(guān)鍵詞：音高組合理論 漢森理論 音級集合理論 20世紀音樂

20世紀音樂的發(fā)展突飛猛進，作曲家們不再遵循傳統(tǒng)的規(guī)矩去安排某個樂音的解決和走向，也不再滿足于傳統(tǒng)范圍內(nèi)節(jié)奏、音色等元素的細微變化。追求新奇特的實驗家們開始對不同音響效果感興趣，他們不僅僅在樂音領(lǐng)域搞起實驗，也隨著科技的進步對噪音產(chǎn)生好奇，這一大批實驗家們引來了全世界關(guān)心音樂發(fā)展的愛好者和專業(yè)音樂家們的視線，他們都拭目以待這似乎走到盡頭卻又可能帶來新的啟發(fā)的音樂發(fā)展之路。而另一批音樂家們從音高結(jié)構(gòu)中看到了希望，他們在作曲實驗中嘗試著各種新鮮的音高組合，并且在理論研究上不斷地探索著這些組合的邏輯規(guī)律，形成了諸多不同體系的音高組合理論（musical set theory）。

音樂語匯中最基本的構(gòu)成要素包括音高和節(jié)奏，音高（pitch）即音的高度，是音的基本特征之一。音高組合理論，即將各種音高組合分類整理、闡述他們之間的關(guān)系并研究其邏輯規(guī)律的理論。無論在傳統(tǒng)時期還是當代，樂音領(lǐng)域亦或噪音領(lǐng)域，音高組合的研究都是必不可少的課題。

籠統(tǒng)地講，源于浪漫主義晚期的20世紀西方音樂發(fā)展分別伸向了延續(xù)浪漫主義繼續(xù)向前發(fā)展的“保守”流派和分裂成極端反叛傳統(tǒng)的新生流派，兩者都是基于傳統(tǒng)而擺脫教條邁出的新的一步。在這些流派中，音高組合的創(chuàng)新在作曲家的作品中可見一斑，其中形成理論體系的有勛伯格十二音序列技法、亨德米特理論、阿倫·福特音級集合理論等，除了這三位作曲家和理論家外，重要的研究者還有豪爾、巴比特等等。此外，還有一位作曲家、作曲理論家霍華德·漢森在這個領(lǐng)域里奮斗了40余年，他的理論實用性強、簡單易懂，啟發(fā)了后人對音高組合理論的不斷發(fā)展，但卻鮮為人知。

霍華德·漢森（Howard Hanson，1896-1981）祖籍瑞典，出生于美國，先后就讀于路德學院、美國音樂藝術(shù)學院（今茱莉亞音樂學院）和西北大學音樂學院，曾師從珀茜·該丘斯（（Percy Goetschius，1853-1943）等，而后執(zhí)教于西北大學（助教）。1921年獲“Prix de Rome”大獎赴意大利學習兩年，期間師從雷斯皮基（Ottorino Respighi，1879-1936）學習管弦樂隊作曲法。回國后受任于伊斯特曼音樂學校擔任校長長達40年。期間，他以作曲家、指揮家、音樂教育家、社會活動家等多重身份活躍在美國的音樂領(lǐng)域，將這所起初還是微不足道的私立音樂學校發(fā)展成為美國聲譽最高的音樂學府之一，同時，他的努力也獲得了多項殊榮，重要的獎項有普利策獎、迪特森獎和喬治·福斯特獎等。

早在20世紀20年代，風靡歐洲的勛伯格十二音序列音樂理論也傳入了美國，但該理論強烈的維也納新樂派的烙印使得主張創(chuàng)立“美國風格”的一大批作曲家們產(chǎn)生了研究新理論的念頭，漢森在大學期間就開始對音高理論感興趣，通過在歐洲的學習更加堅定了他對音高理論研究的信念。經(jīng)過20幾年的悉心研究，他的理論初步形成體系，又通過近20年在教學實踐中逐步驗證和完善，終于在1960年完成出版了著作《現(xiàn)代音樂中的音高材料—十二平均律資源》①（以下簡稱《音高材料》），這部理論著作全面闡述了他對音高材料研究的理論觀點和內(nèi)容，不僅為音樂創(chuàng)作提供了音高材料的范圍和總視野，也為現(xiàn)代音樂的音高材料分類提供了一種新的思路，研究者將其稱之為漢森理論。

一、漢森理論簡述

漢森理論是為創(chuàng)作服務(wù)的，他在《音高材料》的前言中提到：“（該理論的）目的是幫助年輕作曲家整理大量不規(guī)則的、繁雜的、可組成和聲與旋律材料組合的所有可能性，尋求‘遺失了的和弦并予以新的意義，從而探索一種伸向新的領(lǐng)域并能夠滿足其審美渴望的音樂表達語言?！彼麑⒀芯糠秶鷦澏ㄔ谑骄梢綦A中的十二個音，是因為平均律音階的有限性能夠更好地降低研究的復雜性，但其研究結(jié)果通用于純律和五度相生律等其他接近于十二平均律音階的音樂分析和創(chuàng)作中。

漢森認為，和聲與旋律性質(zhì)的一致性十分重要，他將各種音高組合稱為音組（sonority），包括縱向和聲和橫向旋律的音高組合。首先，漢森將所有音程簡化為6種基本音程：純五度（p）、大三度（m）、小三度（n）、大二度（s）、小二度（d）、三全音（t）（其他為轉(zhuǎn)位音程），采用p、m、n、s、d、t的順序表示一個音組所含有的音程屬性，用數(shù)字形式標記在字母的右上角表示各音程所含有的數(shù)量，組合起來稱為音程分析式。如七音組C2D2E2？F1G2A2B②的音程分析式為p6m3n4s5d2t，它表示該音組含有6個純五度或純四度，3個大三度或小六度，4個小三度或大六度，5個大二度或小七度，2個小二度或大七度和2個三全音（1x2）。

在著作中討論了十二平均律音階中所有音組（共222個）的結(jié)構(gòu)性質(zhì)、音響特性、風格，以及他們之間最為直接的包含關(guān)系。漢森采用映射法、對合法、互補映射法為音組構(gòu)成或音組間組合的構(gòu)成方法，采用窮盡法作為邏輯方法將所有音高組合的可能性全部計算出來。

（一）計算方法

映射（projection），即以某音開始按照某種邏輯（音程關(guān)系）始終如一地疊加構(gòu)成音階或和弦的方式。在著作中，漢森窮盡了單方向疊加映射、上下雙向映射、單音程映射和多音程同時映射等多種映射方法。映射也是最基本的音組構(gòu)成方法。

對合（involution）是指以音組中的某音或某兩個以上的音為軸進行縱向翻轉(zhuǎn)，在結(jié)構(gòu)上與原音組構(gòu)成反向的對應(yīng)音組的方法，對應(yīng)的音組與原音組構(gòu)成對合音組。

互補音組（complementary sonorities）是在十二音范圍內(nèi)，除原音組的構(gòu)成音之外的音所組成的音組，也可指該音組與原音組形成的互補關(guān)系。endprint

（二）計算過程

首先，單音程映射是漢森理論的入手點，他按照p、m、n、s、d、t的順序?qū)⒚恳粋€基本音程通過同向映射疊加的方法構(gòu)成基數(shù)為3-12的音組，這些音組是具有這六個基本音程屬性最為強烈的音組群。在t映射出現(xiàn)之前，所有的三音組就全部呈現(xiàn)出來了。且當t映射完全計算完成后，所有的四音組完全出現(xiàn)。

第二步，漢森將完全出現(xiàn)的所有三音組作為映射對象，通過在三音組的三個音上分別構(gòu)成該音組結(jié)構(gòu)的方法進行映射。

第三步，漢森將兩種不同的音程分別映射，而后進行疊加組合，這種方法可以獲得上述兩種方法不能夠得到的3-12音音組。至此，所有的五音組全部呈現(xiàn)。

第四步，漢森沿襲這種思路將三音組在其他音程上進行映射，這種方法是第二步的補充，可獲得新的音組，至此，得到全部六音組。

最后是互補映射構(gòu)成音組法，這種方法的目的是將上述所有出現(xiàn)的3-6音組的互補音組及其性質(zhì)展現(xiàn)出來。由于每個音組相對應(yīng)的互補音組與原音組都具有同樣性質(zhì)的音程分析式，因此，他們的互補音組可以通過原音組的映射獲得，即映射之映射。漢森將上述由各種映射方法所獲得的六音以下的音組通過連接六音組與其對應(yīng)的映射音組建立起前后關(guān)系③。

在這個計算過程中，音組與音組之間通過映射的方法組建了一個音程屬性“關(guān)系網(wǎng)”，在這個網(wǎng)中，每個音組都有它獨有的位置。漢森采用字母、數(shù)字或符號相結(jié)合的方法來表示音組映射或構(gòu)成的方法，即構(gòu)成式。一個音組可能會有多個構(gòu)成式，這是因為同一個音組可以采用不同的映射方法獲得，也說明一個音組的性質(zhì)具有不同的解釋方法，或者說，這個音組在“關(guān)系網(wǎng)”中有多重身份，它聯(lián)系著不同領(lǐng)域或范圍的其他音組。如六音組C2D2E2#F1G2A（p4m2n3s4dt）的構(gòu)成式有三個：（1）PNS，是pns（C7G2A）的映射，即第二步；（2）pmn/s，是三音組pmn（C4E3G）在大二度（s）上重新構(gòu)成同樣結(jié)構(gòu)的三音組（D4#F3A）的疊加；（3）p3+s3，是在同一個音上做三次純五度映射和三次大二度映射疊加構(gòu)成，即（C-G-D-A）+（C-D-E-#F）。由構(gòu)成式可以看出，該六音組中純五度和大二度非常突出，兩者結(jié)合表現(xiàn)出的性格也與這兩個音程的屬性相關(guān)。同時，該六音組在“關(guān)系網(wǎng)”中具有三個坐標點，對于創(chuàng)作者來說，可以通過這個音組找到與它相關(guān)的不同屬性音組與之構(gòu)成的縱橫關(guān)系。漢森將這個“關(guān)系網(wǎng)”簡化排列為一個圖表，參看著作《音高材料》的附錄。

需要指出的是，這部著作只計算了音組構(gòu)成的過程以及他們之間的簡單關(guān)系，關(guān)于音組的連接等問題并沒有深入討論。漢森強調(diào)，該理論不是方法論，不能作為音樂分析的工具或手段，但卻為音樂創(chuàng)作提供了一個寶貴的音高材料庫。

二、漢森理論與音級集合理論

隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，漢森之后的研究者研發(fā)了諸多軟件，如SPEED用來計算任意幾個音組合構(gòu)成音組的性質(zhì)、排列方式等，為創(chuàng)作提供了方便。此外，巴比特（Milton Babbitt，1916–2011）、萊文（David Lewin，1933–2003）和阿倫·福特（Allen Forte，1926-）等在該領(lǐng)域理論研究卓有成就，其中與漢森的研究最為接近的是阿倫·福特的音級集合理論，該理論較為普及，也較早地由羅忠镕、鄭英烈等老一輩作曲家以翻譯、介紹甚至應(yīng)用等方式進行推廣。音級集合理論在很大程度上參考了漢森理論，但阿倫·福特對所有音組進行方法論式的歸納闡述，可以說是對漢森理論的具體化和技術(shù)化。在此，筆者試析兩者的不同之處，如下：

1.漢森理論的目的是整理所有音高材料，從音樂屬性本身出發(fā)尋找各個音組的規(guī)律和所屬位置；音級集合理論則是從數(shù)學邏輯出發(fā)計算音程所含半音數(shù)的關(guān)系來構(gòu)造音組和音組的排列順序，以尋找各音組間的邏輯關(guān)系構(gòu)成作曲技法和分析方法為目的。

2.漢森理論以樂音本身的屬性為基點，注重音樂性和情感表達，他認為樂音本身都具有靈性，是音樂表達的基本內(nèi)涵；音級集合理論在借助數(shù)學思維的情況下思考音樂問題，難免有“機械”之嫌。在將樂音換算為數(shù)字代碼，再用數(shù)字計算后換算為樂音的創(chuàng)作過程中，整體音樂性會受影響，在具體應(yīng)用中也為初學者提出了很大的難題。

3.漢森理論并不限制在調(diào)性或是無調(diào)性領(lǐng)域，但漢森非常注重調(diào)性在音樂中的地位，他認為“這一理論應(yīng)該可以支撐最為集中透徹的音高材料研究，因為它是建立在調(diào)性思維的邏輯表達基礎(chǔ)之上的”；音級集合理論則明確針對無調(diào)性音樂的創(chuàng)作和分析問題。

從分析來看，雖然音級集合源自或借鑒于漢森理論，但也只是將其中無調(diào)性部分（如果音樂可以分類為調(diào)性和無調(diào)性的話）借助數(shù)學知識進行整合，對調(diào)性領(lǐng)域的問題尚未涉及。也即是說，漢森理論中調(diào)性領(lǐng)域的問題并沒有在音級集合理論中得到很好的開發(fā)、延伸或發(fā)展。

漢森理論具有非常實用的價值，為理解音高材料提供了一種新的途徑和方法，這種方法也體現(xiàn)了身處20世紀中期的漢森對現(xiàn)代音樂觀念的突破和超前意識，同時，也為作曲理論的進一步發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

參考文獻：

[1]鄒建平.五位美國現(xiàn)代作曲家風格與技法簡析[J].南京藝術(shù)學院學報（音樂與表演版），1993，（03）.

[2]Howrd Hanson.Haimonic Materials of Modern Music——Resources of the Tempered Scale[M].New York：Appleton Century Crofts Inc，1960.

[3]王丹.音高材料庫——霍華德·漢森理論中的十二平均律資源[J].南京藝術(shù)學院學報（音樂與表演版），2013，（03）.

注釋：

①見參考文獻[2]，筆者將“harmonic materials”譯為“音高材料”。

②如果將某音組的音按上行排列，兩音之間的音程用所含有的半音數(shù)表示，即為音程列。

③連接六音組（connecting hexad），即任何包含一個特定的五音組并且包含于該五音組的映射七音組的六音組，見參考文獻[2]的第269頁。endprint