石 文，余卓平，熊 璐

(1.同濟大學汽車學院，上海 201804；2.同濟大學新能源汽車工程中心，上海 201804；3.鋼鐵研究總院，北京 100081)

前言

1 車輛動力學模型的建立

1.1 3自由度車輛動力學模型

首先建立單軌車輛模型動力學方程組，并假定3自由度非線性微分方程組[3]代表了本文中研究車輛的實際動力學關系：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

車輛縱向加速度和質心加速度之間的關系為

(6)

線性輪胎模型為

FyV=CaVαV

(7)

FyH=CaHαH

(8)

非線性輪胎模型采用魔術公式簡化形式[7,10]：

(9)

(10)

(11)

(12)

式(11)和式(12)表征了穩(wěn)定性控制所跟蹤的車輛側向動力學關系。在非勻速工況下，須聯立式(10)考慮車速變化對式(11)和式(12)解的影響。

車輛的運動學關系為

(13)

(14)

1.2 車輛瞬態(tài)穩(wěn)定性分析模型

(15)

其中：

(16)

(17)

(18)

其中：

(19)

線性化之后微分方程組的齊次通解可用以下結構表示：

(20)

(21)

其中車輛瞬態(tài)轉向特性為

(22)

2 穩(wěn)定性判定準則的常用方法

2.1 跟蹤相平面穩(wěn)定區(qū)域方法

(23)

(24)

通常在使用相平面法作為穩(wěn)定性判據時，須對車輛在各個勻速工況下的受力和各項可變參數進行準確分析，得到與該工況對應的常微分系統(tǒng)方程。之后將各個常微分方程組所對應相圖的穩(wěn)定區(qū)域特征信息進行綜合，建立查表數據庫，供穩(wěn)定性控制系統(tǒng)調用[7,13]。從理論上講，相平面法是一種定性判斷車輛側向動力學特性的方法，但該控制方法要求查表數據庫可以完整覆蓋車輛可能出現的各個勻速工況，且要求選用的理論模型具有足夠高的精度以準確反映對應工況下車輛的動力學特性。由此可知，基于相平面穩(wěn)定區(qū)域的判定準則需要大量數據庫作為支撐，其判斷的準確度與輪胎模型精度和數據量成正比。但是，車輛實際轉向過程中并不總能保證勻速行駛，某些情況，由于車輪切向力的變化，使得車輛出現縱向加速度或者減速度，并且耦合前后車軸載荷變換進而改變了前后車軸的側偏特性。瞬態(tài)下，可能使得由式(23)和式(24)得到的相圖發(fā)生本質變化。由于縱向加速度會隨時間對車速產生影響，相平面軌線已不能準確反映相關狀態(tài)變量的變化趨勢，須借助相空間分析方法。因此，這類基于勻速假設的相平面穩(wěn)定區(qū)域判據存在縱向動力學影響情況下的適用性問題，還須進一步研究[14]。

2.2 跟蹤線性參考模型方法

線性參考模型方法是一個相對簡單、實用且有效的方法。目前產品化的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)大多以此方法作為穩(wěn)定性控制的觸發(fā)判據。其理論依據[3-4,8]為

(25)

(26)

有一些廠商如MANDO[5]，通過前期試驗建立查表數據庫，用于限制不同路面摩擦因數情況下的理論橫擺角速度最大值。以上理論模型也可用前輪轉向角δV表示,須注意，此處并不考慮轉向系剛度對前軸側偏特性的影響：

(27)

在此主要關心由式(27)計算的橫擺角速度理論值所對應的數學意義，及其與車輛側向動力學非線性微分方程組中心平衡點之間的關系。

統(tǒng)計表明，一般駕駛員在彎道行駛時，95%情況下所能達到的側向加速度不會超過4m/s2，即認為在輪胎側偏特性的線性范圍[1]，如圖1所示。

(28)

(29)

通過對式(28)和式(29)中參數的標定，可以使參考模型具有與所控車輛在輪胎側偏特性線性范圍內基本一致的不足轉向性能。工業(yè)化應用時，廠家還會通過微調穩(wěn)定性控制器敏感度等方法，增加參考模型對于參數變化影響的魯棒性，使穩(wěn)定性控制系統(tǒng)適應于各種駕駛條件。并且針對多種多樣的道路條件和車輛條件(主要是載荷和輪胎變化對跟蹤模型精確性的影響)制定了上百種魯棒性測試[5]。

由于實際車輛的側向動力學關系具有高度的非線性因素，車輛彎道行駛過程中輪胎力的變化，可能會瞬時改變前后車軸側偏關系，從而改變中心平衡點在相平面上的位置和性質，有可能使式(11)和式(12)微分方程組的特性發(fā)生質的變化。由于式(11)和式(12)車輛側向動力學非線性微分方程組具有參數依賴方程組的典型特點，因此，行駛工況變化所引起的輪胎切向力、車軸載荷、行駛車速和前輪轉向角等參數切換均會改變車輛瞬態(tài)下常微分方程組的解析表達式。本文中研究的內容側重于車輛瞬態(tài)情況下相平面全局特性的改變，分析式(11)和式(12)方程組中對應的可變參數不難看出：由于車速是加速度的數值積分，車輪轉角的變化受到駕駛員操縱轉向盤頻率的影響，受到人體工程學極限的約束。所以，能夠在瞬態(tài)下改變微分方程組穩(wěn)定性質的因素主要是輪胎力變化，即縱向加速度引起的載荷變化和輪胎所受切向力的變化等因素對前后車軸側偏特性的綜合影響。這種前、后車軸之間具體側偏關系的變化，既決定了車輛側向動力學系統(tǒng)穩(wěn)定性變化的程度，也決定了不穩(wěn)定中心平衡點與之前相平面穩(wěn)定中心平衡點的偏離程度?？赏ㄟ^特定工況說明這種由于非線性微分方程組特性瞬態(tài)變化對線性判據有效性產生的影響。

3 載荷變化工況下的車輛瞬態(tài)穩(wěn)定性對現有判據有效性的影響

仿真工況取自彎道行駛車輛加速踏板松開所產生的載荷變化。選取思路是考慮到此工況出現的約-1m/s2減速度使得前軸加載、后軸減載，對于不同驅動方式車輛，該工況均拉近了前后車軸等效側偏關系，大多數車輛不足轉向程度降低甚至出現過多轉向以至于失去穩(wěn)定性。需要說明的是：由于減速度是由驅動輪制動力矩產生的切向反力(不考慮滾動阻力)與各種等效車身阻力(如空氣阻力和曲線行駛阻力)的合力產生，大多數情況下，驅動輪總的切向反力不會大于500N，因此，在干燥路面條件下，不同驅動方式的影響均小于車軸載荷變化對車軸側偏特性的影響[3]。車輛參數如表1所示。

表1 車輛參數

表2 車輛勻速圓周行駛時的數值計算結果

表3 載荷變化前后中心平衡點位置的變化

表4 3種前輪轉角情況下車輛瞬態(tài)穩(wěn)定性的變化過程

特定工況下，雖然車輛側向動力學非線性微分方程組特性發(fā)生質的變化，即式(11)和式(12) 2自由度系統(tǒng)的中心平衡點特性由之前的穩(wěn)定焦點變?yōu)榘包c，但是其位置并沒有發(fā)生很大變化。由式(27)得到的橫擺角速度理論值與非線性系統(tǒng)中心平衡點所對應的非穩(wěn)定穩(wěn)態(tài)橫擺角速度值接近。雖然穩(wěn)定性判據可能認為此時車輛是穩(wěn)定的，但實際車輛的側向動力學特性不穩(wěn)定。由于線性參考模型方法不是跟蹤車輛系統(tǒng)自身穩(wěn)定性變化，因此，研究這一類工況中式(10)～式(12) 3自由度非線性微分方程組的特解在非穩(wěn)定中心平衡點連續(xù)統(tǒng)鄰域內的變化規(guī)律，對于了解參考模型方法在該類工況下的有效性就具有積極的意義。

4 結論

相平面法可以定性研究車輛側向動力學系統(tǒng)特性和特解軌線的變化過程。在相平面法用于穩(wěn)定性判據時要求理論模型的精確性，且需要前期對各種勻速工況細分以建立盡可能完備的查表數據庫。不同于非線性系統(tǒng)方程數學意義上的穩(wěn)定性，車輛瞬態(tài)穩(wěn)定性變化需要一個過程。對于車輛實時穩(wěn)定性控制所跟蹤的最重要狀態(tài)變量橫擺角速度和質心側偏角的數值增量，更是描述車輛瞬態(tài)穩(wěn)定性所對應線性化微分方程組數值積分的結果，這兩個變量增量的變化具有明顯的連續(xù)性。因此，定性分析車輛側向動力學微分方程組解的穩(wěn)定區(qū)域作為控制判據和控制決策的方法不如跟蹤線性參考模型方法效率高。在某些考慮縱向動力學影響的臨界穩(wěn)定情況下，由于車輛穩(wěn)定性控制所跟蹤的狀態(tài)變量會在不穩(wěn)定中心平衡點連續(xù)統(tǒng)鄰域內一段時間變化緩慢，且數值接近于線性參考模型理論值，可能使得穩(wěn)定性控制系統(tǒng)不能及時響應而錯過最佳時機。因此，須針對此類工況特點，對線性參考模型參數或者誤差門限值進行調整，從而達到更好的控制效果。

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