雷騰飛，陳 恒，王 榮，任林政，孟 敬

（西京學院研究生部,陜西 西安 710123）

變形Rikitake雙盤耦合發(fā)電機系統(tǒng)的動力學分析與控制

雷騰飛，陳 恒，王 榮，任林政，孟 敬

（西京學院研究生部,陜西 西安 710123）

以Rikitake雙盤發(fā)電機為研究對象，結(jié)合工程中的機電系統(tǒng)，重寫該系統(tǒng)的數(shù)學模型．驗證了在一定范圍與外部輸入條件下雙盤發(fā)電機會產(chǎn)生混沌與極限環(huán)現(xiàn)象．利用極點配置方法對系統(tǒng)的混沌運動進行控制, 因此具有很好的動態(tài)響應特性．仿真結(jié)果驗證了理論分析的正確性與控制方法的有效性．

雙盤發(fā)電機；混沌控制；狀態(tài)反饋

1 引 言

上世紀60年代，lorenz在天氣預報的模型中發(fā)現(xiàn)了“蝴蝶效應”，從此許多科研工作者走進了非線性研究領域中有關(guān)混沌的研究[1].

混沌現(xiàn)象在工程中普遍存在,尤其在電機系統(tǒng)中[2-13].1958年Rikitake首先提出的雙盤發(fā)電機的模型曾作為最早解釋地磁的起源與地磁場長期變化中極性反轉(zhuǎn)現(xiàn)象的模型，為此地磁理論中需要且最難說明的問題得以解決.文[14]驗證了該模型含有豐富的混沌現(xiàn)象.近幾年，雙盤發(fā)電機的模型已應用到工程中，文[15]對該系統(tǒng)的混沌運動進行了分析，且采用比例微分方法控制，但很難在工程與實際系統(tǒng)中實現(xiàn).自1990年Ott、Grebogi和Yorker提出控制混沌的思想以來，混沌控制的方法與理論不斷涌現(xiàn).現(xiàn)階段對于永磁同步電機的控制方法已經(jīng)有很多報道與研究[10-13]，但對于具體雙盤發(fā)電機混沌系統(tǒng)甚至變形的雙盤發(fā)電機有效的控制方法報道卻還不多，在眾多的控制方法中采用一種有效的控制方法，使系統(tǒng)避免混沌產(chǎn)生顯的極為重要且具有現(xiàn)實意義[14].

本文針對雙盤發(fā)電機混沌系統(tǒng)，結(jié)合工程中機電耦合系統(tǒng)，重新建立變形雙盤耦合發(fā)電機模型.利用相位圖、分岔圖，Lyapunov指數(shù)等分析了該混沌系統(tǒng)的基本動力學特性，驗證了其豐富的混沌動力學行為；在考慮控制方法能夠有效的應用到工程及實際背景下，本文采用極點配置控制方法對變形耦合發(fā)電機混沌運動進行了控制，并通過仿真對控制策略進行了驗證.

2 變形雙盤耦合發(fā)電機的數(shù)學模型與混沌特性

地磁學家Rikitake在1958年首次提出了雙盤發(fā)電機的模型，雙盤發(fā)電機由兩個圓盤與兩個耦合在一起的線圈組成.該模型的無量綱方程[15]

其中x1, x2表示無量綱的電流，x3表示兩圓盤的角速度，μ和σ表示正的可調(diào)參數(shù).

結(jié)合雙盤發(fā)電系統(tǒng)，也為了研究工程中的耦合發(fā)電機，重新改寫得到新的模型：

a和b、c、d表示正的可調(diào)參數(shù).參數(shù)a=2，b=3，c=1，d=0.75，得到系統(tǒng)的吸引子，如圖1.

2.1 耗散性

變形雙盤耦合發(fā)電機系統(tǒng)的耗散性，由系統(tǒng)（2）導出：

2.2 平衡點的穩(wěn)定性

設系統(tǒng)(1)的平衡點為E0=(x0,y0,z0)為了方便書寫，將平衡點分為兩部分E10=(x10,y10,z10)，E20=(x20,y20,z20)=(0,0,0)

為了分析平衡點的穩(wěn)定性[15]，可以得到平衡點E0的Jacobian矩陣：

將平衡點E0=(x10,x20,x30)代入式子（3） ，求出在此平衡點處的Jacobian矩陣的特征方程：

則求出三個根，有兩個根是焦結(jié)點與一個鞍結(jié)點.根據(jù)穩(wěn)定性判定可知，無論兩參數(shù)取什么值，平衡點都是不穩(wěn)定的.從圖2可看出最大的Lyapunov指數(shù)大于零，說明系統(tǒng)（1）存在混沌行為[16].

圖1 系統(tǒng)的吸收引子圖Fig.1 Phase graph of system

圖2 系統(tǒng)（1）Lyapunov指數(shù)譜Fig 2 Lyapunov exponent of system

2.3 參數(shù)對系統(tǒng)的影響

參數(shù)的變化，從系統(tǒng)的三個方向的Lyapunov指數(shù)和分岔圖，可以直觀看出系統(tǒng)運動狀態(tài)的變化，下面就我們增加的兩個參數(shù)下系統(tǒng)的Lyaunov指數(shù)與分岔圖進行討論研究.

參數(shù)a受環(huán)境，工作條件等因素影響比較大，隨著參數(shù)a的變化系統(tǒng)呈現(xiàn)出非常豐富的非線性，當a∈[1,10]系統(tǒng)進入了混沌狀態(tài).

在實際工程中，參數(shù)d為磨損參數(shù)，現(xiàn)固定參數(shù)a=2，b=3，c=1,從圖3（g）(h)可以看出，當d∈[0.2,1.1]系統(tǒng)出現(xiàn)了一個正的Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，分岔圖也可以表明.當a∈(1.1,1.5]，混沌特征下降，還有段間隔區(qū).最大的Lyapunov指數(shù)接近0，系統(tǒng)處于倍周期運動形式.

同理可以看出其他參數(shù),通過分析可知，該系統(tǒng)易處于混沌狀態(tài).當系統(tǒng)處于混沌運動時，電流與電壓忽高忽低，這很容易引系統(tǒng)的崩潰，通過對參數(shù)分析，改變參數(shù)是很難將其脫離混沌.因此須找一種合適有效的方法消除或抑制系統(tǒng)中混沌行為.

圖3 系統(tǒng)的分岔圖與參數(shù)變化Lyaunov指數(shù)譜Fig.3 Lyapunov exponent and Bifurcation diagram of system

3 雙盤發(fā)電機混沌運動的狀態(tài)反饋控制

3.1 非線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制理論

考慮如下不受控的非線性自治系統(tǒng)：

其中X為狀態(tài)變量，α為參數(shù)；在平衡點附近處線性化，則系統(tǒng)（5）近似為：

其中B為對角矩陣，μ為控制向量，且

其中，K為反饋增益矩陣.

K矩陣的求解，本文利用控制論中極點配置的方法來確定，從而使系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)[17].

3.2 控制器的設計

根據(jù)上述理論，考慮系統(tǒng)（1）加入狀態(tài)反饋控制項，u=K( X?E0)，則系統(tǒng)（1）的受控系統(tǒng)為：

根據(jù)（7），可以簡化 ，B=diag(1,1,1) .

則系統(tǒng)（9）在系統(tǒng)（1）平衡點E0下的Jacbian矩陣為：

則受控系統(tǒng)的特征方程：

其中，A1, A2,A0都是與k1, k2, k3有關(guān)系數(shù).

取希望配置的極點(?1,?1,?10)，則極點構(gòu)成的特征多項式為[17]：

極點的特征多項式(12)與受控系統(tǒng)的特征多項式(11)相同，求出k1=9,k2=0,k3=7.75.當系統(tǒng)運行到10s時，加入控制，仿真的結(jié)果如圖4，相位圖如圖5.從圖4、5可以發(fā)現(xiàn)，在20s控制器參與工作后，系統(tǒng)迅速達到穩(wěn)定狀態(tài)，具有良好穩(wěn)定性能.

圖4 受控系統(tǒng)的運動狀態(tài)Fig.4 States of controlled system

圖5 受控系統(tǒng)的運動相位圖Fig.5 Phase graph of controlled system

4 結(jié) 論

本文針對變形Rikitake雙盤耦合發(fā)電機模型，研究表明模型在一定參數(shù)范圍內(nèi)系統(tǒng)具有混沌運動，此外，還分析了這種混沌的基本特性.針對該發(fā)電機混沌特性，應用狀態(tài)反饋控制.并對整個系統(tǒng)進行了仿真研究，仿真結(jié)果表明系統(tǒng)在控制器的作用下能夠迅速達到穩(wěn)定狀態(tài)，理論分析與數(shù)值仿真結(jié)果相一致.表明該控制系統(tǒng)設計不需要使用除系統(tǒng)狀態(tài)變量以外的受控系統(tǒng)其他有關(guān)信息.研究結(jié)果說明該方法有效，且對工程具有重要的參考價值.

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（責任編輯 程 杰）

On Chaotic Analysis and Control of the Modified Rikitake Two-disk Dynamo

LEI Tengfei，CHEN Heng，WANG Rong，REN Linzheng ，MENG Jing
( Xijing University, Xi’an 710123, China)

Suited to the nonlinear system of Rikitake Two-disk Dynamo , the system can exhibit a variety of chaotic or limit cycle phenomenon under some choices of system parameters and external inputs. A state variable feedback controlling or suppressing chaos. The control system is excellent in the dynamic response performance, Because of the feedback gain determined by pole placement method. The simulation results demonstrate the effectiveness and realizable of the proposed methods. The research results will provide theoretical

for the study of improving control performance.

two-disk dynamo；chaos control；state variable feedback

TM315

A

1004—1877（2014）03—052—05

2014-01-18

雷騰飛（1988—），男，山東肥城人，碩士，研究方向：混沌電路系統(tǒng)與控制，電機控制.

陜西省科學技術(shù)研究發(fā)展計劃項目（2009k0940）；西京學院科研基金（XJ20130117）