成凱歌

(浙江旅游職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部, 浙江 杭州 311231)

函數(shù)迭代的研究至今已經(jīng)獲得了許多重要成果[1-10].在對(duì)自然界的觀察和科學(xué)技術(shù)的實(shí)驗(yàn)研究中，人們常常遇到這樣的系統(tǒng)：系統(tǒng)在初始時(shí)刻t0狀態(tài)可以決定以后的時(shí)刻t的狀態(tài)，這樣，時(shí)刻t的狀態(tài)Xt便可看成時(shí)刻t0狀態(tài)Xt0和差t-t0的函數(shù)Xt=F(t-t0,Xt0).要是每隔一個(gè)單位時(shí)間對(duì)系統(tǒng)作一次觀測(cè)，則第n+1次觀測(cè)到的狀態(tài)Xtn+1=F(tn+1-tn,Xtn).由于tn+1-tn=1，所以Xtn+1=F(Xtn)，這里F(X)=F(1,X).于是Xtn+1=Fn+1(Xt0).這說明通過對(duì)F的迭代研究可以從t0時(shí)刻的狀況分析系統(tǒng)在今后tn時(shí)刻的狀況.另外計(jì)算機(jī)技術(shù)離不開迭代理論的指導(dǎo)，因?yàn)榈钊菀自谟?jì)算機(jī)上進(jìn)行[11].同時(shí)迭代還是一個(gè)普遍的現(xiàn)象，在X-射線的透射，流體的滲流等過程中都包含了迭代.在數(shù)學(xué)中，一切遞推關(guān)系都是迭代，等差數(shù)列和等比數(shù)列就是迭代的產(chǎn)物[12].當(dāng)自映射是嚴(yán)格單調(diào)時(shí)，其迭代情況最為簡單，對(duì)于非單調(diào)自映射的迭代就會(huì)變得復(fù)雜起來了.本文將討論一類有無窮多個(gè)非單調(diào)點(diǎn)的迭代問題，即有常值區(qū)間[13]的遞增連續(xù)函數(shù)的迭代問題.

1 相關(guān)概念

在以下討論中，設(shè)E=[0,1],k表示給定的任一非負(fù)整數(shù)，α,β∈(0,1)且α<β,F:E→E是一個(gè)連續(xù)自映射.F|S表示F在S上的限制,其中S?E.

定義1.1[14]記

F0(x)=x,Fk(x)=F(Fk-1(x)),

?x∈E,k=1,2,…,

則Fk(x)對(duì)一切非負(fù)整數(shù)k都有定義.Fk稱為F在E上的k次迭代函數(shù).其中k稱為迭代指數(shù).

定義1.2[14]設(shè)x0∈E滿足F(x0)=x0,則稱x0是F的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)或者稱為一階周期點(diǎn).

明顯地，若x0是F的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則x0必是Fk的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

定義1.3[15]設(shè)t0∈E是E的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，如果存在t0的某個(gè)領(lǐng)域U(t0)，使得F在U(t0)上嚴(yán)格單調(diào)，則t0稱為F的單調(diào)點(diǎn).否則，t0稱為F的非單調(diào)點(diǎn).

定義1.4假如F在[α,β]上是一個(gè)常值函數(shù)，則稱[α,β]是F的一個(gè)常值區(qū)間，或稱F在[α,β]上是常值.

由定義可得，若[α,β]為F的一個(gè)常值區(qū)間，那么任意x∈[α,β]，x一定是F的非單調(diào)點(diǎn).因此有常值區(qū)間的自映射必有無窮多個(gè)非單調(diào)點(diǎn).

2 討論過程

定義在E上并且以[0,α]和[β,1]為常值區(qū)間，[α,β]為嚴(yán)格遞增區(qū)間的連續(xù)自映射全體記為C([0,α];[β,1]).為了便于表述，再令:=C([0,α];[β,1]);C1([0,α];[β,1])={F:F∈,F(β)≤α}；C2([0,α];[β,1])={F:F∈,F(α)≤α

定理2.1設(shè)F∈C(E),那么:1)Fk是E上的遞增函數(shù);2)Fk∈C(E).

證明1) 因?yàn)镕∈C(E)是一個(gè)遞增函數(shù)，而遞增函數(shù)經(jīng)過迭代運(yùn)算之后依然是遞增的，所以1)的結(jié)論是明顯的.

為了證明2)的結(jié)論，分以下幾種情況進(jìn)行：

(i) 若F(x)=c,?x∈E，則Fk(x)=c,?x∈E，自然地Fk∈C(E).

(ii) 設(shè)F∈C([0,α];[β,1])并設(shè)k=i時(shí)結(jié)論成立.即Fi∈C(E).假如Fi(x)=c,?x∈E，由

Fi+1(x)=c, ?x∈E,

得到Fi+1∈C(E).假如Fi∈C([0,αk];[βk,1])，其中αi,βi∈E并且αi<βi以及α≤αi,βi≤β.如果Fi(αi)≥β或者Fi(βi)≤α，那么

Fi+1(x)=F(β), ?x∈E,

Fi+1(x)=F(α), ?x∈E,

必有其中一式成立.從而Fi+1∈C(E).如果α≤Fi(αi)

αi+1<βi+1,Fi(αi+1)=α,Fi(βi+1)=β.

并且當(dāng)x∈[0,αi+1]時(shí)，F(xiàn)i(x)≤α，當(dāng)x∈(αi+1,βi+1)時(shí)，αβ.因此

Fi+1∈C([0,αi+1];[βi+1,1]),

即有Fi+1∈C(E).類似地可得，當(dāng)α≤Fi(αi)<β

由上述定理的證明過程即可得到如下的推論.

推論2.1設(shè)F∈C([0,α];[β,1])，k為一任意正整數(shù)，記Fk∈C([0,αk];[βk,1]),那么:1) [0,α]?[0,αk],[β,1]?[βk,1];2)Fk(αk)≥F(α),Fk(βk)≤F(β);3) 當(dāng)k≥2時(shí)，αk-1≤αk,βk≤βk-1,及4) 當(dāng)k≥2時(shí)，F(xiàn)k(αk)≥Fk-1(αk-1),Fk(βk)≤Fk-1(βk-1).這里記α1=α,β1=β.

推論2.1表明當(dāng)F∈C([0,α];[β,1])時(shí)，F(xiàn)經(jīng)過迭代之后它的常值區(qū)間不減.

定理2.2設(shè)F∈C1([0,α];[β,1]),那么當(dāng)正整數(shù)k≥2時(shí)，F(xiàn)k是E上的常值函數(shù).

證明對(duì)?x∈E，有F(x)∈[0,α].因此有F2(x)=F(α)對(duì)?x∈E成立.從而有k≥2時(shí)，F(xiàn)k是E上的常值函數(shù).

定理2.3設(shè)F∈C2([0,α];[β,1]),那么當(dāng)正整數(shù)k≥2時(shí)，有:

1) 若F在區(qū)間(α,β)內(nèi)沒有不動(dòng)點(diǎn)并且F(α)<α，則存在正整數(shù)k0，使得當(dāng)k≤k0時(shí)，F(xiàn)k∈C([0,αk-1];[β,1])，其中αk-1滿足Fk-1(αk-1)=α,α0=α；當(dāng)k>k0時(shí)，F(xiàn)k是E上的常值函數(shù).

3) 若F(α)=α,則對(duì)任意正整數(shù)k，有Fk∈C2([0,α];[β,1]).

證明1) 因?yàn)镕在區(qū)間(α,β)內(nèi)沒有不動(dòng)點(diǎn)，從而ξ=F(α)是F的唯一不動(dòng)點(diǎn)并且

因此必存在正整數(shù)k1，使得當(dāng)k≤k1時(shí)，F(xiàn)k(β)>α以及?αk∈(α,β)使得Fk(αk)=α.當(dāng)k>k1時(shí)，F(xiàn)k(β)≤α.因此當(dāng)k-1≤k1時(shí)有

Fk-1([0,αk-1])?[0,α],

Fk-1([αk-1,1])?[α,β].

因此對(duì)?x∈[0,αk-1]有

Fk(x)=ξ<α<αk-1,

而Fk在[αk-1,β]上嚴(yán)格遞增，對(duì)?x∈[β,1]有

Fk(x)=Fk(β)>β.

所以當(dāng)k≤k1+1時(shí)，F(xiàn)k∈C([0,αk];[β,1]).因?yàn)镕k1+1(E)?E,所以當(dāng)k>k1+1時(shí)，對(duì)?x∈E有Fk(x)=F(α).因此令k0=k1+1就得要證結(jié)論.

2) 由假設(shè)可得存在α1∈(α,ξ)使得F(α1)=α.因?yàn)?/p>

F2(α1)=F(α)<α<ξ=F2(ξ).

所以又存在α2∈(α1,ξ)使得F2(α2)=α.如存在αi∈(αi-1,ξ)使得Fi(αi)=α,那么由

Fi+1(αi)=F(α)<α<ξ=Fi+1(ξ)

可知存在αi+1∈(αi,ξ)使得Fi+1(αi+1)=α.由歸納法可得{αk}滿足

αk∈(αk-1,ξ),Fk(αk)=α.

3) 因?yàn)镕(α)=α，所以對(duì)?x∈[0,α]，都有Fk(x)=α；對(duì)?x∈(α,1]，都有F(x)∈(α,β).從而Fk|[α,β]嚴(yán)格遞增,Fk|[β,1]是常數(shù)并且ξ

定理2.4設(shè)F∈C3([0,α];[β,1])，記ξ1=min{x:F(x)=x,x∈[α,β]},ξ2=max{x:F(x)=x,x∈[α,β]},那么當(dāng)正整數(shù)k≥2時(shí)有:

3) 當(dāng)F(α)=α,F(β)=β時(shí)，則Fk∈C3([0,α];[β,1]);

證明因?yàn)镕在[α,β]上必有不動(dòng)點(diǎn)，所以ξ1,ξ2都存在.

1) 由假設(shè)可得ξ2=β,所以

Fk(x)=β,?x∈[β,1].

又由假設(shè)可得?α1∈(α,ξ1)使得F(α1)=α.因?yàn)?/p>

F2(α1)=F(α)<α<ξ1=F2(ξ1),

所以又存在α2∈(α1,ξ1)使得F2(α2)=α.如果存在αi∈(αi-1,ξ1)使得Fi(αi)=α.那么由

Fi+1(αi)=F(α)<α<ξ1=Fi+1(ξ1)

2) 因?yàn)镕(α)<α,F(β)>β，所以α<ξ1≤ξ2<β.完全類似于1)中歸納法的證明可得存在αk,βk滿足{αk}嚴(yán)格遞增有界，{βk}嚴(yán)格遞減有界，并且

Fk(αk)=α,Fk(βk)=β,

α<αk<ξ1≤ξ2<βk<β.

完全類似于定理2.3條件2)中的證明可得

除此之外，當(dāng)x∈[0,αk-1]時(shí)，F(xiàn)k-1(x)≤α；當(dāng)x∈(αk-1,βk-1)時(shí)，α

3) 當(dāng)x∈[0,α]時(shí)，F(xiàn)k-1(x)≤α，當(dāng)x∈(α,β)時(shí)，α

4) 類似于1)中所用歸納法可得存在{βk}關(guān)于k嚴(yán)格遞減并且

βk∈(ξ2,βk-1),Fk-1(βk-1)=β.

Fk(x)=F(β)≥β≥βk-1.

當(dāng)x∈(α,βk-1]時(shí)，α

定理2.5設(shè)F∈C4([0,α];[β,1])，那么Fk∈C4([0,α];[β,1]).

證明由F∈C4([0,α];[β,1])可得當(dāng)x∈[α,β]時(shí)，總有Fk-1(x)∈(α,β).從而Fk|[α,β]是嚴(yán)格遞增并且α

定理2.6設(shè)F∈C5([0,α];[β,1]),那么當(dāng)正整數(shù)k≥2時(shí)有:

1) 若F在區(qū)間(α,β)內(nèi)沒有不動(dòng)點(diǎn)并且F(β)>β，則存在正整數(shù)k0，使得當(dāng)k≤k0時(shí)，F(xiàn)k∈C([0,α];[βk-1,1])，其中βk-1滿足Fk-1(βk-1)=β,β0=β；當(dāng)k>k0時(shí)，F(xiàn)k是E上的常值函數(shù);

3) 若F(β)=β,則對(duì)任意正整數(shù)k，有Fk∈C2([0,α];[β,1]).

證明1) 因?yàn)镕在區(qū)間(α,β)內(nèi)沒有不動(dòng)點(diǎn)，從而ξ=F(β)是F的唯一不動(dòng)點(diǎn)并且

因此必存在正整數(shù)k1，使得當(dāng)k≤k1時(shí)，F(xiàn)k(α)<β以及?βk∈(α,β)使得Fk(βk)=β.當(dāng)k>k1時(shí)，F(xiàn)k(α)≥β.因此當(dāng)k-1≤k1時(shí)有

Fk-1([βk-1,1])?[β,1],

Fk-1([0,βk-1])?[α,β].

因此對(duì)?x∈[βk-1,1]有

Fk(x)=ξ>β>βk-1,

而Fk在[α,βk-1]上嚴(yán)格遞增，對(duì)?x∈[0,α]有

Fk(x)=Fk(α)>α.

所以當(dāng)k≤k1+1時(shí)，F(xiàn)k∈C([0,α];[βk,1]).因?yàn)镕k1+1(E)?E,所以當(dāng)k>k1+1時(shí)，對(duì)?x∈E,有Fk(x)=F(β).因此令k0=k1+1就得要證結(jié)論.

2) 由假設(shè)可得?β1∈(ζ,β)使得F(β1)=β.因?yàn)?/p>

F2(β1)=F(β)>β>ζ=F2(ζ).

所以又存在β2∈(ζ,β1)使得F2(β2)=β.如存在βi∈(ζ,βi-1)使得Fi(βi)=β,那么由

Fi+1(βi)=F(β)>β>ζ=Fi+1(ζ)

可知存在βi+1∈(ζ,βi)使得Fi+1(βi+1)=β.由歸納法可得{βk}滿足

βk∈(ζ,βk-1),Fk(βk)=β,

3) 因?yàn)镕(β)=β，所以對(duì)?x∈[β,1]，都有Fk(x)=β；對(duì)?x∈[0,β)，都有F(x)∈(α,β).從而Fk|[α,β]嚴(yán)格遞增,Fk|[0,α]是常數(shù)并且Fk(α)>α.由此得Fk∈C2([0,α];[β,1]).

定理2.7設(shè)F∈C6([0,α];[β,1]),那么當(dāng)k≥2時(shí)，F(xiàn)k是E上的常值函數(shù).

證明注意到F(β)是F的唯一不動(dòng)點(diǎn)，并且對(duì)任意x∈E，有F(x)∈[β,1].因此有F2(x)=F(β)對(duì)?x∈E成立.從而有k≥2時(shí)，F(xiàn)k是E上的常值函數(shù).

[1] Abel N H. Oeuvres Completes[M]. Christiania,1881,II:30-47.

[2] B?dewadt U T. Zur iteration reeller funktionen[J]. Math Z,1944,49:90-523.

[3] Zdun M C. On the iteration of the hat-functions[J]. Aequationes Math,1977,16:181-182.

[4] Blokh A, Coven E, Misiurewicz M, et al. Roots of continuous piecewise monotone maps of an interval[J]. Acta Math Univ Comenian,1991,60:2-9.

[5] Targonski G. Progress of iteration theory since 1981[J]. Aequationes Math,1995,50:50-72.

[6] Bogatyi S. On the nonexistence of iterative roots[J]. Topology Appl,1997,76(2):93-122.

[7] Jarczyk W, Powierza T. On the smallest set-valued iterative roots of bijections[J]. Inter J Bifur Chaos Appl Sci Engrg,2003,13(7):1887-1898.

[8] Shi Y Y. Convergence of fixed point iteration for modified restoration problems[J]. J Math Imaging Vision,2008,32(1):31-39.

[9] Marchenkov S S. Iteration operators on a set of continuous functions of Baire space[J]. Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics,2011,35(4):184-188.

[10] Krassowska D, Zdun M C. On iteration group of diffeomorphisms with two fixed points[J]. J Math Anal Appl,2011,382(1):204-213.

[11] 張景中，熊金城. 函數(shù)迭代與一維動(dòng)力系統(tǒng)[M]. 成都:四川科技教育出版社,1992:1-6.

[12] 張偉年. 動(dòng)力系統(tǒng)基礎(chǔ)[M]. 北京：高等教育出版社,2001:1-4.

[13] 張廣遠(yuǎn). 一類線段自映射的共軛與迭代根[J]. 數(shù)學(xué)年刊,1992,A13(4):473-478.

[14] Kuczma M, Choczewski B, Ger R. Iterative Functional Equations[M]. Cambridge:Cambridge Univ Press,1990.

[15] 張景中,楊路. 論逐段單調(diào)連續(xù)函數(shù)的迭代根[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1983,26(4):398-412.