馬淑清，王鑒，胡燁

摘要：拉普拉斯方程描述了彎曲液面的附加壓力與液體的表面張力及曲率半徑的關(guān)系。本文從表面張力、表面能及熱力學基本公式出發(fā)，應(yīng)用物理學和數(shù)學原理，探討拉普拉斯公式的幾種推導(dǎo)方法及其意義，旨在教學實際中適當?shù)囊?，加深學生對液體表面現(xiàn)象的認識和理解。

關(guān)鍵詞：表面張力；表面自由能；彎曲液面；拉普拉斯方程

中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）02-0097-02

拉普拉斯方程給出了彎曲液面的附加壓力與表面張力和曲率半徑之間的關(guān)系，公式形式很簡單，但推導(dǎo)方法各異，本文從表面張力、表面能及熱力學基本公式出發(fā)，應(yīng)用物理學和數(shù)學原理總結(jié)分析拉普拉斯方程常用的幾種推導(dǎo)方法，并突出其中的物理化學的基本概念及意義，作為教師，向?qū)W生推薦各種推導(dǎo)方法，并進行比較，把學生的注意力引導(dǎo)到對基本概念的再認識上，可獲得事半功倍的效果。

1？搖從表面能概念出發(fā)，應(yīng)用幾何知識及熱力學方法推導(dǎo)

1.1？搖以任意彎曲液面為研究對象[1]

如圖2所示[1]，在任意彎曲液面上取一小矩形曲ABCD，其面積為xy。曲面邊緣AB和BC弧的曲率半徑分別為R1和R2，作曲面的兩個相互垂直的正截面，交線Oz為O點的法線，令曲面沿法線方向移動dz，使曲面擴大到A′B′C′D′，則x與y各增加dx和dy。移動后曲面面積增加dA=xdy+ydx；體積增加dV=xydz。增加dA面積所作的功與克服附加壓力ps增加dV所作的功應(yīng)該相等，即：γdA=psdV

γ（xdy+ydx）=ps xydz？搖？搖？搖（1）

由相似三角形原理：（x+dx）/（R1+dz）=x/R1′簡化得dx=xdz/R1′？搖？搖？搖（2）

（y+dy）/（R2+dz）=y/R2′簡化得dy=ydz/R2′？搖？搖？搖（3）

將（2）及（3）式代入（1）式得：ps=Δp=γ[（1/R1）+（1/ R2）]？搖（4）

（4）式稱為楊-拉普拉斯公式（young-Laplace equation），是研究彎曲表面上附加壓力的基本公式。

如果是球面R1′=R2′=R′，則ps=Δp=2γ/R′。

該方法以任意曲面為研究對象，應(yīng)用幾何知識和表面能的概念進行推導(dǎo)具有普遍意義，但是物理化學意義并不明確，在物理化學教學中只需簡單介紹。

1.2？搖以球形液滴為研究對象[1，4]

如圖3所示，設(shè)有一毛細管，管內(nèi)充滿液體，管端有半徑為R的球形液滴與之平衡（忽略重力對液滴的作用），外壓為p0，附加壓力為ps液滴所承受的壓力為p=p0+ps。設(shè)在恒溫恒壓下，可逆的對活塞施加壓力，使液滴體積增加dV，其表面積相應(yīng)增加dA，則在此過程中以液滴為系統(tǒng)，推動活塞對液滴所作的體積功為：δw1=p外dV=（p0+ps）dV，同時液滴膨脹對環(huán)境所作的體積功為：δw2=-p0dV；推動活塞對液滴所作的凈功為：δw′=psdV。由熱力學基本關(guān)系式dG=-SdT+Vdp+γdA（對純物質(zhì)或組成不變系統(tǒng)，考慮表面能量的變化），得：在恒溫恒壓可逆條件下，dG=δw′即克服附加壓力ps環(huán)境所作的功與可逆增加表面積的吉布斯函數(shù)增加值應(yīng)該相等：PsdV=γdA（dV=4πR3dR，dA=γ8πRdR），即Ps=Δp=2γ/R

該方法物理化學意義非常顯著，首先確定小液滴為系統(tǒng)，描述熱力學問題離不開系統(tǒng)與環(huán)境的概念；應(yīng)用“可逆”的概念強調(diào)環(huán)境的壓力與系統(tǒng)的壓力只相差無窮小，從而有p外dV=（p0+ps）dV的結(jié)果；根據(jù)熱力學原理和熱力學基本關(guān)系式dG=-SdT+Vdp+γdA，在恒溫恒壓可逆條件下，該過程所做的最大有效功即為該過程系統(tǒng)的吉布斯函數(shù)增加值，自然得到所需要的結(jié)果。在整個推導(dǎo)過程中突出熱力學基本原理、基本概念和基本公式在表面化學中的應(yīng)用，加深了學生對熱力學原理的理解，并增強學生應(yīng)用熱力學原理分析和解決問題的能力。

2？搖從表面張力的概念出發(fā)應(yīng)用物理學的方法進行推導(dǎo)[2，3]

2.1？搖以凸形液面為研究對象[3]

設(shè)有一凸液面AB，如圖4所示，其球心為O，球半徑為r，球缺底面圓心為O1，底面半徑為r1，液體表面張力為γ。

將球缺底面圓周上與圓周垂直的表面張力分為水平分力與垂直分力，水平分力相互平衡，垂直分力指向液體內(nèi)部，其單位周長的垂直分力為γcosα。因球缺底面圓周長為2πr1，得垂直分力在圓周上的合力為：F=2πr1γcosα.因cosα=r1/r，球缺底面面積為πr12，故彎曲液面對于單位水平面上的附加壓力為：Δp=（2πr1γr1/R）/πr12，整理后得：Δp=2γ/r

2.2以球形液滴為研究對象[2]

假設(shè)有一半徑為r的圓球形液滴，通過球的中心畫一截面，如圖5所示，沿著截面周界線兩邊的液面對周界線皆有表面張力的作用。圖中只畫出了周界線下得液面對周界線的作用。以下半球為系統(tǒng)，則沿截面周界線上表面張力的合力F，就等于垂直作用于截面上的力，所以F=2πrγ，即為附加壓力：Δp=F/（πr）=2πrγ/（πr2）=2γ/r

以上方法是從表面張力的概念出發(fā)，對球缺周界線以下的液面對周界線的作用進行受力分析，如果只從獲得附加壓力與表面張力及曲率半徑的關(guān)系出發(fā)，該方法簡單且易于理解。

關(guān)于拉普拉斯公式的推導(dǎo)還有一些其他方法[6，7]。盡管方法各異，但都是從表面張力和表面能兩個角度入手，并引入下面相同的基本假設(shè)完成推導(dǎo)過程：（1）將表面層理想化為一個簡單的幾何曲面；（2）假設(shè)表面層兩側(cè)的液相和氣相都是均勻的；（3）忽略由液體重力產(chǎn)生的附加壓強。

參考文獻：

[1]傅獻彩，等.物理化學（下）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]天津大學物理化學教研室.物理化學（下）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]肖衍繁，李文斌.物理化學[M].天津：天津大學出版社，2004.

[4]沈鐘，趙振國，王國庭.膠體與表面化學[M].北京：化學工業(yè)出版社，2004.

[5]葉松.關(guān)于彎曲液面下由液體重力產(chǎn)生的附加壓強的討論[J].巢湖學院學報，2003，5（3）.

[6]張永勝.拉普拉斯公式的另一種推導(dǎo)方法[J].淮北煤師院學報，2000，21（2）.

[7]李亦寧.彎曲液面下附加壓強值的幾種推導(dǎo)方法[J].廣西物理，2004.25（1）.endprint

摘要：拉普拉斯方程描述了彎曲液面的附加壓力與液體的表面張力及曲率半徑的關(guān)系。本文從表面張力、表面能及熱力學基本公式出發(fā)，應(yīng)用物理學和數(shù)學原理，探討拉普拉斯公式的幾種推導(dǎo)方法及其意義，旨在教學實際中適當?shù)囊茫由顚W生對液體表面現(xiàn)象的認識和理解。

關(guān)鍵詞：表面張力；表面自由能；彎曲液面；拉普拉斯方程

中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）02-0097-02

拉普拉斯方程給出了彎曲液面的附加壓力與表面張力和曲率半徑之間的關(guān)系，公式形式很簡單，但推導(dǎo)方法各異，本文從表面張力、表面能及熱力學基本公式出發(fā)，應(yīng)用物理學和數(shù)學原理總結(jié)分析拉普拉斯方程常用的幾種推導(dǎo)方法，并突出其中的物理化學的基本概念及意義，作為教師，向?qū)W生推薦各種推導(dǎo)方法，并進行比較，把學生的注意力引導(dǎo)到對基本概念的再認識上，可獲得事半功倍的效果。

1？搖從表面能概念出發(fā)，應(yīng)用幾何知識及熱力學方法推導(dǎo)

1.1？搖以任意彎曲液面為研究對象[1]

如圖2所示[1]，在任意彎曲液面上取一小矩形曲ABCD，其面積為xy。曲面邊緣AB和BC弧的曲率半徑分別為R1和R2，作曲面的兩個相互垂直的正截面，交線Oz為O點的法線，令曲面沿法線方向移動dz，使曲面擴大到A′B′C′D′，則x與y各增加dx和dy。移動后曲面面積增加dA=xdy+ydx；體積增加dV=xydz。增加dA面積所作的功與克服附加壓力ps增加dV所作的功應(yīng)該相等，即：γdA=psdV

γ（xdy+ydx）=ps xydz？搖？搖？搖（1）

由相似三角形原理：（x+dx）/（R1+dz）=x/R1′簡化得dx=xdz/R1′？搖？搖？搖（2）

（y+dy）/（R2+dz）=y/R2′簡化得dy=ydz/R2′？搖？搖？搖（3）

將（2）及（3）式代入（1）式得：ps=Δp=γ[（1/R1）+（1/ R2）]？搖（4）

（4）式稱為楊-拉普拉斯公式（young-Laplace equation），是研究彎曲表面上附加壓力的基本公式。

如果是球面R1′=R2′=R′，則ps=Δp=2γ/R′。

該方法以任意曲面為研究對象，應(yīng)用幾何知識和表面能的概念進行推導(dǎo)具有普遍意義，但是物理化學意義并不明確，在物理化學教學中只需簡單介紹。

1.2？搖以球形液滴為研究對象[1，4]

如圖3所示，設(shè)有一毛細管，管內(nèi)充滿液體，管端有半徑為R的球形液滴與之平衡（忽略重力對液滴的作用），外壓為p0，附加壓力為ps液滴所承受的壓力為p=p0+ps。設(shè)在恒溫恒壓下，可逆的對活塞施加壓力，使液滴體積增加dV，其表面積相應(yīng)增加dA，則在此過程中以液滴為系統(tǒng)，推動活塞對液滴所作的體積功為：δw1=p外dV=（p0+ps）dV，同時液滴膨脹對環(huán)境所作的體積功為：δw2=-p0dV；推動活塞對液滴所作的凈功為：δw′=psdV。由熱力學基本關(guān)系式dG=-SdT+Vdp+γdA（對純物質(zhì)或組成不變系統(tǒng)，考慮表面能量的變化），得：在恒溫恒壓可逆條件下，dG=δw′即克服附加壓力ps環(huán)境所作的功與可逆增加表面積的吉布斯函數(shù)增加值應(yīng)該相等：PsdV=γdA（dV=4πR3dR，dA=γ8πRdR），即Ps=Δp=2γ/R

該方法物理化學意義非常顯著，首先確定小液滴為系統(tǒng)，描述熱力學問題離不開系統(tǒng)與環(huán)境的概念；應(yīng)用“可逆”的概念強調(diào)環(huán)境的壓力與系統(tǒng)的壓力只相差無窮小，從而有p外dV=（p0+ps）dV的結(jié)果；根據(jù)熱力學原理和熱力學基本關(guān)系式dG=-SdT+Vdp+γdA，在恒溫恒壓可逆條件下，該過程所做的最大有效功即為該過程系統(tǒng)的吉布斯函數(shù)增加值，自然得到所需要的結(jié)果。在整個推導(dǎo)過程中突出熱力學基本原理、基本概念和基本公式在表面化學中的應(yīng)用，加深了學生對熱力學原理的理解，并增強學生應(yīng)用熱力學原理分析和解決問題的能力。

2？搖從表面張力的概念出發(fā)應(yīng)用物理學的方法進行推導(dǎo)[2，3]

2.1？搖以凸形液面為研究對象[3]

設(shè)有一凸液面AB，如圖4所示，其球心為O，球半徑為r，球缺底面圓心為O1，底面半徑為r1，液體表面張力為γ。

將球缺底面圓周上與圓周垂直的表面張力分為水平分力與垂直分力，水平分力相互平衡，垂直分力指向液體內(nèi)部，其單位周長的垂直分力為γcosα。因球缺底面圓周長為2πr1，得垂直分力在圓周上的合力為：F=2πr1γcosα.因cosα=r1/r，球缺底面面積為πr12，故彎曲液面對于單位水平面上的附加壓力為：Δp=（2πr1γr1/R）/πr12，整理后得：Δp=2γ/r

2.2以球形液滴為研究對象[2]

假設(shè)有一半徑為r的圓球形液滴，通過球的中心畫一截面，如圖5所示，沿著截面周界線兩邊的液面對周界線皆有表面張力的作用。圖中只畫出了周界線下得液面對周界線的作用。以下半球為系統(tǒng)，則沿截面周界線上表面張力的合力F，就等于垂直作用于截面上的力，所以F=2πrγ，即為附加壓力：Δp=F/（πr）=2πrγ/（πr2）=2γ/r

以上方法是從表面張力的概念出發(fā)，對球缺周界線以下的液面對周界線的作用進行受力分析，如果只從獲得附加壓力與表面張力及曲率半徑的關(guān)系出發(fā)，該方法簡單且易于理解。

關(guān)于拉普拉斯公式的推導(dǎo)還有一些其他方法[6，7]。盡管方法各異，但都是從表面張力和表面能兩個角度入手，并引入下面相同的基本假設(shè)完成推導(dǎo)過程：（1）將表面層理想化為一個簡單的幾何曲面；（2）假設(shè)表面層兩側(cè)的液相和氣相都是均勻的；（3）忽略由液體重力產(chǎn)生的附加壓強。

參考文獻：

[1]傅獻彩，等.物理化學（下）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]天津大學物理化學教研室.物理化學（下）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]肖衍繁，李文斌.物理化學[M].天津：天津大學出版社，2004.

[4]沈鐘，趙振國，王國庭.膠體與表面化學[M].北京：化學工業(yè)出版社，2004.

[5]葉松.關(guān)于彎曲液面下由液體重力產(chǎn)生的附加壓強的討論[J].巢湖學院學報，2003，5（3）.

[6]張永勝.拉普拉斯公式的另一種推導(dǎo)方法[J].淮北煤師院學報，2000，21（2）.

[7]李亦寧.彎曲液面下附加壓強值的幾種推導(dǎo)方法[J].廣西物理，2004.25（1）.endprint

摘要：拉普拉斯方程描述了彎曲液面的附加壓力與液體的表面張力及曲率半徑的關(guān)系。本文從表面張力、表面能及熱力學基本公式出發(fā)，應(yīng)用物理學和數(shù)學原理，探討拉普拉斯公式的幾種推導(dǎo)方法及其意義，旨在教學實際中適當?shù)囊?，加深學生對液體表面現(xiàn)象的認識和理解。

關(guān)鍵詞：表面張力；表面自由能；彎曲液面；拉普拉斯方程

中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）02-0097-02

拉普拉斯方程給出了彎曲液面的附加壓力與表面張力和曲率半徑之間的關(guān)系，公式形式很簡單，但推導(dǎo)方法各異，本文從表面張力、表面能及熱力學基本公式出發(fā)，應(yīng)用物理學和數(shù)學原理總結(jié)分析拉普拉斯方程常用的幾種推導(dǎo)方法，并突出其中的物理化學的基本概念及意義，作為教師，向?qū)W生推薦各種推導(dǎo)方法，并進行比較，把學生的注意力引導(dǎo)到對基本概念的再認識上，可獲得事半功倍的效果。

1？搖從表面能概念出發(fā)，應(yīng)用幾何知識及熱力學方法推導(dǎo)

1.1？搖以任意彎曲液面為研究對象[1]

如圖2所示[1]，在任意彎曲液面上取一小矩形曲ABCD，其面積為xy。曲面邊緣AB和BC弧的曲率半徑分別為R1和R2，作曲面的兩個相互垂直的正截面，交線Oz為O點的法線，令曲面沿法線方向移動dz，使曲面擴大到A′B′C′D′，則x與y各增加dx和dy。移動后曲面面積增加dA=xdy+ydx；體積增加dV=xydz。增加dA面積所作的功與克服附加壓力ps增加dV所作的功應(yīng)該相等，即：γdA=psdV

γ（xdy+ydx）=ps xydz？搖？搖？搖（1）

由相似三角形原理：（x+dx）/（R1+dz）=x/R1′簡化得dx=xdz/R1′？搖？搖？搖（2）

（y+dy）/（R2+dz）=y/R2′簡化得dy=ydz/R2′？搖？搖？搖（3）

將（2）及（3）式代入（1）式得：ps=Δp=γ[（1/R1）+（1/ R2）]？搖（4）

（4）式稱為楊-拉普拉斯公式（young-Laplace equation），是研究彎曲表面上附加壓力的基本公式。

如果是球面R1′=R2′=R′，則ps=Δp=2γ/R′。

該方法以任意曲面為研究對象，應(yīng)用幾何知識和表面能的概念進行推導(dǎo)具有普遍意義，但是物理化學意義并不明確，在物理化學教學中只需簡單介紹。

1.2？搖以球形液滴為研究對象[1，4]

如圖3所示，設(shè)有一毛細管，管內(nèi)充滿液體，管端有半徑為R的球形液滴與之平衡（忽略重力對液滴的作用），外壓為p0，附加壓力為ps液滴所承受的壓力為p=p0+ps。設(shè)在恒溫恒壓下，可逆的對活塞施加壓力，使液滴體積增加dV，其表面積相應(yīng)增加dA，則在此過程中以液滴為系統(tǒng)，推動活塞對液滴所作的體積功為：δw1=p外dV=（p0+ps）dV，同時液滴膨脹對環(huán)境所作的體積功為：δw2=-p0dV；推動活塞對液滴所作的凈功為：δw′=psdV。由熱力學基本關(guān)系式dG=-SdT+Vdp+γdA（對純物質(zhì)或組成不變系統(tǒng)，考慮表面能量的變化），得：在恒溫恒壓可逆條件下，dG=δw′即克服附加壓力ps環(huán)境所作的功與可逆增加表面積的吉布斯函數(shù)增加值應(yīng)該相等：PsdV=γdA（dV=4πR3dR，dA=γ8πRdR），即Ps=Δp=2γ/R

該方法物理化學意義非常顯著，首先確定小液滴為系統(tǒng)，描述熱力學問題離不開系統(tǒng)與環(huán)境的概念；應(yīng)用“可逆”的概念強調(diào)環(huán)境的壓力與系統(tǒng)的壓力只相差無窮小，從而有p外dV=（p0+ps）dV的結(jié)果；根據(jù)熱力學原理和熱力學基本關(guān)系式dG=-SdT+Vdp+γdA，在恒溫恒壓可逆條件下，該過程所做的最大有效功即為該過程系統(tǒng)的吉布斯函數(shù)增加值，自然得到所需要的結(jié)果。在整個推導(dǎo)過程中突出熱力學基本原理、基本概念和基本公式在表面化學中的應(yīng)用，加深了學生對熱力學原理的理解，并增強學生應(yīng)用熱力學原理分析和解決問題的能力。

2？搖從表面張力的概念出發(fā)應(yīng)用物理學的方法進行推導(dǎo)[2，3]

2.1？搖以凸形液面為研究對象[3]

設(shè)有一凸液面AB，如圖4所示，其球心為O，球半徑為r，球缺底面圓心為O1，底面半徑為r1，液體表面張力為γ。

將球缺底面圓周上與圓周垂直的表面張力分為水平分力與垂直分力，水平分力相互平衡，垂直分力指向液體內(nèi)部，其單位周長的垂直分力為γcosα。因球缺底面圓周長為2πr1，得垂直分力在圓周上的合力為：F=2πr1γcosα.因cosα=r1/r，球缺底面面積為πr12，故彎曲液面對于單位水平面上的附加壓力為：Δp=（2πr1γr1/R）/πr12，整理后得：Δp=2γ/r

2.2以球形液滴為研究對象[2]

假設(shè)有一半徑為r的圓球形液滴，通過球的中心畫一截面，如圖5所示，沿著截面周界線兩邊的液面對周界線皆有表面張力的作用。圖中只畫出了周界線下得液面對周界線的作用。以下半球為系統(tǒng)，則沿截面周界線上表面張力的合力F，就等于垂直作用于截面上的力，所以F=2πrγ，即為附加壓力：Δp=F/（πr）=2πrγ/（πr2）=2γ/r

以上方法是從表面張力的概念出發(fā)，對球缺周界線以下的液面對周界線的作用進行受力分析，如果只從獲得附加壓力與表面張力及曲率半徑的關(guān)系出發(fā)，該方法簡單且易于理解。

關(guān)于拉普拉斯公式的推導(dǎo)還有一些其他方法[6，7]。盡管方法各異，但都是從表面張力和表面能兩個角度入手，并引入下面相同的基本假設(shè)完成推導(dǎo)過程：（1）將表面層理想化為一個簡單的幾何曲面；（2）假設(shè)表面層兩側(cè)的液相和氣相都是均勻的；（3）忽略由液體重力產(chǎn)生的附加壓強。

參考文獻：

[1]傅獻彩，等.物理化學（下）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]天津大學物理化學教研室.物理化學（下）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]肖衍繁，李文斌.物理化學[M].天津：天津大學出版社，2004.

[4]沈鐘，趙振國，王國庭.膠體與表面化學[M].北京：化學工業(yè)出版社，2004.

[5]葉松.關(guān)于彎曲液面下由液體重力產(chǎn)生的附加壓強的討論[J].巢湖學院學報，2003，5（3）.

[6]張永勝.拉普拉斯公式的另一種推導(dǎo)方法[J].淮北煤師院學報，2000，21（2）.

[7]李亦寧.彎曲液面下附加壓強值的幾種推導(dǎo)方法[J].廣西物理，2004.25（1）.endprint