王敏玲

摘 要： 概率論的難學(xué)，和教材、內(nèi)容有關(guān)。內(nèi)容抽象、教材文字過于精煉，它的“硬傷”幾乎掩蓋了自身內(nèi)容體系的邏輯性光芒，讓學(xué)生望而卻步。教師要完成傳道解惑的任務(wù)，應(yīng)從哪些方面入手呢？本文試就此問題展開討論。

關(guān)鍵詞： 概率課堂教學(xué) 傳道解惑 教材 內(nèi)容

概率論和高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)是大學(xué)里普遍開設(shè)的三門公共數(shù)學(xué)課程（但個別文科專業(yè)如外語、文學(xué)等相關(guān)專業(yè)免學(xué)），學(xué)習(xí)難度上可以說是三門課之最。分析原因，和概率論的教材、內(nèi)容有關(guān)。

先說教材。不少理科數(shù)學(xué)的教材都以文字精練、內(nèi)容準(zhǔn)確著稱，這當(dāng)中也包括概率教材。從定義到性質(zhì)，然后是例題、思考題，文字組織做到盡可能的精煉；沒有了歷史來源，看不到學(xué)派爭鋒，順帶抹殺了學(xué)生讀書的趣味，直接把他們推到照葫蘆畫瓢的題目訓(xùn)練中，固化了學(xué)生的思維。相對來說，文科的教材讀起來就有趣很多[1]。

再說內(nèi)容。從古典概率到隨機(jī)變量，從理論到現(xiàn)實(shí)規(guī)律的映射，以及后續(xù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識，可謂從簡單到深刻，環(huán)環(huán)相扣，富于邏輯性。但是概率本身也有抽象和精煉的特點(diǎn)，這給學(xué)生的自主學(xué)習(xí)設(shè)置了一道實(shí)實(shí)在在的門檻，以至于學(xué)生不得不寄希望于老師幫助排除疑難。

所以，在概率論的課堂上，我認(rèn)為教師應(yīng)擔(dān)負(fù)主導(dǎo)者的角色，做好課堂規(guī)劃，設(shè)置好留給學(xué)生的部分時間，引導(dǎo)他們閱讀概念，練習(xí)題目；這期間，教師應(yīng)完成傳道解惑的基本任務(wù)。自己的基本任務(wù)完成了，剩下的思維訓(xùn)練、舉一反三就是學(xué)生的任務(wù)了，就交給學(xué)生去完成。雖然教學(xué)改革中的一種說法是，網(wǎng)絡(luò)遠(yuǎn)程授課是一個趨勢；但是限于配套設(shè)施的不完備，目前的階段還是教師承擔(dān)著高校授課的主要角色。

那么，教師要完成傳道解惑的任務(wù)，那就是要把課講清楚，盡量用學(xué)生可接受的語言來講解。教師的解釋延伸到哪里，學(xué)生的理解和領(lǐng)悟就延伸到哪里。我對自己的授課做了歸納，建議老師們不妨從以下幾點(diǎn)入手，把知識傳授給學(xué)生的時候，傳授得“簡單”一點(diǎn)。

一、挖掘隱含信息，表述清楚，層層遞推

舉例。題目如下：概率論的課堂上現(xiàn)有120107和120108兩個班級，簡稱7班和8班；兩班的人數(shù)分別是49、46?，F(xiàn)在隨機(jī)選取20名學(xué)生，問其中只有5名7班學(xué)生的概率是多少？

我們?nèi)匀挥玫仁矫枋鲱}目信息就是：共計(jì)95名學(xué)生=49名7班+46名8班；事件A：任選20名學(xué)生=5名7班+15名8班。

問題1：事件A已經(jīng)很明確了，要考慮事件A的實(shí)現(xiàn)方式。換句話說，為了實(shí)現(xiàn)事件A，怎么選取學(xué)生？有幾種選取方式？

問題2：所有可能結(jié)果稱為樣本空間，那么樣本空間中可能的結(jié)果總數(shù)有多少種？

問題3：古典概率的計(jì)算公式是——A中包含樣本點(diǎn)的數(shù)目和樣本空間S中包含樣本點(diǎn)數(shù)目的比值，那么本題的結(jié)果是多少？

上面問題1是關(guān)鍵。所以此處只是說明問題1。其實(shí)書[1]此題前面的若干例子已經(jīng)表明：古典概率中選取對象的方式包括排列、組合兩種；切換到本題，就是要明確一點(diǎn)：選取的20名同學(xué)，是要綜合考察選取的所有排列還是簡單考慮選取組合？

實(shí)際上，為了達(dá)成事件A的具體實(shí)現(xiàn)方式有多種，比如：第一次選7班的同學(xué)，第二次8班的同學(xué)，或者相反，總之，要保證有5名7班的同學(xué)。只要講清楚，盡管具體實(shí)現(xiàn)過程多樣，但本題并不涉及具體過程的細(xì)節(jié)，只關(guān)注了不計(jì)班級次序的選取結(jié)果。也就是說，不考慮排列，只考慮組合，那么問題1的答案就很明朗了。

明確了事件A中的樣本點(diǎn)是20名學(xué)生的一個組合后，為了實(shí)現(xiàn)事件A，不管選取的班級次序，只需要選到5名7班的學(xué)生和15名8班學(xué)生。共有49名7班學(xué)生，選5名學(xué)生作為一組，這樣的組合數(shù)共有C 種方式；再給組合選入15名8班學(xué)生，8班學(xué)生有46個學(xué)生可以選擇，共有C 種選擇方式。事件A的實(shí)現(xiàn)方式可以組織為2個步驟完成，每個步驟均按組合選取。事件A描述的20名學(xué)生的取法實(shí)現(xiàn)方式有C ·C 種。

最終，我們得到選取20名學(xué)生、其中只有5名7班學(xué)生的概率是一個超幾何公式：C ·C /C 。得到這個公式的前提是7班和8班同學(xué)沒有公共子集?；氐皆瓉淼漠a(chǎn)品隨機(jī)抽取的題目，相信也能夠很快得到答案。

上述步驟，也被稱為“讀題”，就是把隱含的信息挖出來。

二、背景介紹，不可或缺

關(guān)于隨機(jī)變量的引入，教材以樣本點(diǎn)的函數(shù)作為隨機(jī)變量的定義。那么我們可以在這之前來一段背景說明會更好。

概率論最早研究的對象是古典概率。17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茨各自發(fā)明了微積分。而微積分的研究對象是變量和函數(shù)。微積分很快被用到各領(lǐng)域中，概率也不例外。概率論這門課本身就是研究描述自然界事物發(fā)展規(guī)律，同時周圍的世界變量無處不在。要研究概率論，必須研究變量。而研究變量，也就成就了對概率論這門學(xué)科的研究。引入隨機(jī)變量之后，古典變量的幾乎全部概念——條件概率、獨(dú)立性等，統(tǒng)統(tǒng)使用變量重新加以刻畫；并且引入新的概念和方法，促進(jìn)了概率論的蓬勃發(fā)展。

三、把握對比，尋找差異

在概率論中，有一個概念是“概率密度函數(shù)”，也簡稱“概率密度”。這和物理中的密度有關(guān)系嗎？引用物理學(xué)中的符號，令m：質(zhì)量，ρ：密度，v：體積，則有m=ρv。換成平面金屬薄板，則有m=ρs，其中，s：面積。由于加工工藝中的冷熱受熱不均，金屬薄板的厚薄程度不一致，造成它的密度不均勻。一點(diǎn)附近的密度越大，說明這點(diǎn)附近的質(zhì)量越大；反過來，一點(diǎn)附近的質(zhì)量越大，說明這點(diǎn)的密度也較大。這個密度，是質(zhì)量的密度。但當(dāng)時我們沒有接觸其他密度，所以簡稱為密度，不會引起混淆。

到了這里，我們得到一個公式：

p=P（x -h

在x 鄰域U（x ，h）的概率p和數(shù)值f（x ）成正比。數(shù)值f（x ）越大，x 鄰域U（x ，h）內(nèi)的概率也越大；反之亦然。那么這個f（x ）反映了概率在x 鄰域U（x ，h）的分布密集程度，可以類比的稱其為——概率的密度。

就幾何圖形而言，y=f（x）的圖像是一條連續(xù)曲線或者分段連續(xù)曲線，函數(shù)值y越大，說明相應(yīng)的自變量x處附近聚集的概率也越大；反之，函數(shù)值y越小，說明相應(yīng)的自變量x處附近聚集的概率也越小。

至此，物理中的密度，我們稱為質(zhì)量的密度。

再談?wù)勔痪S隨機(jī)變量和二維隨機(jī)變量的一點(diǎn)區(qū)別。

設(shè)X代表在校本科生的年齡，在x軸上取值。以隨便給X施加一個約束范圍，如16

到了二維連續(xù)隨機(jī)變量，概率密度f（x，y）的幾何圖像是一個曲面；同質(zhì)量的密度一樣，這是一個不真實(shí)存在、假象的曲面。每一次隨機(jī)試驗(yàn)，會得到隨機(jī)向量（X，Y）的一組取值（x，y），這組取值這次是（x ，y ，下次是（x y ，取值具有隨機(jī)性，是XOY直角坐標(biāo)平面上的一個動點(diǎn)。假定X：身高，Y：體重。隨便給（X，Y）一個約束條件，如：100

在概率論的教學(xué)中，需要細(xì)心體會，總結(jié)差異，這樣才能帶給學(xué)生左右逢源的開朗境地。

四、對隨機(jī)變量的分布進(jìn)行模擬

前面提到，概率論的教材具有抽象性。比如，在對概率密度的引入上，教材采取了先引入分布函數(shù)F（x）的定義、再借助關(guān)系式

F（x）=f（t）dt

而引入概率密度f（x）。這里，分布函數(shù)與概率密度的關(guān)系是明確的，但遺憾的是對于學(xué)生來說，寥寥數(shù)語的介紹，無異于蜻蜓點(diǎn)水，沒有清晰度可言。

如何把抽象的內(nèi)容變得具體化？可以對隨機(jī)變量的分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模擬。包括一維隨機(jī)變量、二維隨機(jī)變量、大數(shù)定律和中心極限定理等的統(tǒng)計(jì)模擬。概率的很多結(jié)論均來源于統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)是概率知識的來源之一。我們用統(tǒng)計(jì)模擬概率結(jié)論，某種程度上說，是回到“源頭”認(rèn)識概率論。

下面我們將分別模擬經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和頻率直方圖，并粗略驗(yàn)證兩者的關(guān)系。

引入問題背景。設(shè)X：表示銀行排隊(duì)的等待時間，服從參數(shù)為5的指數(shù)分布。那么隨機(jī)生成20個數(shù)據(jù)，排序并計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。EXCEl繪制的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)散點(diǎn)圖如圖1。

這是一個非單調(diào)下降的圖形。下界取0，上界取1。分布函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)均可在圖1中顯示出來。

提問：在圖一中，比較X=1和X=6，哪個點(diǎn)附近聚集的概率較大？為什么？

上述問題對應(yīng)著函數(shù)變化快慢的問題；而表征函數(shù)變化快慢的量就是斜率——導(dǎo)數(shù)，從而我們再模擬出這個“斜率”圖形。概率中與斜率對應(yīng)的就是概率密度；放到統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們可以用直方圖來模擬。采用EXCEL模擬的大致過程為：設(shè)置X軸范圍[0，14]，等分為14個小區(qū)間；計(jì)算每個小區(qū)間上數(shù)據(jù)點(diǎn)的頻率，作為縱坐標(biāo)y，以小區(qū)間的中點(diǎn)作為橫坐標(biāo)x；將x序列和y序列描點(diǎn)連線作圖即得。

對比可發(fā)現(xiàn)，圖2是圖1的導(dǎo)數(shù)的反映，盡管不夠百分百準(zhǔn)確。比如（0，1）區(qū)間內(nèi)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)F（x）的斜率相對是偏大的，吻合圖2中X在0.5處取得（0，1）區(qū)間上頻率最大值。另外，因?yàn)槭悄M指數(shù)分布，故此圖形是一條（近似）單調(diào)下降的曲線。

明顯可以看到：圖2中，所有的頻率值的總和為1，對應(yīng)了概率密度在實(shí)數(shù)軸上的累計(jì)總概率為1，即（x）dx=1。

這樣一來，學(xué)生就知道了分布函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及概率密度的由來。原來這些定義均來源于實(shí)際的統(tǒng)計(jì)勞動，而非憑空設(shè)想臆斷。

關(guān)于其他背景下的模擬，本文不再贅述。

五、引入課程設(shè)計(jì)，作為考核方式之一

目前的考核方式主要是平時成績、期末成績的加權(quán)配比計(jì)分制，缺少實(shí)踐和實(shí)踐考核方式。有必要引入課程設(shè)計(jì)，采用平時、期末、課程設(shè)計(jì)三位一體的計(jì)分制。

引入課程設(shè)計(jì)的好處，既促使了學(xué)生的自主思考，又提升了學(xué)生的寫作水平，有利于學(xué)生的均衡發(fā)展。關(guān)于課程設(shè)計(jì)的題目，考慮到概率論課程和其他橫向課程的聯(lián)系，比如與數(shù)學(xué)建模課程、統(tǒng)計(jì)課程等的聯(lián)系，可以寫將概率論的內(nèi)容作為數(shù)學(xué)建模的討論對象解題，或者將概率論與統(tǒng)計(jì)的聯(lián)系作為討論對象。另外，使用EXCEL軟件模擬概率論的結(jié)論也可以納入課程設(shè)計(jì)題目范疇，不過這類題目需要以學(xué)生對EXCEL軟件能夠靈活使用為前提，這不屬于概率論課程的教學(xué)內(nèi)容，所以能夠鍛煉學(xué)生的課外實(shí)踐能力，給那些感興趣的學(xué)生提供一次練習(xí)的機(jī)會。

參考文獻(xiàn)：

[1]張國楚.大學(xué)文科數(shù)學(xué)（第二版）.高等教育出版社，2007（3）.

[2]盛驟等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）.高等教育出版社，2008（6）：12.

[3]徐稼紅.高中數(shù)學(xué)新課程叢書Excel、word與數(shù)學(xué)教學(xué).江蘇教育出版社，2006（4）.

廣東省普通高校專業(yè)綜合改革——信息與計(jì)算科學(xué)資助項(xiàng)目。