陳 飛，練繼建，王海軍

（天津大學(xué) 水利工程仿真與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072）

淺埋圓形基礎(chǔ)豎向地基承載力極限分析上限解＊

陳 飛，練繼建，王海軍?

（天津大學(xué) 水利工程仿真與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072）

圓形基礎(chǔ)是一種應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)形式，而目前基礎(chǔ)承載力研究主要集中在條形基礎(chǔ)上，對(duì)圓形基礎(chǔ)研究較少.針對(duì)現(xiàn)有圓形基礎(chǔ)承載力求解方法中存在的問(wèn)題，構(gòu)建了多塊體離散破壞模式，同時(shí)考慮土體自重、黏聚力及邊載因素，求得豎向極限承載力的上限解表達(dá)式，并編制了最優(yōu)化計(jì)算程序.將計(jì)算結(jié)果與已有的滑移線解、上限解、Hansen解以及工程實(shí)測(cè)資料進(jìn)行廣泛比較，證明該處計(jì)算淺埋圓形基礎(chǔ)承載力的方法是更加準(zhǔn)確合理的.然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果分析了圓形基礎(chǔ)地基滑裂面特性，發(fā)現(xiàn)由于同時(shí)考慮了土體重度，計(jì)算得到的地基滑裂面范圍小于經(jīng)典的對(duì)數(shù)螺旋滑裂面，滑裂面范圍隨內(nèi)摩擦角的增大而增大，隨重度增加而減小，隨基礎(chǔ)埋深的增大而增大.

承載力；多塊體離散模式；相容速度場(chǎng)；最優(yōu)化方法；臨界滑裂面

圓形基礎(chǔ)是比較常見(jiàn)的一種基礎(chǔ)形式，在工程界應(yīng)用頗為廣泛，尤其在近年來(lái)經(jīng)常被用作新型結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)［1］.目前承載力問(wèn)題研究多集中在條形基礎(chǔ)上［2－4］，對(duì)于圓形基礎(chǔ)，目前仍在均勻、無(wú)重量條件下推導(dǎo)出的Prandtl解基礎(chǔ)上，引入各種經(jīng)驗(yàn)修正系數(shù)，如Terzaghi，Hanson，Vesic等建議的三項(xiàng)疊加法.這些修正方法缺乏嚴(yán)格的理論依據(jù)，且計(jì)算結(jié)果往往偏差較大［5］，給圓形基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)和校核等帶來(lái)不便，因此非常有必要對(duì)圓形基礎(chǔ)豎向承載力進(jìn)行研究.

目前地基承載力計(jì)算研究的主要方法有極限平衡法［6］、滑移線方法［7］、極限分析法［8］等.極限分析法是以塑性理論上下限定理求解極限荷載的一種分析方法，Chen［9］在上下限定理基礎(chǔ)上建立了土體穩(wěn)定分析的一般方法，該方法具有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，且可以避開(kāi)分析復(fù)雜的應(yīng)力和應(yīng)變隨外荷載如何變化，只需求出最終達(dá)到塑形極限狀態(tài)時(shí)所對(duì)應(yīng)的破壞荷載.Donald和Chen［10］提出了建立在對(duì)土條進(jìn)行斜分條的塑性力學(xué)上限解法，并使用最優(yōu)化方法來(lái)求解臨界破壞模式，該方法在邊坡穩(wěn)定分析［10］和擋土墻土壓力［11］等領(lǐng)域已有較多成功的應(yīng)用，逐漸成為一種統(tǒng)一的、實(shí)用的土體穩(wěn)定數(shù)值解法.近年來(lái)該方法也逐漸用于求解基礎(chǔ)承載力，如Soubra［8］使用斜條分法得到了條形基礎(chǔ)的承載力系數(shù)，計(jì)算結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)的三項(xiàng)疊加法；Lyamin和Sloan［12］將上限解法和有限元方法結(jié)合，得到了一種新的計(jì)算基礎(chǔ)承載力的數(shù)值方法；Shiau［13］、秦會(huì)來(lái)［14］、Huang［15］等將斜條分法用于分層地基，構(gòu)建新的多塊體離散模式，得到了雙層地基條形基礎(chǔ)的承載力上限解.綜上所述，斜分土條上限解法在基礎(chǔ)承載力領(lǐng)域的研究大都集中在條形基礎(chǔ)，至于淺埋圓形基礎(chǔ)，目前相關(guān)研究較少.李亮［16］、張國(guó)祥［17］等選用對(duì)數(shù)螺旋面作為滑裂面，采取上限法求解了圓形基礎(chǔ)承載力，但對(duì)數(shù)螺線滑裂面是在無(wú)重土假設(shè)下得到的，當(dāng)考慮土重因素時(shí)，無(wú)法獲得理論解［2］.

針對(duì)上述研究現(xiàn)狀，本文將斜分土條法應(yīng)用到淺埋圓形基礎(chǔ)承載力的極限分析中，同時(shí)考慮土體自重、黏聚力及邊載因素，推導(dǎo)了豎向承載力的上限解表達(dá)式，并編寫(xiě)最優(yōu)化計(jì)算程序，得到了更加準(zhǔn)確合理的圓形基礎(chǔ)承載力上限解和地基滑裂面，分析了滑裂面性質(zhì)及影響因素.為了檢驗(yàn)本文上限解計(jì)算結(jié)果，將計(jì)算結(jié)果與目前已有的滑移線解、上限解、Hansen解以及工程實(shí)測(cè)資料進(jìn)行了比較.

1 圓形基礎(chǔ)承載力上限分析

1.1 上限定理

對(duì)于一個(gè)處于極限狀態(tài)的地基，假定在地基土體里存在一個(gè)塑性區(qū)，在這一塑性區(qū)和邊界上，如果由于某一外荷載增量ΔT＊導(dǎo)致一個(gè)塑性應(yīng)變?cè)隽?，就可以通過(guò)虛功率原理求解相應(yīng)于這一塑性變形模式的外荷載T＊.上限定理指出，在所有運(yùn)動(dòng)許可變形場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的極限荷載中，真實(shí)的荷載最小.若將滑動(dòng)土體分成若干具有傾斜側(cè)面的土條，假定沿條塊底面和側(cè)面土體均達(dá)到了極限平衡狀態(tài)，根據(jù)虛功原理可以得到以下方程：

式中：W 為塑性區(qū)的體積力；T＊為相應(yīng)于塑性變形模式的外荷載；V＊為塑性速度；Dl為沿土條側(cè)面的內(nèi)能耗散率；Dd為沿土條底面的內(nèi)能耗散率.

1.2 多塊體離散模式

在上述定理的基礎(chǔ)上，建立淺埋圓形基礎(chǔ)多塊體離散模式，如圖1所示.地基破壞區(qū)域分為錐形主動(dòng)破壞區(qū)ABC，以及由n個(gè)土條組成的輻射狀剪切破壞區(qū)BCD.假定材料遵守摩爾－庫(kù)倫破壞準(zhǔn)則和相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則.在豎向外荷載作用下，錐形主動(dòng)破壞區(qū)（ABC）以v0豎直向下運(yùn)動(dòng)，速度與基礎(chǔ)相同.輻射狀剪切破壞區(qū)（BCD）內(nèi)的任一土條速度vi與滑動(dòng)界面的夾角為φ，與相鄰條塊的相對(duì)速度為vi，i＋1，并與該兩條塊的交界面的夾角也為φ.相鄰條塊的移動(dòng)應(yīng)保證條塊之間不發(fā)生重疊或分離，由此便可以推求任一條塊的運(yùn)動(dòng)速度vi和相鄰兩條塊之間的相對(duì)速度vi，i＋1：

圖1 地基多塊體離散模式Fig.1 Section view of multi-block failure mechanism

1.3 功率計(jì)算與上限分析

內(nèi)能耗散即速度間斷面上的能量耗散，外功率包括重力做功功率、基礎(chǔ)周圍負(fù)荷做功功率和極限荷載做功功率.

假設(shè)基礎(chǔ)直徑為D，取土體微元進(jìn)行分析，如圖2所示，根據(jù)幾何關(guān)系可以得到以下關(guān)系式：

式中：li為條塊徑向長(zhǎng)度；di為條塊底邊長(zhǎng)度；ri為條塊重心位置.

圖2 相容速度矢量關(guān)系Fig.2 Compatible velocity field

按照微元體計(jì)算功率并積分后可得：

在豎向荷載作用下，兩相鄰條塊之間接觸面作用力方向無(wú)相對(duì)速度分量，條塊前后表面無(wú)能量損失，故總的能量耗散率為式（14）、式（16）和式（18）之和：

2 上限解的計(jì)算與檢驗(yàn)

2.1 確定臨界狀態(tài)的數(shù)值分析方法

由式（21）可以看出，極限承載力pu是變量θ，αi和βi的函數(shù)，變量數(shù)目為2n＋1.根據(jù)上限定理，在所有的機(jī)動(dòng)容許的塑性變形位移速率場(chǎng)相對(duì)應(yīng)的荷載中，極限荷載為最小.因此求解極限荷載即為尋找使得pu取得最小值時(shí)的變量值（θ，αi，βi），最優(yōu)變量值構(gòu)成的破壞面即為臨界滑裂面，如圖3所示.故上述問(wèn)題可以歸結(jié)為，對(duì)于一個(gè)具有2n＋1個(gè)自變量ZT的目標(biāo)函數(shù)pu，尋找使pu獲得最小值的自變量［見(jiàn)式（22）］，屬于多變量非線性規(guī)劃問(wèn)題.

非線性規(guī)劃中的最優(yōu)化方法為解決此類問(wèn)題提供了強(qiáng)有力的手段.目前已有許多十分成熟的計(jì)算方法，如單行法、模式搜索法、隨機(jī)搜索法、遺傳算法等，都可以較好地解決最小值分析問(wèn)題，近幾年實(shí)際應(yīng)用表明，采用單行法等直接搜索法可能更為有效［2］.

圖3 搜索臨界滑裂面（軸對(duì)稱示意圖）Fig.3 Search of critical slip surface（axisymmetric diagram）

本文采用Matlab編程進(jìn)行最優(yōu)化計(jì)算，選用單形法尋優(yōu)，在循環(huán)搜索過(guò)程中，通過(guò)自變量θ，αi和βi反復(fù)迭代、擴(kuò)充和收縮，使單形不斷更新、逼近極值點(diǎn)，逐漸由滑裂面1向滑裂面2逼近，變量θ，αi和βi逐漸過(guò)渡到使目標(biāo)函數(shù)最小的新數(shù)值θ′，αi′和βi′.

2.2 上限解與滑移線解比較

首先以承載力系數(shù)Nq為例，對(duì)計(jì)算方法和結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證.Bolton和Lau［7］針對(duì)圓形淺埋基礎(chǔ)利用滑移線法進(jìn)行計(jì)算，得到圓形基礎(chǔ)的承載力系數(shù)Nq，計(jì)算結(jié)果被廣泛引用.滑移線法從構(gòu)造應(yīng)力場(chǎng)出發(fā)，雖與上限解屬同一理論體系，但由于其不能證明構(gòu)造的靜力許可應(yīng)力場(chǎng)在全局范圍內(nèi)適用，滑移線解的上下限性質(zhì)不明確.令c＝0，γ＝0，代入式（21），計(jì)算結(jié)果即為對(duì)于圓形淺埋基礎(chǔ)普遍適用的承載力系數(shù)Nq.劃分條塊數(shù)量越多，計(jì)算結(jié)果無(wú)疑更加準(zhǔn)確，在計(jì)算時(shí)取一系列不同的條塊數(shù)量（n＝1，2，3，…）進(jìn)行試算.將φ＝30°時(shí)的Nq計(jì)算結(jié)果隨條塊數(shù)量變化關(guān)系繪于圖4，從中可以看出，隨著斜條塊數(shù)目n的增加，Nq變化率逐漸降低，當(dāng)條塊數(shù)目n＝10時(shí)，Nq變化率降至0.06%，計(jì)算結(jié)果已趨于穩(wěn)定，滿足精度要求.下面將本文上限法計(jì)算得到的Nq數(shù)值與Bolton和Lau［7］滑移線解進(jìn)行比較，見(jiàn)圖5.可以看出，本文上限解結(jié)果與滑移線法結(jié)果數(shù)值比較相近，并且兩種方法反映的Nq變化規(guī)律也非常一致：Nq隨內(nèi)摩擦角增大而變大，并且增加幅度也逐漸增大.與滑移線解結(jié)果相比，上限解計(jì)算結(jié)果普遍偏小，因此是更加準(zhǔn)確的，驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的可靠性.

2.3 與工程實(shí)例資料和其他上限解對(duì)比分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文上限解，將其與文獻(xiàn)［5］和［16］中工程實(shí)例實(shí)測(cè)值、文獻(xiàn)［16］中上限解和按照Hansen經(jīng)典解計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，見(jiàn)表1.從表1中數(shù)據(jù)對(duì)比可以看出：本文上限解計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值非常接近，誤差基本控制在10%以內(nèi)，尤其黏土土質(zhì)上限解與實(shí)測(cè)值吻合良好，在粉土和砂土質(zhì)中誤差稍大，最大誤差分別為12.3%和10.9%；上限解大都略大于實(shí)測(cè)值，這是符合上限定理的，原因在于它從構(gòu)建一個(gè)處于塑性區(qū)和滑裂面上的位移場(chǎng)出發(fā)，本身即是從上限方向逼近真實(shí)解的.

圖4 φ＝30°時(shí)Nq隨劃分條塊數(shù)目變化趨勢(shì)Fig.4 Trends of Nqaccording to the number of strips forφ＝30°

與Hansen解和文獻(xiàn)［16］上限解計(jì)算結(jié)果相比，可以看出本文計(jì)算結(jié)果更加接近實(shí)測(cè)值，Han-sen解在軟黏土中誤差較大；本文上限解大都大于文獻(xiàn)［16］上限解，這是由于文獻(xiàn)［16］上限解選用的是Prandtl對(duì)數(shù)螺旋面作為滑裂面，計(jì)算時(shí)不考慮土體重度，因此得到的承載力的上限解偏小，而本文求解時(shí)同時(shí)考慮了土體自重、邊載、黏聚力等因素，計(jì)算承載力時(shí)自動(dòng)搜索到最危險(xiǎn)的滑裂面，計(jì)算結(jié)果更加符合實(shí)際情況，同時(shí)這也驗(yàn)證了本文上限解搜索到的地基滑裂面的合理性.下面將對(duì)計(jì)算得到的地基滑裂面進(jìn)行比較分析.

圖5 承載力系數(shù)Nq計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.5 Calculation result of Nqand comparison

表1 豎向極限承載力計(jì)算結(jié)果比較Tab.1 Comparison between present ultimate bearing capacity and data in references

3 地基滑裂面比較分析

3.1 滑裂面比較

為了研究上述地基滑裂面性質(zhì)，比較其與文獻(xiàn)［16］中使用的經(jīng)典的對(duì)數(shù)螺線滑裂面的不同，特選取以下算例進(jìn)行計(jì)算分析，基礎(chǔ)直徑D＝5m，埋深H＝1.5m，地基土重度為γ＝20kN／m3，內(nèi)摩擦角φ＝30°，黏聚力c＝10kPa.對(duì)上述基礎(chǔ)進(jìn)行上限計(jì)算分析，圖6滑裂面1為計(jì)算得到的地基滑裂面形狀的軸對(duì)稱剖面圖.由①錐形主動(dòng)破壞區(qū)和②10個(gè)輻射狀剪切破壞區(qū)構(gòu)成.可以看出：破壞范圍在90°左右，其中輻射狀剪切破壞區(qū)依次由條塊1～10構(gòu)成，其中條塊1～9的形狀和大小及破壞模式非常接近，條塊10的范圍較大.與文獻(xiàn)［16］中使用的對(duì)數(shù)螺線滑裂面（圖6中滑裂面2）相比，可以看出本文地基滑裂面范圍較小，這是由于計(jì)算時(shí)考慮了土體自重造成的；由于對(duì)數(shù)螺線滑裂面是在無(wú)重土的情況下得到的，所以其滑裂范圍較大，直接應(yīng)用于考慮土重時(shí)的圓形基礎(chǔ)承載力計(jì)算是不合理的.本文計(jì)算得到的臨界滑裂面同時(shí)考慮了q，c和γ的影響，并可看出臨界滑裂面受土體自重影響較大.

圖6 滑裂面圖示與比較（軸對(duì)稱剖面圖）Fig.6 Critical slip surface and comparison with logarithmic spiral surface（axisymmetric diagram）

3.2 臨界滑裂面影響因素

進(jìn)一步研究地基土重度和內(nèi)摩擦角對(duì)地基滑裂面的影響，對(duì)上述算例取多組不同的φ，γ，H，研究基礎(chǔ)臨界滑裂面的變化情況，計(jì)算得到的臨界滑裂面的形狀如圖7，圖8和圖9所示.

圖7 滑裂面形狀隨內(nèi)摩擦角變化軸對(duì)稱圖Fig.7 Axisymmetric diagram of critical slip surface with variation of the internal frictional angle

圖8 滑裂面形狀隨重度變化軸對(duì)稱剖面圖Fig.8 Axisymmetric diagram of critical slip surface with variation of the unit weight of the foundation

圖9 滑裂面形狀隨埋深變化軸對(duì)稱剖面圖Fig.9 Axisymmetric diagram of critical slip surface with variation of the depth of embedment

可以得到以下結(jié)論：

1）當(dāng)D＝5m，H＝1.5m，γ＝20kN／m3，c＝10 kPa時(shí)，取φ分別為20°，25°，30°，35°和40°，得到臨界滑裂面如圖7所示，可以看出臨界滑裂面范圍隨內(nèi)摩擦角的增大而擴(kuò)大，①區(qū)錐形體頂角θ逐漸增大，②區(qū)滑裂范圍向外向下延伸，同時(shí)引起承載力數(shù)值的增大.

2）當(dāng)D＝5m，H＝1.5m，φ＝30°，c＝10kPa時(shí)，取γ分別為0，5kN／m3，10kN／m3，15kN／m3，20kN／m3和25kN／m3，得到臨界滑裂面如圖8所示，可以看出當(dāng)?shù)鼗林囟茸兇髸r(shí)，滑裂面范圍變小變淺，①區(qū)錐形體頂角θ逐漸減小，②區(qū)滑裂范圍收縮，這與3.1中的結(jié)論是一致的，即地基重度會(huì)減小滑裂面范圍.

3）當(dāng) D＝5m，γ＝20kN／m3，φ＝30°，c＝10 kPa時(shí)，取深徑比 H／D 分別為0，0.1，0.2，0.3，0.4和0.5，得到臨界滑裂面如圖9所示，當(dāng)基礎(chǔ)埋深增大時(shí)，錐形體頂角隨之增大，輻射區(qū)滑裂范圍向外向下延伸，滑裂面范圍變大.

4 結(jié) 論

承載力問(wèn)題是巖土工程的基本課題之一，目前研究主要集中在條形基礎(chǔ)上，對(duì)圓形基礎(chǔ)研究較少，這給圓形基礎(chǔ)設(shè)計(jì)校核帶來(lái)不便.基礎(chǔ)承載力受到土性、邊載、基礎(chǔ)形狀等多種因素影響，鑒于基礎(chǔ)承載力問(wèn)題的復(fù)雜性，采用極限分析法對(duì)淺埋圓形基礎(chǔ)承載力進(jìn)行分析求解，構(gòu)建了多塊體破壞模式協(xié)調(diào)的機(jī)動(dòng)速度場(chǎng)，避開(kāi)復(fù)雜的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，可同時(shí)考慮土體自重、黏聚力及邊載因素，得到了圓形基礎(chǔ)豎向極限承載力的上限解，并通過(guò)計(jì)算分析得出以下結(jié)論：

1）本文上限解與實(shí)測(cè)值以及多種計(jì)算方法得到的結(jié)果進(jìn)行了廣泛比較，與文獻(xiàn)資料中實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比，發(fā)現(xiàn)二者非常接近，并且本文計(jì)算結(jié)果比已有上限解、滑移線解和Hansen解更準(zhǔn)確，說(shuō)明了本文計(jì)算方法的合理性和準(zhǔn)確性.

2）采用本文計(jì)算方法得到了圓形基礎(chǔ)地基滑裂面，并與其他作者使用的經(jīng)典的對(duì)數(shù)螺旋滑裂面進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)本文計(jì)算得到的地基滑裂面范圍較小較淺.這是由于本文采取多塊體離散模式，計(jì)算時(shí)同時(shí)考慮了地基土重度、黏聚力和邊載因素，地基土重度使得滑裂面范圍變小，更加符合實(shí)際情況.

3）較全面地討論了地基主要土質(zhì)參數(shù)對(duì)地基滑裂面的影響，發(fā)現(xiàn)臨界滑裂面隨內(nèi)摩擦角的增大而增大，隨重度增加而減小，隨埋深的增大而增大.

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Upper-bound Limit Analysis of the Vertical Bearing Capacity of Circular Shallow Foundations

CHEN Fei，LIAN Ji-jian，WANG Hai-jun?
（State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety，Tianjin Univ，Tianjin 300072，China）

The circular foundation is one of the most widely used foundation types.However，little emphasis has been placed on the research of the bearing capacity for circular shallow foundations than strip footings.To solve this problem，an upper-bound solution of the bearing capacity of circular shallow foundations was presented on the basis of the limit analysis by building a multi-block discrete model and taking soil weight，cohesion，and overload into account.Then，the present solutions have proved more accurate through comparisons with measured values found in references and calculation results using other methods.Additionally，analyses of the ground slide surface were carried out，which show that the scope of the slide surface searched is smaller than that of the classical logarithmic spiral surface，due to the weight of the soil.The scope of the slide surface increases with the increase of internal friction angle and embedded depth，but decreases with the increase of the unit weight of soil.

bearing capacity；multi-block failure mechanism；compatible velocity field；optimization；critical slide surface

TU470

A

1674-2974（2014）06-0092-07

2013-05-14

國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃（863計(jì)劃）資助項(xiàng)目（2012AA051702）；國(guó)家國(guó)際科技合作專項(xiàng)資助項(xiàng)目（2012DFA70490）；天津市應(yīng)用基礎(chǔ)及前沿技術(shù)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目（青年基金項(xiàng)目）（12JCQNJC04000）

陳 飛（1986－），男，河北邢臺(tái)人，天津大學(xué)博士研究生

?通訊聯(lián)系人，E-mail：bookwhj＠tju.edu.cn