(電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院,四川成都611731)

0 引言

極化敏感陣列又被稱為矢量陣列,它可以獲取空間電磁信號(hào)的極化信息,因而具有比傳統(tǒng)標(biāo)量陣列更優(yōu)越的系統(tǒng)性能[1]。近年來,極化敏感陣列自適應(yīng)波束形成吸引了大批學(xué)者的關(guān)注,它可以同時(shí)利用期望信號(hào)和干擾信號(hào)在空域和極化域中的特征差異,實(shí)現(xiàn)極化域-空域聯(lián)合的自適應(yīng)波束形成。文獻(xiàn)[2]分析了完全極化情形下極化敏感陣列的濾波性能;文獻(xiàn)[3]討論了參數(shù)估計(jì)誤差對(duì)極化濾波性能的影響?，F(xiàn)如今常見的針對(duì)極化敏感陣列的信號(hào)處理大多是基于復(fù)數(shù)的長(zhǎng)矢量方法,它將極化敏感陣列所有分量的輸出數(shù)據(jù)排列成一個(gè)長(zhǎng)矢量,破壞了陣元各分量輸出信號(hào)之間固有的正交特性,這也在一定程度上降低了極化敏感陣列的優(yōu)越性能。作為復(fù)數(shù)在四維空間上的直接擴(kuò)展,四元數(shù)已經(jīng)成為了多維信號(hào)處理的一個(gè)重要工具[4]。四元數(shù)的正交結(jié)構(gòu)能夠很好地保持矢量陣元各分量之間的正交特性,因而得到了廣泛的應(yīng)用。現(xiàn)有的基于四元數(shù)信號(hào)模型的極化敏感陣列信號(hào)處理主要在信號(hào)波達(dá)方向和極化參數(shù)估計(jì)方面,對(duì)其在濾波方面的討論甚少。文獻(xiàn)[5]提出了基于四元數(shù)的MUSIC算法,文獻(xiàn)[6]提出了雙四元數(shù)的方法用于MUSIC參數(shù)估計(jì)。文獻(xiàn)[7]在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上給出了一種降維的四元數(shù)MUSIC算法,它們都具有比傳統(tǒng)的長(zhǎng)矢量方法更優(yōu)的參數(shù)估計(jì)性能。在波束形成方面,文獻(xiàn)[8]討論了四元數(shù)復(fù)數(shù)形式的最小均方算法,文獻(xiàn)[9]基于四元數(shù)的信號(hào)模型提出了四元數(shù)最小方差無失真響應(yīng)(Q-MVDR)算法,它們都獲得了良好的濾波性能。本文基于文獻(xiàn)[9]的思想,將最大信號(hào)干擾噪聲比準(zhǔn)則應(yīng)用于四元數(shù)極化敏感陣列濾波,求得了四元數(shù)最優(yōu)權(quán)向量并通過計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了文中方法的正確性。

1 四元數(shù)信號(hào)模型

1.1 四元數(shù)

四元數(shù)可以看作是復(fù)數(shù)在四維空間上的直接擴(kuò)展,我們常用的是Hamilton四元數(shù)。一個(gè)四元數(shù)q由四個(gè)分量組成(一個(gè)實(shí)部和三個(gè)虛部),可以表示為

式中,i,j,k都是虛部單位,a,b,c,d為實(shí)數(shù),且滿足

四元數(shù)具有許多特性[10-11],大多數(shù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)可以直接擴(kuò)展到四元數(shù),但是四元數(shù)乘法不滿足交換律,對(duì)于兩個(gè)四元數(shù)q1,q2有

下面列出一些常用的四元數(shù)的性質(zhì)：

一個(gè)四元數(shù)q可以唯一地表示成兩個(gè)復(fù)數(shù)的形式：

式中,q1,q2是兩個(gè)復(fù)數(shù)且q1=a+jc,q2=b+jd。本文后面將用四元數(shù)的這種分解形式來表示四元數(shù)信號(hào)模型。

1.2 四元數(shù)信號(hào)模型

極化敏感陣列由相互正交的M個(gè)電偶極子對(duì)構(gòu)成,陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示,兩個(gè)正交的電偶極子分別沿x軸和y軸方向放置,可以分別接收來自x方向和y方向的電場(chǎng)分量。各個(gè)陣元沿y軸排列構(gòu)成均勻線陣,陣元間距為d,這種陣列形式也被稱為兩分量陣列。

圖1 極化敏感陣列示意圖

假設(shè)空間有一個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)入射到陣列上,信號(hào)的復(fù)包絡(luò)為s(t),入射俯仰角為θ,方位角為φ,入射信號(hào)為完全極化的電磁波,且極化相角和極化相位差分別為γ,η,選取第一個(gè)陣元為相位參考陣元?jiǎng)t第m個(gè)陣元接收到的信號(hào)的兩個(gè)分量x m1(t),x m2(t)可以表示為

式中,a sm(θ,φ)為由第m個(gè)陣元相對(duì)參考陣元的空間相位差引起的,a p1(θ,φ,γ,η),a p2(θ,φ,γ,η)分別為兩分量陣列的極化導(dǎo)向矢量,且有

為了保持各陣元輸出信號(hào)之間固有的正交特性,構(gòu)造四元數(shù)信號(hào)模型,把兩分量陣列輸出復(fù)數(shù)形式的兩路信號(hào)通過以下方式組合為一路信號(hào)：

式中,P(θ,φ,γ,η)為四元數(shù)形式的極化導(dǎo)向矢量。把四元數(shù)形式的信號(hào)模型推廣到陣列上,可得M元陣列的接收信號(hào)：

式中,a s(θ,φ)=[1,e-jφ,…,e-j(M-1)φ]T為陣列的空間導(dǎo)向矢量[12]。當(dāng)空間有K個(gè)信號(hào)入射且考慮高斯白噪聲的影響：

式中 ,d k=P k(θ,φ,γ,η)a sk(θ,φ)為四元數(shù)形式的極化域-空域聯(lián)合導(dǎo)向矢量;N(t)=N1(t)+iN2(t)為四元數(shù)形式的高斯白噪聲,其中N1(t)為x分量的復(fù)白噪聲矢量,N2(t)為y分量的復(fù)白噪聲矢量。

2 基于四元數(shù)的極化陣列波束形成

假設(shè)空間有一個(gè)期望信號(hào)和與之不相關(guān)的干擾信號(hào)入射,期望信號(hào)s1(t)波達(dá)角為(θ1,φ1),極化參量為(γ1,η1);干擾信號(hào)s2(t)波達(dá)角和極化參量分別為(θ2,φ2),(γ2,η2),則陣列接收信號(hào)的四元數(shù)模型表示為

陣列濾波后的輸出信號(hào)y(t)為接收信號(hào)矢量X(t)的四元數(shù)加權(quán)求和,即

式中,w為M維的四元數(shù)加權(quán)矢量,符號(hào){?}表示四元數(shù)共軛轉(zhuǎn)置。為了獲得較好的濾波性能,采用最大信號(hào)干擾噪聲比(SINR)準(zhǔn)則來求得最優(yōu)權(quán)矢量。輸出信干噪比為

Rs和Rin分別為期望信號(hào)和干擾加噪聲的四元數(shù)協(xié)方差矩陣,Ps為期望信號(hào)的功率。又因?yàn)槠谕盘?hào)和干擾不相關(guān)可得輸入信號(hào)的四元數(shù)協(xié)方差矩陣為

可見,在入射信號(hào)確定的環(huán)境下,輸出SINR僅是權(quán)矢量w的函數(shù),為了求得w的最優(yōu)解使輸出SINR最大,采用與復(fù)數(shù)最優(yōu)權(quán)矢量相類似的推導(dǎo)方法。將干擾加噪聲協(xié)方差矩陣Rin進(jìn)行分解Rin=R1/2inR1/2in,然后將問題轉(zhuǎn)化為求四元數(shù)Hermitian矩陣的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量即為最優(yōu)權(quán)矢量。利用四元數(shù)梯度操作及運(yùn)算法則[13]可以解得四元數(shù)最優(yōu)權(quán)矢量的表達(dá)式為

可見基于最大信干噪比準(zhǔn)則的最優(yōu)權(quán)矢量需要根據(jù)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣Rin求得,根據(jù)矩陣求逆引理可得

可以證明如下：

3 仿真分析

為了驗(yàn)證基于四元數(shù)的極化敏感陣列的濾波性能,將其與傳統(tǒng)的長(zhǎng)矢量濾波方法進(jìn)行對(duì)比。

(1)采用8陣元均勻線陣,陣元間d=λ/2,為了簡(jiǎn)化分析假設(shè)所有信號(hào)入射方位角φ=90°,期望 信號(hào)入射俯仰角θ1=30°,極化參量(γ1,η1)=(10°,90°),SNR=5d B,干擾信號(hào)極化相位差η2=90°,INR=20 dB,當(dāng)干擾入射角度θ2從0°到60°變化時(shí),圖2給出了不同的干擾極化相角γ2與輸出SINR的關(guān)系。

圖2 干擾角度和極化參量對(duì)SINR的影響

從圖2可以看出,四元數(shù)濾波方法與長(zhǎng)矢量方法具有相近的濾波性能。當(dāng)干擾信號(hào)到達(dá)角與期望信號(hào)間距很大Δθ≥10°時(shí),利用空域?yàn)V波就能達(dá)到很好的濾波效果,極化參量影響不大;當(dāng)干擾信號(hào)到達(dá)角與期望信號(hào)角度相近Δθ＜10°時(shí),空域?yàn)V波失效這時(shí)可以利用極化差異來完成濾波;特別當(dāng)γ2=90°時(shí)即使干擾信號(hào)從期望信號(hào)方向入射,即θ2=30°也能很好的濾波;只有當(dāng)干擾信號(hào)到達(dá)角和極化參量與期望信號(hào)參量完全一致時(shí)(θ2=30°,γ2=10°)濾波性能嚴(yán)重下降,此時(shí)算法失效。

考慮四元數(shù)方法與長(zhǎng)矢量方法濾波的計(jì)算量,從自相關(guān)矩陣R X的估計(jì)^R X入手,參考文獻(xiàn)[5]的分析方法可得一次采樣快拍下四元數(shù)方法需要4M2個(gè)實(shí)數(shù)存儲(chǔ)單元,而長(zhǎng)矢量方法需要8M2個(gè)實(shí)數(shù)存儲(chǔ)單元。對(duì)于N次快拍四元數(shù)方法最后需要4N2次實(shí)數(shù)除法,而長(zhǎng)矢量方法需要8N2次實(shí)數(shù)除法。由此可見,與長(zhǎng)矢量方法相比在相同的濾波性能下,四元數(shù)濾波方法減少了一半的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量和除法運(yùn)算量,這樣可以加快數(shù)據(jù)處理速度以滿足實(shí)時(shí)性的要求。

(2)圖3給出了四元數(shù)方法和長(zhǎng)矢量方法輸出SINR隨陣列指向誤差的影響。期望信號(hào)入射俯仰角θ1=20°,極化參量(γ1,η1)=(30°,90°),SNR=15 dB,干擾信號(hào)入射俯仰角θ2=50°,極化參量(γ2,η2)=(60°,90°),INR=20 dB,指向誤差為-8°～8°。從圖中可以看出四元數(shù)方法受指向誤差的影響程度要低于長(zhǎng)矢量的方法,這是因?yàn)樗脑獢?shù)的四維超復(fù)數(shù)正交結(jié)構(gòu)保持了陣元各分量之間固有的正交特性,提高了陣列對(duì)指向誤差的穩(wěn)健特性。

圖3 指向誤差對(duì)輸出SINR的影響

4 結(jié)束語

本文基于四元數(shù)信號(hào)模型將最大信號(hào)干擾噪聲比準(zhǔn)則應(yīng)用于波束形成獲得了四元數(shù)最優(yōu)權(quán)向量,完成了極化敏感陣列的濾波?；谒脑獢?shù)的方法保持了陣元各分量之間固有的正交特性,當(dāng)陣列存在指向誤差時(shí),具有比傳統(tǒng)復(fù)數(shù)長(zhǎng)矢量方法更好的穩(wěn)健特性。計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了文中方法的正確性。

[1]莊釗文.極化敏感陣列信號(hào)處理[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社,2006：30-80.

[2]徐振海,王雪松,肖順平,等.極化敏感陣列濾波性能分析：完全極化情形[J].電子學(xué)報(bào),2004,32(8)：1310-1313.XU Zhen-hai,WANG Xue-song,XIAO Shun-ping,et al.Filtering Performance of Polarization Sensitive Array：Completely Polarized Case[J].Acta Electronica Sinica,2004,32(8)：1310-1313.(in Chinese)

[3]章力強(qiáng),陳信,李相平,等.參數(shù)估計(jì)誤差對(duì)極化濾波性能影響分析[J].雷達(dá)科學(xué)與技術(shù),2012,10(2)：198-202.ZHANG Li-qiang,CHEN Xin,LI Xiang-ping,et al.Impact of Parameter Estimate Error on Polarization Filtering Performance[J].Radar Science and Technology,2012,10(2)：198-202.(in Chinese)

[4]BüLOW T,SOMMER G.Hypercomplex Signals-A Novel Extension of the Analytic Signal to the Multidimensional Case[J].IEEE Trans on Signal Processing,2001,49(11)：2844-2852.

[5]MIRON S,LE BIHAN N,MARS J I.Quaternion-MUSIC for Vector-Sensor Array Processing[J].IEEE Trans on Signal Processing,2006,54(4)：1218-1229.

[6]LE BIHAN N,MIRON S,MARS J I.MUSIC Algorithm for Vector-Sensors Array Using Biquaternions[J].IEEE Trans on Signal Processing,2007,55(9)：4523-4533.

[7]李京書,陶建武.信號(hào)DOA和極化信息聯(lián)合估計(jì)的降維四元數(shù)MUSIC方法[J].電子與信息學(xué)報(bào),2011,33(1)：106-111.

[8]常文秀,陶建武.四元數(shù)復(fù)數(shù)形式的最小均方算法[J].信號(hào)處理,2011,27(10)：1515-1519.

[9]TAO Jian-wu,CHANG Wen-xiu.The MVDR Beamformer Based on Hypercomplex Processes[C]∥2012 IEEE International Conference on Computer Science and Electronic Engineering,Hangzhou,China：[s.n.],2012：273-277.

[10]HAMILTON W R.On Quaternions[M].Royal Irish Academy,1843.

[11]TOOK C C,MANDIC D P.A Quaternion Widely Linear Adaptive Filter[J].IEEE Trans on Signal Processing,2010,58(8)：4427-4431.

[12]何子述,夏威.現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理及其應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社,2010：301-310.

[13]MANDIC D P,JAHANCHAHI C,TOOK C C.A Quaternion Gradient Operator and Its Applications[J].IEEE Signal Processing Letters,2011,18(1)：47-50.