陳海真，宋宏鵬

(山東理工大學，山東淄博 255049)

3-CRC并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型變異與性能分析

陳海真，宋宏鵬

(山東理工大學，山東淄博 255049)

通過改變已有3-CRC并聯(lián)機構(gòu)運動支鏈的配置方式，得到了一類運動完全解耦的新型三平移并聯(lián)機構(gòu)，并導出了機構(gòu)的位置正反解方程。利用機構(gòu)的完全解耦性與位置方程導出了機構(gòu)工作空間的解析表達式，并對兩類機構(gòu)的解耦性能與工作空間進行了對比，驗證了新機構(gòu)優(yōu)良的運動性能，為其后續(xù)的研究和應用提供了依據(jù)。

并聯(lián)機構(gòu);機構(gòu)構(gòu)型;位置正、反解;解耦;工作空間

運動解耦、工作空間體積大的少自由度并聯(lián)機構(gòu)具有優(yōu)良的運動性能，實用價值較高，具有廣泛的應用前景［1－2］。運動解耦性與并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)形式有著密切的關(guān)系，其位置分析相對也比較復雜，工作空間的求解受到多種因素的影響，較難得到一個精確的解析解。目前多數(shù)是利用數(shù)值方法對工作空間求近似解，少數(shù)機構(gòu)可以根據(jù)其特定的結(jié)構(gòu)形式和位置方程得到解析解［3］。為了更好地推廣應用少自由度并聯(lián)機構(gòu)，通過對其拓撲結(jié)構(gòu)進行分析，尋求運動解耦性優(yōu)良、工作空間體積大的結(jié)構(gòu)形式尤其重要。

1 機構(gòu)構(gòu)型的變異

圖1所示為文獻 ［4］中提出的3-CRC并聯(lián)機構(gòu)。動平臺的運動輸出矩陣是3條CRC支鏈的運動輸出矩陣的交集，通過改變3條運動支鏈的布置方式可以得到其他形式的3-CRC并聯(lián)機構(gòu)。將3條支鏈的驅(qū)動副由三角形分布改為正方形分布，可以得到圖2所示的3種類型的3-CRC并聯(lián)機構(gòu)。

圖2 第二類3-CRC并聯(lián)機構(gòu)簡圖

圖1 第一類3-CRC并聯(lián)機構(gòu)簡圖

各條支路運動輸出矩陣的交集為并聯(lián)機構(gòu)的運動輸出矩陣［5］。

式中:Mpa為并聯(lián)機構(gòu)動平臺的運動輸出矩陣;

M1i為第i條支路的運動輸出矩陣。

據(jù)上式，可得圖2中的3類機構(gòu)的運動輸出矩陣。

對于圖2(a)所示的機構(gòu)，其運動輸出矩陣:

對于圖2(b)所示的機構(gòu)，其運動輸出矩陣:

對于圖2(c)所示的機構(gòu)，其運動輸出矩陣:

由式(1)、(2)、(3)可見，新機構(gòu)(a)、(b)在輸出特征上滿足預期要求，機構(gòu) (c)的自由度發(fā)生了變化，增加了一個繞空間y軸的轉(zhuǎn)動自由度，且機構(gòu)在y方向的移動失去了運動輸入的約束，因此該類機構(gòu)不再具備三平移的運動特征。

2 機構(gòu)的位置分析

圖1所示3-CRC1并聯(lián)機構(gòu)的位置正解、反解方程［4］分別為

對圖2(a)所示3-CRC2機構(gòu)，建立如圖所示坐標系。支鏈A1B1C1的輸入角θ1沿Y軸負向逆時針為正，支鏈A2B2C2的輸入角θ2取沿Y軸正向逆時針為正，支鏈A3B3C3的輸入角θ3則沿Z軸正向順時針為正。桿A1B1、A2B2、A30B3的長度均為l1，B1B10、B2B20、B30C30的長度分別是l2、l3、l4。由圖可知點P坐標 (xp，yp，zp)即為動平臺在定坐標系O－XYZ中的位置坐標。據(jù)矢量關(guān)系

可得以下方程

由上述三式可得該機構(gòu)的位置正解、反解方程分別為

對比、兩式和對圖2(a)的分析可以看出，圖2(b)所示機構(gòu)具有完全相同的解，且機構(gòu)的位置解僅與三條支鏈的桿長有關(guān)，不受上下平臺尺寸的影響，因此圖2(a)、2(b)所示兩機構(gòu)在進行位置和工作空間分析時可歸為一類 (但在動力學和靜剛度性能上兩機構(gòu)會有差別)。

3 運動解耦性分析

下面根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)輸入輸出組解耦的定義［6］依據(jù)位置正解方程，分析兩類機構(gòu)的解耦特性。將兩類機構(gòu)的輸入、輸出分別用向量θ=(θ1θ2θ3)T、X= (xpypzp)T表示。并聯(lián)機構(gòu)3-CRC1，由式可知輸出組X中的xp與輸入組θ中的θ1、θ3有關(guān)，而yp只與θ1有關(guān)，zp僅與θ2有關(guān)，所以該機構(gòu)屬于輸入輸出部分組解耦。

并聯(lián)機構(gòu)3-CRC2，由式可知輸出組X中的不同元素都唯一地對應輸入組θ中的一個元素，該機構(gòu)輸入輸出完全解耦，比3-CRC1機構(gòu)具有更好的運動學性能。將式兩端分別對時間求導得機構(gòu)輸入與輸出速度向量之間的關(guān)系式，即運動Jacobian矩陣

4 機構(gòu)的工作空間分析

4.1 影響并聯(lián)機構(gòu)工作空間的因素

桿長、運動副轉(zhuǎn)角的限制以及連桿的運動干涉等［7］是影響并聯(lián)機構(gòu)工作空間大小的主要因素。影響3-CRC并聯(lián)機構(gòu)工作空間的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)是C副的移動行程和轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)角行程。據(jù)這兩類3-CRC并聯(lián)機構(gòu)的特點，若滿足C副移動行程的約束條件，轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)角約束條件自然滿足。下平臺3個支鏈C副的移動距離用si(i=1、2、3)表示，上平臺3個支鏈C副的移動距離則用di(i=1、2、3)表示，兩類機構(gòu)的C副移動行程約束條件表式如下:

根據(jù)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點和幾何關(guān)系可以得出3-CRC1并聯(lián)機構(gòu)，上下平臺各支鏈C副的位移表達式

式中:z0為點P z方向的初始坐標，θ20、θ30分別為2、3支鏈驅(qū)動副的初始位置角。

對于并聯(lián)機構(gòu)3-CRC2，上下平臺各支鏈C副的位移表達式

式中:x0、y0、z0為點P的初始坐標。

4.2 工作空間的求解

大部分并聯(lián)機構(gòu)由于其工作空間是不規(guī)則的空間幾何體，無法求出其精確的解析解，只能借助軟件近似模擬工作空間的形狀，并用數(shù)值方法求出其體積的近似解。

據(jù)前面的分析知3-CRC2并聯(lián)機構(gòu)完全解耦，位置解方程簡單，可以根據(jù)其位置正解方程，并綜合考慮影響工作空間大小的約束條件，求出以點P為參考點的動平臺工作空間的集合表達式。據(jù)式 (6)、(8)、(9)、(12)及(13)可以求出3-CRC2并聯(lián)機構(gòu)工作空間的集合表達式

由式 (14)可以得出工作空間的體積為(2l1)3或(cmax－cmin)3，據(jù)具體機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)取兩者計算結(jié)果的小值。按表1中所給的3-CRC2并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可得工作空間的體積理論值為2.7×107mm3。

用極坐標搜索法可求兩類機構(gòu)工作空間的數(shù)值解。據(jù)3-CRC并聯(lián)機構(gòu)的位置反解方程可求解工作空間。把驅(qū)動桿的轉(zhuǎn)角θ1、θ2、θ3及C副的位移si、di用動平臺點P的位置坐標 (xp，yp，zp)表示出來，若機構(gòu)符合各種約束條件，該位置點在工作空間內(nèi)，否則在工作空間外。利用MATLAB編制邊界搜索程序，可得兩類機構(gòu)的相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)及工作空間體積值，見表1。圖3為兩類機構(gòu)的工作空間三維立體圖。

表1 機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)與工作空間體積

由表1對比發(fā)現(xiàn)，3-CRC2并聯(lián)機構(gòu)工作空間體積數(shù)值計算結(jié)果為2.689 6×107mm3，與理論值的誤差是0.386 5%，證明了工作空間解析解的正確性。

由圖3可以看出兩類機構(gòu)的工作空間，3-CRC1的工作空間形狀復雜，其邊界存在很多尖角，尖角區(qū)域機構(gòu)工作性能較差，而3-CRC2的工作空間外形是規(guī)則的立方體，而且在整體尺寸相同的情況下工作空間體積值增加了1.681倍，明顯地改善了其工作性能。

圖3 工作空間三維立體圖

5 結(jié)論

并聯(lián)機構(gòu)具有復雜多樣的拓撲結(jié)構(gòu)，且運動支鏈配置方式的不同往往會引起機構(gòu)運動特性的巨大改變。通過對3-CRC機型進行構(gòu)型變異和分析，得到了具有更加優(yōu)良運動性能的機型，新機構(gòu)位置正反解方程簡單、運動完全解耦，機構(gòu)的控制方案簡單，且工作空間體積得到了成倍的提高。研究結(jié)果對該類機構(gòu)的實際應用具有重要意義。

［1］黃真，李秦川.少自由度并聯(lián)機器人機構(gòu)的型綜合原理［J］.中國科學(E輯)，2003，33(9):813－819.

［2］張彥斌，吳鑫，劉宏昭.一種新型3-CRP移動并聯(lián)機構(gòu)的設(shè)計和運動分析［J］.中國機械工程，2008，19(4): 435－438.

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［4］鄒忠月，陳海真，宋宏鵬.新型3-CRC并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)及運動解耦分析［J］.山東理工大學學報:自然科學版，2009，23(1):29－32.

［5］楊廷力.機器人機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)學［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2004.

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［7］MASORY O，WANG J.On the Accuracy of a Stewart Platform-Part II Kinematic Calibration and Compensation［C］.Proc.IEEE Conf.on Rob.1993，Aut，725－731.

Variations in Configuration and Performance Analysis of 3-CRC Parallel Mechanism

CHEN Haizhen，SONG Hongpeng
(Shandong University of Technology，Zibo Shandong 255049，China)

A new type of parallel mechanism with three-dimensional(3D)translations and movement complete decoupling was generated by changing the configuration form of the movement branched-chains of the original 3-CRC parallel mechanism，and the positional forward and inverse solution equations were derived.The analytical expression of workspace of mechanism was derived from using the complete decoupling and positional equations of the mechanism，and the decoupling performance and workspace of two types of mechanisms were compared.The excellent kinematics performance of the new mechanisms is verified，which provides a basis for further application and study.

Parallel mechanism;Mechanism configuration;Positional forward and inverse solution;Decoupling;Workspace

TH112

A

1001－3881(2014)9－021－4

10.3969/j.issn.1001－3881.2014.09.006

2013－04－22

山東省自然科學基金資助項目 (Y2006G17)

陳海真 (1963—)，女，碩士，副教授，研究方向為機構(gòu)學與創(chuàng)新設(shè)計。E－mail:chhaizhen@163.com。