一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.

1. 設集合M={-1，0，1}，N={x|x2≤x}，則M∩N=（ ）

A. {0} B. {0，1} C. {-1，1} D. {-1，0}

2. 已知復數(shù)z1=2+i，z1·z2=2-i，則復數(shù)z2=（ ）

A. +i B. --i C. -i D. -+i

3. 已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），若||=2，||=3，·=-6，則的值為 （ ）

A. -2 B. 2 C. - D.

4. 若圓（x-a）2+（y-2）2=4（a<0）及直線l∶x-y+3=0，當直線l被圓截得的弦長為2時，a的值為（ ）

A.--1 B. - C.--1 D. -

5. 一整數(shù)等可能的在1，2，…，10中取值，以X記這個整數(shù)的正約數(shù)的個數(shù)，則EX的值為（ ）

A. 2.5 B. 2.7 C. 2.9 D. 2.8

6. 按下列程序框圖運算：若運算進行3次才停止，則x的取值范圍是（ ）

A. （11，20） B. （-∞，28] C. （10，+∞） D. （10，28]

7. 若（x，y）滿足不等式組x-y≥-2，x+2y≤6，x≥0，y≥0，則2y-x的最大值是（ ）

A. B. C. D.

8. 定義兩個實數(shù)間的一種新運算“”：xy=lg（10x+10y），（x，y∈R）.對任意實數(shù)a，b，c給出如下結(jié)論：①（ab）c=a（bc）；②ab=ba；③（ab）+c=（a+c）（b+c）.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

二、填空題（共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分）.

9. 如圖為一個幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為 .

10. 設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若a1=1，且2a2，S3，a4+2成等差數(shù)列，則數(shù)列{an2}的前5項和為 .

11. 設為第二象限角，若tan（+）=，則cos+sin= .

12. 設a>0，b>0，若3a·3b=3，則+的最小值為

.

13. 將自然數(shù)1，2，3，4…排成數(shù)陳（如右圖），在2處轉(zhuǎn)第一個彎，在3轉(zhuǎn)第二個彎，在5轉(zhuǎn)第三個彎，…則第199個轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為____________.

選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）

14. （坐標系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.若極坐標方程為cos=4的直線與曲線x=t2，y=t3（t為參數(shù)）相交于A，B兩點，則|AB|=_______.

15. （幾何證明選講選做題）如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF=CF=，AF∶FB∶BE=4∶2∶1，若CE與圓相切，則線段CE的長為 .

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16. （本小題滿分12分）

在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a=，b=3，sinC=2sinA.

（1） 求c的值；

（2） 求sin（A+）的值.

17. （本小題滿分12分）

在一個選拔項目中，每個選手都需要進行4輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答者進入下一輪考核，否則被淘汰，已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為、、、，且各輪問題能否正確回答互不影響.

（1）求該選手進入第三輪才被淘汰的概率；

（2）求該選手至多進入第三輪考核的概率；

（3）該選手在選拔過程中回答過的問題的個數(shù)記為X，求隨機變量X的分布列和期望.

18. （本小題滿分14分）

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖2.

（1）求證：A1C⊥平面BCDE；

（2）若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大小；

（3）線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由.

19. （本小題滿分14分）

已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=3，且an+1=an+2an-1（n≥2）.

（1）設bn=an+1+an，是否存在實數(shù)，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；

（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

20.（本小題滿分14分）

已知橢圓+=1（a>b>0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2短軸兩個端點為A，B，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形.

（Ⅰ） 求橢圓方程；

（Ⅱ） 若C，D分別是橢圓長軸的左右端點，動點M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點P，證明：·為定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試問x軸上是否存在異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP，MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

21. （本小題滿分14分）

函數(shù)f（x）=a·ex，g（x）=lnx-lna，其中a為常數(shù)，且函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖像在其與坐標軸的交點處的切線互相平行.

（Ⅰ）求此平行線的距離；

（Ⅱ）若存在x使不等式>成立，求實數(shù)m的取值范圍；

（Ⅲ）對于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）公共定義域中的任意實數(shù)x0，我們把|f（x0）-g（x0）|的值稱為兩函數(shù)在x0處的偏差.求證：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.

2013年高考廣東理科數(shù)學模擬試題參考答案

1. B. 由于x2≤x0≤x≤1，即N={x|0≤x≤1}，

于是，M∩N={0，1}.

2. C. 由z1=2+i，z1·z2=2-iz2==-i.

3. C. 設，的夾角為，則·=|| ||cos=-6cos=-1，∴=180°.

即，共線且反向，∴=-，x1=-x2，y1=-y2，∴=-.

4. A. 由于圓的半徑為2，弦長為2，因此，弦心距離d=，即圓心到直線的距離=1，得a=-1±，因為a<0，得a=--1.

5. B. 由于P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，所以EX=1×+2×+3×+4×=2.7.

6. D.若輸入x，則第一次運算結(jié)果為3x-2；第二次運算結(jié)果為3（3x-2）-2即為9x-8；第三次運算結(jié)果為3（9x-8）-2，即27x-26.

由于3次才停止，于是27x-26>244，9x-8≤24410

7. A. 設2y-x=b，得y=x+，不等式組x-y≥-2，x+2y≤6，x≥0，y≥0所表示的可行域，如右圖所示：

顯然，當y=x+過點A時最大，此時，2y-x最大.

由x-y=-2，x+2y=6x=，y=，那么2y-x=2×-=.

8. D. 因為（ab）c=lg（10ab+10c）=lg[10+10c]=lg（10a+10b+10c），

而a（bc）=lg（10a+10bc）=lg[10a+10]=lg（10a+10b+10c），

于是（ab）c=a（bc）.

又ab=lg（10a+10b），而ba=lg（10b+10a），顯然ab=ba.

（ab）+c=lg（10a+10b）+c=lg（10a+10b）+lg10c=lg[10c（10a+10b）]=lg（10a+c+10b+c）=（a+c）（b+c），即③對.故選D.

9. 12π.由幾何體的三視圖知該幾何體為一個底面是正方形，有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐，由已知數(shù)據(jù)可求得該幾何體外接球的半徑R=，所以S=4πR2=12π.

10. 314. 2S3=2a2+a4+2，得q=2，則{an2}的公比為4，S5=

=341.

11. -.由tan（+）==tan=-，

∴（cos+sin）2===.

∵為第二象限角，tan=-2kπ+<<2kπ+πcos+sin<0，

得cos+sin=-.

12. 4. ∵3a·3b=3，∴a+b=1，+=（a+b）（+）=2++≥2+2=4，

當且僅當=且a+b=1，即a=b=時等號成立.

13. 5051.觀察由1起每一個轉(zhuǎn)彎時遞增的數(shù)字可發(fā)現(xiàn)為“1，1，2，2，3，3，4，4，…”.故在第199個轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為：1+2（1+2+3+…+99）+100=5051.

14. |AB|=16.由cos=4，知x=4.

又x=t2，y=t3x3=y2（x≥0）.

由x=4，x3=y2x=4，y=8或x=4，y=-8.

那么|AB|==16.

15. .設BE=a，則AF=4a，F(xiàn)B=2a.

∵AF·FB=DF·FC8a2=2a=，于是得AF=2，F(xiàn)B=1，BE=，AE=.

又∵CE為圓的切線，∴CE2=EB·EA=×=CE=.

16. （1）在△ABC中，根據(jù)正弦定理，得=.

于是c=·a==2.

（2）在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得cosA==.

于是，sinA==.

所以sin（A+）=sinAcos+cosAsin=×+×=.

17. 設事件Ai（i=1，2，3，4）表示“該選手能正確回答第i輪問題”，

由已知P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（A4）=，

（1）設事件B表示“該選手進入第三輪被淘汰”，

則P（B）=P（A1A23）=P（A1）P（A2）P（3）=××（1-）=.

（2）設事件C表示“該選手至多進入第三輪考核”，

則P（C）=P（1+A12+A1A23）

=P（1）+P（A12）+P（A1A23）=+×+××（1-）=.

（3）X的可能取值為1，2，3，4，

P（X=1）=P（1）=，P（X=2）=P（A12）=×（1-）=，

P（X=3）=P（A1A23）=××（1-）=，P（X=4）=P（A1A2A3）=××=，

所以，X的分布列為：

E（X）=1×+2×+3×+4×=3.

18.（1）∵CD⊥DE，A1E⊥ED，

∴ DE⊥平面A1CD，又∵A1C平面A1CD，

∴ A1C⊥DE，又A1C⊥CD，

∴ A1C⊥平面BCDE.

（2）如圖建立空間直角坐標系C-xyz，則D（-2，0，0），A（0，0，2），B（0，3，0），E（-2，2，0），∴=（0，3，-2），=（-2，-1，0）.

設平面A1BE法向量為=（x，y，z），則·=0，·=0，

∴3y-2z=0，-2x-y=0，∴z=y，x=-， ∴ =（-1，2，）.

又∵M（-1，0，），∴=（-1，0，），

∴cos====，

∴CM與平面A1BE所成角的大小45°.

（3）設線段BC上存在點P，設P點坐標為（0，a，0），則a∈[0，3]，

則=（0，a，-2），=（2，a，0）.

設平面A1DP法向量為1=（x1，y1，z1），則ay1-2z1=0，2x1+ay1=0， ∴z1=ay1，x1=-ay1，

∴1=（-3a，6，a）.

假設平面A1DP與平面A1BE垂直，則1·=0，∴3a+12+3a=0，6a=-12，a=-2.

∵0

19. （1）假設存在實數(shù)，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，則有b22=b1b3……①

由a1=1，a2=3，且an+1=an+2an-1，得a3=5，a4=11.

所以b1=a2+a1=3+，b2=a3+a2=5+3，b3=a4+a3=11+5，

所以（5+3）2=（3+）（11+5），解得=1或=-2.

當=1時，bn=an+1+an，bn-1=an+an-1，且b1=a2+a1=4，

有===2（n≥2）.

當=-2時，bn=an+1-2an，bn-1=an-2an-1，且b1=a2-2a1=1，

有===-1（n≥2）.

所以存在實數(shù)，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.

當=1時，數(shù)列{bn}為首項是4、公比是2的等比數(shù)列；

當=-2時，數(shù)列{bn}為首項是1、公比是-1的等比數(shù)列.

（2）由（1）可知，an+1+an=4×2n-1，an+1-2an=1×（-1）n-1， 所以an=[2n+1+（-1）n].

則Sn=[（22-1）+（23+1）（24-1）+（25+1）+…+（2n+（-1）n-1）+（2n+1+（-1）n）]，

當n為偶數(shù)時，Sn=（22+23+24+25+…+2n+2n+1）

=×=（2n+2-4）.

當為奇數(shù)時， Sn=[（22+23+24+25+…+2n+2n+1）-1]

=×[-1]=（2n+2-5）.

故數(shù)列{an}的前n項和Sn=（2n+2-4）， n為偶數(shù)（2n+2-5）. n為奇數(shù)

20. （1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2，

∴橢圓方程為+=1.

（2）C（-2，0），D（2，0），設M（2，y0），P（x1，y1），則=（x1，y1），=（2，y0）.

直線CM：=，即y=x+y0代入橢圓x2+2y2=4，

得（1+）x2+x+-4=0.

由韋達定理有x1（-2）=，∴ x1=-，

∴y1=，

∴=（-，），

∴·=-+==4（定值）.

（3）設存在Q（m，0）滿足條件，則MQ⊥DP.

=（m-2，-y0），=（-，），

則由·=0，得-（m-2）-=0，從而得m=0.

∴ 存在Q（0，0）滿足條件.

21. （Ⅰ）由于f ′=（x）=aex，g′（x）=，y=f（x）的圖像與坐標軸的交點為（0，a），y=g（x）的圖像與坐標軸的交點為（a，0），由題意得f ′（0）=g′（a），即a=.

又∵a>0，∴a=1.

∴ f（x）=ex，g（x）=lnx，

∴函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖像在其坐標軸的交點處的切線方程分別為：x-y+1=0，x-y-1=0.

∴兩平行切線間的距離為.

（Ⅱ）由>，得>，故m

令h（x）=x-ex，則m

當x=0時，m<0；

當x>0時，∵h′（x）=1-（ex+ex）=1-（+）ex，∵x>0，

∴+≥2=，ex>1，∴（+）ex>.

故h′（x）=1-（+）ex<0.

即h（x）=x-ex在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，故hmax（x）=

h（0）=0，∴m<0.

故實數(shù)m的取值范圍為（-∞，0）.

（Ⅲ）∵函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的偏差為：F（x）=ex-lnx，x∈（0，+∞），

∴F′（x）=ex-，設x=x0為F′（x）=ex-=0的解，

則當x∈（0，x0），F(xiàn)′（x）<0；

當x∈（x0，+∞），F(xiàn)′（x）>0，

∴F（x）在（0，x0）單調(diào)遞減，在（x0，+∞）單調(diào)遞增.

故F′（1）=e-1>0，F(xiàn)′（0.5）=-2<0，

∴

又-=0，故Fmin（x）=-lnx0=+x0>2，

即函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.

（本試題由中山一中許少華老師擬制）

責任編校 徐國堅