牛勝鎖，張思為，梁志瑞

（華北電力大學(xué)新能源電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，保定071003）

相量測(cè)量單元PMU（phasor measurement unit）是基于全球定位系統(tǒng)GPS 的一種相量測(cè)量裝置，PMU 能夠?qū)崿F(xiàn)廣域電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)的實(shí)時(shí)同步測(cè)量，為實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)全局穩(wěn)定性控制創(chuàng)造了條件，克服了現(xiàn)有以監(jiān)控與數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)、能量管理系統(tǒng)為代表的調(diào)度檢測(cè)系統(tǒng)不能檢測(cè)和辨識(shí)電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的缺點(diǎn)[1]。

在保證系統(tǒng)完全可觀測(cè)情況下，如何在電網(wǎng)中合理配置較少數(shù)目的PMU 是目前一個(gè)較為熱點(diǎn)的研究課題。針對(duì)此類問題通?？紤]兩個(gè)方面：PMU 最優(yōu)數(shù)目的確定和PMU 安裝位置的確定。文獻(xiàn)[2]提出了一種概率偏移粒子群算法，該方法對(duì)小規(guī)模網(wǎng)絡(luò)求解效率高，但不善于求解復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。文獻(xiàn)[3]提出一種遺傳算法和模擬退火法組合算法，有較強(qiáng)爬山性能，但收斂方向不準(zhǔn)確，影響迭代效果；文獻(xiàn)[4]提出一種改進(jìn)禁忌搜索法，避免了重復(fù)搜索，但缺乏搜索方向指引，較難得到最優(yōu)結(jié)果。

本文提出一種變權(quán)重蛙跳算法[5]VWFLA（weighted and shuffled frog leaping algorithm）解決PMU 優(yōu)化配置問題。該方法以PMU 配置數(shù)目最小為目標(biāo)函數(shù)，以電力系統(tǒng)可觀測(cè)為約束條件，設(shè)計(jì)了算法的適應(yīng)度函數(shù)，結(jié)合混合蛙跳算法的蛙體跳躍進(jìn)化方式，并改進(jìn)權(quán)重系數(shù)的更新策略，進(jìn)一步提高了收斂效果和最優(yōu)解集多樣性。最后通過對(duì)各方案進(jìn)行冗余度分析得出最優(yōu)方案。

1 PMU 優(yōu)化配置問題的數(shù)學(xué)模型

1.1 PMU 測(cè)量規(guī)則

電力系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)電壓和支路電流可以通過直接測(cè)量或虛擬測(cè)量的方式獲得。其中虛擬測(cè)量是利用與其相關(guān)的測(cè)量經(jīng)計(jì)算而得出待測(cè)量的方法。在電網(wǎng)中，結(jié)合歐姆定律和基爾霍夫電壓電流定律，得出以下4 條測(cè)量規(guī)則[6]：

（1）配置PMU 的節(jié)點(diǎn)，其節(jié)點(diǎn)電壓和與該節(jié)點(diǎn)相關(guān)的支路電流可直接量測(cè)，與該節(jié)點(diǎn)相鄰節(jié)點(diǎn)的電壓相量可計(jì)算得到；

（2）已知支路兩端節(jié)點(diǎn)電壓相量，則該支路電流可計(jì)算得到；

（3）未配置PMU 的零注入節(jié)點(diǎn)若其電壓已知，且其相關(guān)支路只有一條不可觀測(cè)，則該支路電流可計(jì)算得到；

（4）若零注入節(jié)點(diǎn)所有相連的節(jié)點(diǎn)電壓都已知，則該節(jié)點(diǎn)電壓可計(jì)算得出。

1.2 電力系統(tǒng)可觀的定義

如果PMU 量測(cè)能提供足夠的測(cè)量信息，從而通過狀態(tài)估計(jì)可計(jì)算出系統(tǒng)全部狀態(tài)量，就稱系統(tǒng)是可觀的。系統(tǒng)可觀性可從代數(shù)可觀與拓?fù)淇捎^兩種角度考察[6-8]。代數(shù)可觀計(jì)算需要滿秩的電網(wǎng)信息矩陣，計(jì)算量大、速度慢。本文結(jié)合系統(tǒng)拓?fù)湫畔⒑妥⑷胄畔⑶蠼饪捎^測(cè)性問題，計(jì)算量和計(jì)算速度均優(yōu)于代數(shù)可觀。而拓?fù)淇捎^是將電力系統(tǒng)看作一個(gè)由n 個(gè)頂點(diǎn)、b 條邊構(gòu)成的圖，即

式中：V 為圖的頂點(diǎn)集合；E 為圖的邊集合。分別對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的母線和支路集合?；跍y(cè)量規(guī)則的測(cè)量網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成一個(gè)測(cè)量子圖，即

式中：V′?V；E′?E。如果測(cè)量子圖G′與圖G 的關(guān)系滿足V?V′，即子圖G′包含圖G 的所有頂點(diǎn)，則系統(tǒng)拓?fù)淇捎^。

1.3 問題的數(shù)學(xué)模型

由以上PMU 測(cè)量規(guī)則和電力系統(tǒng)可觀測(cè)判斷方法，PMU 優(yōu)化配置問題的數(shù)學(xué)模型可表述為

式中：X 為n 個(gè)節(jié)點(diǎn)的PMU 配置矩陣，X=[x1，x2，…，xn]T，若第i 個(gè)節(jié)點(diǎn)配置PMU，則xi=1；否則xi=0；A 為支路-節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣。目標(biāo)函數(shù)為配置PMU的數(shù)目最小，約束條件為系統(tǒng)完全可觀測(cè)（判據(jù)為：向量XA 中值最小的元素大于零，即每個(gè)元素均大于零）。

2 混合蛙跳算法的基本原理

混合蛙跳算法HFLA 是由Eusuff 等于2003年提出的一種新的元啟發(fā)式的搜索算法，通過模擬青蛙群體在覓食過程中所體現(xiàn)出的協(xié)同行為來完成對(duì)問題的求解。這種算法按照族群分類進(jìn)行信息傳遞，并將全局信息的交換與局部進(jìn)化搜索相結(jié)合[9-11]。

HFLA 算法首先隨機(jī)生成p 只青蛙組成初始群體，每只青蛙表示問題的解為

式中：j 為第j 只青蛙；q 為解空間的維數(shù)。在生成初始群體之后，將種群內(nèi)青蛙個(gè)體按其適應(yīng)度降序排列。然后將整個(gè)青蛙群體分成m 個(gè)子群，每個(gè)子群包含n 只青蛙。其中，第1 只青蛙分入第1 子群，第2 只青蛙分入第2 子群，第m 只青蛙分入第m 子群，第m+1 只青蛙分入第1 子群，第m+2只青蛙分入第2 子群，依次類推，直到全部青蛙劃分完畢。

子群中青蛙個(gè)體進(jìn)化時(shí)，首先借助子群最好個(gè)體Xpb與最差個(gè)體Xpw產(chǎn)生新個(gè)體Xpw，new（視為青蛙的一次跳躍）。更新策略為

式中：D 為各分量的移動(dòng)距離矩陣；M（rand（0，1））為0 和1 之間的隨機(jī)數(shù)矩陣；Dmax為青蛙所允許改變位置的最大值。

如果Xpw，new的適應(yīng)度優(yōu)于其父代個(gè)體Xpw，則替換之；否則借助種群最優(yōu)個(gè)體Xgb與該子群的Xpw重新產(chǎn)生新個(gè)體Xpw，new（視為青蛙的第2 次跳躍）。如果優(yōu)于父代個(gè)體則替換之；否則隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)新個(gè)體Xpw，new（視為青蛙的第3 次跳躍）替換父代個(gè)體。重復(fù)3 次跳躍式的更新操作直到設(shè)定的迭代次數(shù)。當(dāng)所有子群局部深度搜索完成后，將所有子群的青蛙重新混合并排序和劃分子群，然后再次進(jìn)行局部深度搜索，重復(fù)此操作直到滿足終止條件[11-12]。

3 變權(quán)重蛙跳算法求解PMU 優(yōu)化配置問題

3.1 蛙體的結(jié)構(gòu)編碼

在蛙跳算法中，相關(guān)參數(shù)大部分屬于連續(xù)實(shí)數(shù)域，因此蛙跳算法主要適用于連續(xù)空間域的優(yōu)化問題，難于直接處理離散的組合優(yōu)化問題[13]。PMU 優(yōu)化配置問題屬于離散組合優(yōu)化問題，所以在分析傳統(tǒng)蛙跳算法優(yōu)化機(jī)理的基礎(chǔ)上，本文采用了整數(shù)編碼方式。第j 只青蛙的位置可表示為

式中的各維變量分別表示PMU 在n 個(gè)節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)中的配置情況，xjk=0 表示不在k 節(jié)點(diǎn)配置PMU，xjk=1 表示在k 節(jié)點(diǎn)配置PMU。

3.2 蛙體的變權(quán)重更新策略

在電力系統(tǒng)線性量測(cè)模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)蛙體跳躍進(jìn)化的特點(diǎn)，構(gòu)建系統(tǒng)狀態(tài)可觀性評(píng)估的適應(yīng)度函數(shù)為

式中：E 為n×n 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渚仃嚕籈′為Xi對(duì)應(yīng)的m×n可觀測(cè)網(wǎng)絡(luò)矩陣；c 為懲罰因子，若系統(tǒng)完全可觀測(cè)，則c=1；否則c 取一個(gè)較小數(shù)值。對(duì)不能達(dá)到完全可觀測(cè)的蛙體Xi降低其適應(yīng)度。

通過種群內(nèi)青蛙個(gè)體的適應(yīng)度進(jìn)行降序排列，并分成若干子群，子群中青蛙個(gè)體進(jìn)化的第1次跳躍變化為

式中：vij（t）為蛙體i 在第t 次迭代時(shí)移動(dòng)速度矩陣的第j 維分量；w 為權(quán)重系數(shù)；r 為介于[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)。新個(gè)體為

對(duì)Xpw，new、Xpw、Xgb的適應(yīng)度進(jìn)行比較分析，依次進(jìn)行青蛙的第2 次跳躍和第3 次跳躍，直到設(shè)定的迭代次數(shù)。

當(dāng)所有蛙體完成3 次跳躍搜索后對(duì)蛙體跳躍方向進(jìn)行更新。根據(jù)種群整體進(jìn)化后的基因編碼賦予相應(yīng)的權(quán)重，對(duì)多次出現(xiàn)需要配置PMU 的節(jié)點(diǎn)賦予高權(quán)重，有利于其在跳躍的進(jìn)化中繼續(xù)保留，對(duì)較少出現(xiàn)需要配置PMU 的節(jié)點(diǎn)賦予低權(quán)重，提高其跳躍進(jìn)化中發(fā)生變異的概率。權(quán)重系數(shù)的變化公式為

式中，k1和k2為權(quán)重系數(shù)的取值限制，可以將w（xij）鉗位在[k1，k2]之間。經(jīng)仿真結(jié)果分析，k1?。?.2～0.4），k2?。?.6～0.8），收斂效果較好。

3.3 冗余度分析

系統(tǒng)中獨(dú)立測(cè)量量的數(shù)目和狀態(tài)量數(shù)目之比稱為冗余度。PMU 數(shù)目相等的前提下，可以通過比較不同配置方案的冗余度來確定最優(yōu)方案。從而提高實(shí)時(shí)信息的可靠性與完整性[14]。

對(duì)一個(gè)n 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，其狀態(tài)量為n 維電壓向量，其獨(dú)立測(cè)量量為配置了PMU 的節(jié)點(diǎn)電壓向量以及與之關(guān)聯(lián)的電流向量。冗余度可表示為

式中：P 為配置了PMU 的節(jié)點(diǎn)集合；di為與配置了PMU 的節(jié)點(diǎn)i 相關(guān)聯(lián)的支路數(shù)。

3.4 算法實(shí)現(xiàn)流程

變權(quán)重蛙跳算法流程如圖1 所示。

4 算例分析

在Matlab 軟件環(huán)境下開發(fā)了基于變權(quán)重蛙跳算法的PMU 優(yōu)化配置程序，并針對(duì)新英格蘭39母線系統(tǒng)和IEEE 57 母線系統(tǒng)進(jìn)行了仿真分析。取蛙體個(gè)數(shù)為100 個(gè)，迭代次數(shù)為100 次。

圖1 變權(quán)重蛙跳算法流程Fig.1 Flow chart of VWFLA algorithm

4.1 算例1

New England 39 母線系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化圖見圖2。

圖2 New England 39 母線系統(tǒng)簡(jiǎn)化圖Fig.2 Simplified diagram of New England 39-bus system

對(duì)圖2 網(wǎng)絡(luò)的PMU 優(yōu)化配置問題分別用性能較好的遺傳算法[15-17]、粒子群算法[2，18]和本文算法進(jìn)行求解，幾種算法的求解結(jié)果比較如表1 所示。

表1 幾種算法比較（算例1）Tab.1 Comparison of several algorithms（case 1）

由表1 可知，在相同迭代次數(shù)下，綜合考慮最優(yōu)方案需配置的PMU 數(shù)目和所得最優(yōu)方案?jìng)€(gè)數(shù)，變權(quán)重蛙跳算法更優(yōu)于其他算法。概率偏移粒子群法、蛙跳算法和變權(quán)重蛙跳算法的是其中計(jì)算效果較優(yōu)的3 種算法。圖3 為這3 種算法在New England 39 母線系統(tǒng)完全可觀條件下的收斂效果分析。由圖3 可以看出，變權(quán)重蛙跳算法較性能優(yōu)良的概率偏移粒子群法有著更好的收斂速度，這對(duì)求解多節(jié)點(diǎn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的PMU 優(yōu)化配置問題更加有利。

由表1 和圖3 可以看出，變權(quán)重蛙跳算法相比其它算法在搜索方向性、收斂速度、可行解數(shù)目等方面都表現(xiàn)得更為出色。通過該算法求得的各方案如表2 所示，優(yōu)選冗余度較大的1、3 號(hào)方案。

圖3 New England 39 母線系統(tǒng)變權(quán)重蛙跳算法、混合蛙跳算法和概率偏移粒子群法的收斂效果對(duì)比Fig.3 Comparison of VWFLA，HFLA and PBPSO for New England 39-bus system

表2 變權(quán)重蛙跳法求解New England 39 母線系統(tǒng)配置方案Tab.2 Optimal placement scheme of PMU for New England 39-bus system by VWFLA

方案1 的配置方式見圖2，通過優(yōu)化配置，選擇關(guān)聯(lián)支路數(shù)較多的母線配置PMU，有效提高了觀測(cè)冗余度和量測(cè)精度，需要8 個(gè)PMU 即可達(dá)到系統(tǒng)完全可觀測(cè)。

4.2 算例2

IEEE 57 母線系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化圖見圖4，算法比較結(jié)果見表3，收斂效果比較如圖5 所示。

由表3 可知，利用概率偏移粒子群法和原蛙跳算法均未能得出最少配置11 臺(tái)PMU 的最優(yōu)方案。而本文所提變權(quán)重蛙跳算法可在求得最優(yōu)解的同時(shí)還可提供多種配置方案。由圖5 可以看出，本文算法在收斂性方面也更優(yōu)于另外2 種算法。

利用變權(quán)重蛙跳算法求得的3 種最優(yōu)配置方案如表4 所示，結(jié)果中可優(yōu)選冗余度較大的2 號(hào)方案。方案2 的配置方式如圖4 所示，需要配置11個(gè)PMU 即可達(dá)到系統(tǒng)完全可觀測(cè)。相比其它方案，方案2 在關(guān)聯(lián)支路數(shù)較多的6 號(hào)和19 號(hào)母線配置PMU，明顯提高了系統(tǒng)觀測(cè)冗余度。

圖4 IEEE 57 母線系統(tǒng)簡(jiǎn)化圖Fig.4 Simplified diagram of IEEE 57-bus system

表3 幾種算法比較（算例2）Tab.3 Comparison of several algorithms（case 2）

圖5 IEEE 57 母線系統(tǒng)變權(quán)重蛙跳算法、混合蛙跳算法和概率偏移粒子群法的收斂效果對(duì)比Fig.5 Comparison of VWFLA，HFLA and PBPSO for IEEE 57-bus system

表4 變權(quán)重蛙跳法求解IEEE 57 母線系統(tǒng)配置方案Tab.4 Optimal placement scheme of PMU for IEEE 57-bus system by VWFLA

由以上2 個(gè)仿真算例可知，變權(quán)重蛙跳算法與其他常用優(yōu)化算法相比，更善于解決復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的PMU 配置問題。算法在保證求得最優(yōu)解的同時(shí)具有更好的收斂速度，并可以給決策者提供更多可行的PMU 配置方案。復(fù)雜算例也驗(yàn)證了這一結(jié)果。

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)電力系統(tǒng)PMU 優(yōu)化配置問題，本文提出應(yīng)用一種變權(quán)重蛙跳算法來求解。通過算例仿真驗(yàn)證，本文算法具有更高計(jì)算收斂速度和全局性，并具有最優(yōu)方案多樣化的特點(diǎn)。通過不同算例比較分析，本文算法在分析多節(jié)點(diǎn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的PMU優(yōu)化配置問題時(shí)更能體現(xiàn)其優(yōu)勢(shì)。

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