許寧

摘 要：眾所周知，勒貝格（Lebesgue）積分是黎曼（Riemann）積分的推廣，但人們很少解釋這種推廣為什么重要以及為什么它是純粹和應(yīng)用數(shù)學(xué)家的有力武器。勒貝格積分與黎曼積分相比，其重要性至少體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是這兩個(gè)理論的控制收斂定理，另一個(gè)是賦范線性空間的完備性。通過(guò)一些簡(jiǎn)潔的例子和討論來(lái)闡明這些論點(diǎn)。

關(guān)健詞：黎曼積分；勒貝格積分；胖Cantor集；發(fā)展演變

中圖分類號(hào)：O172.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2095-6835（2014）02-0095-04

在高等數(shù)學(xué)中，積分概念的介紹都是從黎曼（Riemann）積分開始的，Riemann積分是線形成面的具體反映，它的積分理論相對(duì)簡(jiǎn)單，計(jì)算簡(jiǎn)潔方便，基本能夠解決日常生活中遇到的問(wèn)題。但從現(xiàn)代分析的角度看，Riemann積分只能處理所謂連續(xù)（含幾乎處處連續(xù)）的有關(guān)問(wèn)題，對(duì)大多數(shù)不連續(xù)的有關(guān)問(wèn)題無(wú)能為力。眾所周知，現(xiàn)代數(shù)學(xué)處理問(wèn)題所用的積分工具是勒貝格（Lebesgue）積分，盡管Lebesgue積分具有不易計(jì)算的特點(diǎn)，但由于它裝備了非常有效的收斂工具，所以使得Lebesgue積分成為理論研究的強(qiáng)大推動(dòng)器。本文將從數(shù)學(xué)的內(nèi)部機(jī)制來(lái)談?wù)勊鼈兊难葑儭?/p>

1 什么是Riemann積分和Lebesgue積分

積分的思想是基于面積的考察。設(shè)f（x）≥0是一連續(xù)函數(shù)，則Riemann積分就是曲線y=f（x），x軸和兩直線x=a，x=b所圍區(qū)域的面積。1853年，Riemann對(duì)積分給出了嚴(yán)格的定義，人們通常稱之為Riemann積分。

設(shè)[a，b]為一區(qū)間，若a=x0

令f（x）為[a，b]上的有界函數(shù)，稱f（x）在區(qū)間[xi-1，xi]（xi-1，xi）∈P）上函數(shù)值的最大下界為下確界，記作mi（f）=inf{f（x）| x∈[xi-1，xi]}；稱f（x）在區(qū)間[xi-1，xi]（xi-1，xi）∈P）上函數(shù)值的最小上界為上確界，記作Mi（f）=sup

{f（x）| x∈[xi-1，xi]}.

把 （其中Δxk=xk-xk-1）

分別稱為關(guān)于分劃P的上Riemann和與下Riemann和，顯然有m（b-a）≤s（P）≤S（P）≤M（b-a）.

其中M=sup{f（x）| x∈[a，b]，m=inf{f（x）| x∈[a，b]}，當(dāng)分劃P加細(xì)時(shí)，S（P）減少，s（P）增加。若令ΔP=max{Δ

xi，i=1，2，…，n}，則由單調(diào)有界原理可知， ，

皆存在，分別稱為上Riemann積分和下Riemann

積分，顯然有s≤S；若S=s，則稱f（x）在[a，b]上Riemann

可積，其S=s的值稱為Riemann積分，記作 ，其近

似值 可用圖1表示。

圖1 近似值的曲線圖

我們知道，連續(xù)函數(shù)、單調(diào)函數(shù)等這些常見(jiàn)的函數(shù)是黎曼可積的。但也有非常簡(jiǎn)單的函數(shù)它不是Riemann可積的，拿[0，1]

區(qū)間上的有理數(shù)集的特征函數(shù) 來(lái)說(shuō)，顯

然對(duì)任意[0，1]上的分劃P有S（P）=1，S（P）=0.于是S=1，

s=0，所以IQ∩[0，1]在[0，1]上非Riemann可積。

Lebesgue觀察到，如果函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)不連續(xù)點(diǎn)p，

于是可以構(gòu)造一個(gè)新的分劃 ，由于

f（x）在區(qū)間 上的振幅不超過(guò)M-m，而當(dāng)n充分

大時(shí)，區(qū)間 的長(zhǎng)度很小，所以上和與下和非常接

近。于是，若f只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，則對(duì)該區(qū)間上任一很細(xì)的分劃，上和與下和非常接近。但若f各處皆不連續(xù)（如上例），則上和與下和就不會(huì)接近。于是，Lebesgue從收集f（x）近似相等的值出發(fā)，放棄對(duì)區(qū)間[a，b]的分解，而考察f（x）在[a，b]上的上界M=sup{f（x）| x∈[a，b]}和下界m=inf {f（x）| x∈[a，b]}上的變化。

令T：m=y0

拿集合Ei={x∈[a，b]| yi≤f（x）≤yi+1}來(lái)說(shuō)，如圖2所示，Ei由4個(gè)區(qū)間組成。對(duì)一些函數(shù)來(lái)說(shuō)，Ei可能由無(wú)限個(gè)區(qū)間組成。就連續(xù)函數(shù)而言，當(dāng)自變量化很小時(shí)，函數(shù)值也變化很小，于是Ei起到在Riemann積分中區(qū)間[xi，xi+1]的作用。Lebesgue把Riemann積分中區(qū)間[xi，xi+1]的長(zhǎng)度xi+1-xi用集合Ei的測(cè)度m（Ei）來(lái)代替。比如，圖2中的m（Ei）是4個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度的和，如果Ei是無(wú)限個(gè)區(qū)間的并集，則m（Ei）是這無(wú)限個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度的和，這里和后面用m（A）表示集合A的Lebesgue測(cè)度。

圖2 集合Ei={x∈[a，b]| yi≤f（x）≤yi+1 }的曲線圖

由此，Lebesgue引入了可測(cè)集（如開集，區(qū)間皆為可測(cè)集）和可測(cè)函數(shù)（如單調(diào)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)皆為可測(cè)函數(shù)）的有關(guān)概念（見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1]）。在此基礎(chǔ)上，我們來(lái)考察有界可測(cè)函數(shù)的情形。令A(yù)j={x| yj-1

定義 和

由于m（b-a）≤sT≤ST≤M（b-a），于是inf ST和sup sT皆為有限數(shù)。設(shè)T '∶m=y0

若令Bj={x| y

所以有ST≤ST '，類似地有ST '≤ST。得出如下結(jié)論：

若T' T，則sT '≤sT，ST '≤ST . （1）

由于sup sT和inf ST皆為有限，因而對(duì)任意正數(shù)ε存在[m，M]上的劃分T1，T2，使得：

（2）

結(jié)合（1）式，可設(shè)Tk={yi，k}，k=1，2，其中

現(xiàn)令 ，則有：

0≤ （3）

即 又 結(jié)合（1）式，有 ，

所以，由（2）式有：

，

即 （4）

于是，結(jié)合（3）式和（4）式有：

由ε的任意性有sup sT=inf ST. 因而Lebesgue把

的公共值稱為L(zhǎng)ebesgue積分，記作 ，其近似值

可用圖2表示。

現(xiàn)令f（x）=IQ（x），x∈[0，1]，由于m（Q）=0，m（φ）=0，于是，對(duì)任一分劃R∶0=y0

（[0，1]-Q）+ynm（Q）=0. 所以 因

而f（x）=IQ（x），x∈[0，1]是Lebesgue可積的。

一般地，設(shè)g為一簡(jiǎn)單函數(shù)，即 ，其中Aj，

j=1，2，…，k為可測(cè)集，IAj為集Aj上的特征函數(shù)。則有：

參考文獻(xiàn)[2]指出，若f（x）≥0為可測(cè)函數(shù)，則存在單調(diào)遞增非負(fù)的簡(jiǎn)單函數(shù)列{Sn（x）}，它以f（x）為極限，從而導(dǎo)致上述Legesgue積分的定義與參考文獻(xiàn)[2]定義相一致。即設(shè)f：[a，b]→R+是可測(cè)的，令Sf={g（x）| g（x）是簡(jiǎn)單函數(shù)，且0≤g（x）≤f（x）}，則f的Lebesgue積分定義為 .

若f不是非負(fù)的，記f +=max（f，0），f -=max（-f，0），

則f=f +-f -，于是Lebesgue積分定義為

，其中等式右邊的兩個(gè)積分皆存在。

由上述分析可知，若f（x）是[a，b]上有界可測(cè)函數(shù)，則f（x）是Lebesgue可積的。于是Lebesgue把有界函數(shù)的可積性推廣到Lebesgue可測(cè)函數(shù)類。一般來(lái)說(shuō)，Lebesgue積分理論都是從可測(cè)集、可測(cè)函數(shù)開始的，這增加了Lebesgue積分推廣的難度。但參考文獻(xiàn)[3]針對(duì)熟知Riemann積分的讀者用很初等的方式建立了Lebesgue積分，使得Lebesgue積分很容易被大眾所接受。

2 Riemann積分的困難與Lebesgue積分的優(yōu)越性

在日常計(jì)算中，常常需要把極限運(yùn)算和積分運(yùn)算作交換，即考察lim∫與∫lim是否相等。拿Barie（1898年）函數(shù)Bn（x），x∈

[0，1]來(lái)說(shuō)，Bn（x）定義為：

其中n=1，2，…，顯然， 又（R）

，n=1，2，…，（R） 不存在，于

是

所以對(duì)非負(fù)的Riemann可積函數(shù)列，在一致有界的前提下，Riemann積分運(yùn)算和極限運(yùn)算不可交換，但對(duì)Lebesgue積分而言，若fn是一致有界的非負(fù)Lebesgue可積函數(shù)列，則有

因而在計(jì)算過(guò)程中，對(duì)Riemann可積函數(shù)列的極限我們需要考察其極限函數(shù)的可積性，但對(duì)Lebesgue可積函數(shù)列而言，我們不需要擔(dān)心其極限函數(shù)的可積性，從而Lebesgue積分具有易于操作的特點(diǎn)。

函數(shù)空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析的中心概念，特別在現(xiàn)代偏微分方程中擔(dān)任非常重要的角色，而空間的完備性在理論的研究中有非常重要的作用。拿Riemann函數(shù)空間R[a，b]（即區(qū)間[a，b]上的所有Riemann可積函數(shù)的全體）來(lái)說(shuō)，我們知道，若f（x），g（x）∈[a，b]，則| f（x）-g（x）|的Riemann積分存在，那

么便可以在空間R[a，b]上定義距離：d（f，g）=（R）

dx，f（x），g（x）∈R[a，b]. （5）

下面考察其完備性，為此我們來(lái)考察胖Cantor集的特征函數(shù)。胖Cantor集的構(gòu)造類似于Cantor集，首先在區(qū)間[0，1]的中點(diǎn)

處，去除以 為中心，長(zhǎng)度為 的一個(gè)開區(qū)間，余下的區(qū)

間記為C1即C1=[0，1]-（ ， ）=[0， ]∪[ ，

1]，然后對(duì)區(qū)間[0， ]和[ ，1]分別去除以其中點(diǎn)

和 為中心，長(zhǎng)度為 的開區(qū)間，余下的區(qū)間記為C2，即：

如此對(duì)余下的小區(qū)間做上述同樣的過(guò)程，直至無(wú)窮，即可得到胖Cantor集。具體來(lái)說(shuō)，第k次的Ck是對(duì)Ck-1中的2k-1個(gè)小區(qū)間，分別去除以其對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)為中心、長(zhǎng)度為5-k的開區(qū)間后，余下的2k個(gè)閉區(qū)間組成的。胖Cantor集C是這些Ck的交集，即

令 于

是 （6）

所以，對(duì)任意m，n∈N，不妨設(shè)n

（7）

由（7）可知，函數(shù)列{fn（x）}是R[0，1]中關(guān)于距離（5）的柯西列，顯然fn（x）→f（x），x∈[0，1]，n→∞.由于C中沒(méi)有內(nèi)點(diǎn)，沒(méi)有孤立點(diǎn)，因而對(duì)x∈C的任一鄰域，皆含有不是C中的點(diǎn)，故f（x）的不連續(xù)點(diǎn)集包含C。設(shè)開區(qū)間集{Ik，j，j

=1，2，…，2k}， 表示區(qū)間Ikj的長(zhǎng)度）

是從Ck中挖去的2k個(gè)開區(qū)間，則：

即C的測(cè)度大于0.

Lebesgue指出，區(qū)間[a，b]上有界函數(shù)Riemann可積的充要條件是不連續(xù)點(diǎn)集是零測(cè)度集，故f（x）在[0，1]上不可積。由此可知，R[a，b]按距離（5）是不完備的。但對(duì)[a，b]上全體Lebesgue可積函數(shù)形成的空間L[a，b]來(lái)說(shuō)，若定

義距離d（f，g）=（L） dx，f（x），g（x）

∈L[a，b]. （8）

則L[a，b]是完備的。

事實(shí)上，設(shè){fn（x），n=1，2，…}是關(guān)于距離（8）的柯西列，令ε=2-j，j=1，2，…，于是可取{fkj（x），j=1，2，…} {fn（x），n=1，2，…}滿足：

（9）

令 ∈L[a，b]，i=1，2，…

則它們是單調(diào)遞增的非負(fù)函數(shù)序列，由（9）式可得

所以由單調(diào)收斂定理有

∈L[a，b]，且 類似地有：

∈L[a，b]，i=1，2，…

∈L[a，b]，且

若令f（x）=h（x）-g（x）+fk1（x），則有f（x）∈L[a，b]，

且滿足

所以，fki+1（x）→f（x）a.e.x∈[a，b]，d（fki+1（x），f（x））→0.

又由于{fn（x）}是柯西列，于是有d（fn（x），f（x））→0，從而L[a，b]，是完備的。

若f∶[a，b]→R是有界的，則有s≤

≤S，因而f是Riemann可積的，則f是

Lebesgue可積，且 故R[a，b]

是L[a，b]的子集。

對(duì)于非負(fù)函數(shù)而言，應(yīng)用Lebesgue單調(diào)收斂定理，則其廣義Riemann積分收斂必有Lebesgue積分收斂，且收斂值是一致的，因而它們有相應(yīng)的子集關(guān)系。一般情況下的廣義積分，子

集關(guān)系不一定正確，拿Dirichlet積分 來(lái)說(shuō)，其廣義黎

曼積分 收斂，但 .我們知

道，若函數(shù)f（x）是Lebesgue可積的，則其絕對(duì)值| f（x）|也是

Lebesgue可積的，因而 不存在。所以，去掉非負(fù)

這一條件，它們之間也就沒(méi)有子集關(guān)系了。

正是由于Lebesgue積分的上述優(yōu)點(diǎn)，使得在現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析中把Lebesgue積分作為計(jì)算分析的主要工具。

3 結(jié)束語(yǔ)

積分概念起源于阿基米德（Archimedes）時(shí)代，但直到17世紀(jì)才出現(xiàn)積分概念嚴(yán)密化的需要。1853年，Riemann提出用Riemann和的極限來(lái)定義積分，使得積分理論趨于成熟。Lebesgue積分是Riemann積分的推廣，Lebesgue觀察到，可通過(guò)擴(kuò)大可測(cè)集的范圍來(lái)擴(kuò)大需要定義其積分的函數(shù)范圍。具體來(lái)說(shuō)就是，當(dāng)可測(cè)集中用可數(shù)無(wú)限復(fù)蓋代替有限復(fù)蓋，在此基礎(chǔ)上推廣了測(cè)度的概念。Lebesgue測(cè)度的主要優(yōu)點(diǎn)在于，它是可數(shù)可加的，即如果 是一個(gè)兩兩互不相交的可測(cè)集合序列，

則它們的并集是可測(cè)的，且

借助于可加性，Legesgue證明了一個(gè)在閉區(qū)間上有界的函數(shù)是Riemann可積的，當(dāng)且僅當(dāng)它的間斷點(diǎn)的集合的測(cè)度為0.

Legesgue積分之所以有力，不僅是由于可積函數(shù)的范圍大大擴(kuò)充了，而且還由于應(yīng)用這種積分很容易處理函數(shù)的極限過(guò)程。在Riemann積分的情況下，比較容易得到的結(jié)果只是當(dāng)fn皆連續(xù)，

且函數(shù)列 一致連續(xù)時(shí)，若 fn（x）=f（x），x∈[a，b]，

則 （10）成立。但對(duì)于

許多應(yīng)用來(lái)說(shuō)，這些條件太強(qiáng)了。對(duì)于Lebesgue積分來(lái)說(shuō)，只要fn是一致有界的，則（10）在Lebesgue積分意義下成立，這說(shuō)明Lebesgue積分具有極好的收斂性。

參考文獻(xiàn)[4]指出，對(duì)于很大的函數(shù)來(lái)說(shuō)，微分和Lebesgue積分是互逆運(yùn)算，若f是[a，b]上的有界可測(cè)函數(shù)，則最多

除了一個(gè)零測(cè)度集外， 處處成立。如果f

是一個(gè)有界可測(cè)函數(shù)，f（a）=0，它的導(dǎo)數(shù)f '在[a，b]上存

在且有界，則 .

這為牛頓和萊布尼茨在直觀概念的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)和廣泛利用的微積分基本定理提供了一個(gè)明確而嚴(yán)格的表述。

參考文獻(xiàn)

[1]May， K. O. Measure and the integral[M].1966：177-183.

[2]Rudin，W.Real and Complex Analysis（Third Edition）[M].1987：5-32.

[3]Gonzale-Velasco Erique A. The Lebesgue integral as a Riemann integral[J].1987，10（40）：693-706.

[4]Wheeden， R. L. and Zygnumd， A. Measure and Integral [M].New York：Macel dekker，Inc，1977：83-123.

[5]阿黑波夫，薩多夫尼奇.數(shù)學(xué)分析講義[M].王昆揚(yáng)，譯.北京：高等教育出版社，2006：361-363.

Evolution of the Concept of Integration

Xu Ning

Abstract： It is well known Lebesgue（Lebesgue）integral is Riemann（Riemann）integral promotion， but people rarely explain why it is important to promote and why it is a powerful weapon of pure and applied mathematicians. Compared with the Lebesgue integral Riemann integral， its importance reflected in at least two aspects： First， the two theories dominated convergence theorem， and the other is normed linear space completeness. Through some simple examples to illustrate these arguments and discussions.

Key words： Riemann integral； Lebesgue integral； fat Cantor sets； evolution

義距離d（f，g）=（L） dx，f（x），g（x）

∈L[a，b]. （8）

則L[a，b]是完備的。

事實(shí)上，設(shè){fn（x），n=1，2，…}是關(guān)于距離（8）的柯西列，令ε=2-j，j=1，2，…，于是可取{fkj（x），j=1，2，…} {fn（x），n=1，2，…}滿足：

（9）

令 ∈L[a，b]，i=1，2，…

則它們是單調(diào)遞增的非負(fù)函數(shù)序列，由（9）式可得

所以由單調(diào)收斂定理有

∈L[a，b]，且 類似地有：

∈L[a，b]，i=1，2，…

∈L[a，b]，且

若令f（x）=h（x）-g（x）+fk1（x），則有f（x）∈L[a，b]，

且滿足

所以，fki+1（x）→f（x）a.e.x∈[a，b]，d（fki+1（x），f（x））→0.

又由于{fn（x）}是柯西列，于是有d（fn（x），f（x））→0，從而L[a，b]，是完備的。

若f∶[a，b]→R是有界的，則有s≤

≤S，因而f是Riemann可積的，則f是

Lebesgue可積，且 故R[a，b]

是L[a，b]的子集。

對(duì)于非負(fù)函數(shù)而言，應(yīng)用Lebesgue單調(diào)收斂定理，則其廣義Riemann積分收斂必有Lebesgue積分收斂，且收斂值是一致的，因而它們有相應(yīng)的子集關(guān)系。一般情況下的廣義積分，子

集關(guān)系不一定正確，拿Dirichlet積分 來(lái)說(shuō)，其廣義黎

曼積分 收斂，但 .我們知

道，若函數(shù)f（x）是Lebesgue可積的，則其絕對(duì)值| f（x）|也是

Lebesgue可積的，因而 不存在。所以，去掉非負(fù)

這一條件，它們之間也就沒(méi)有子集關(guān)系了。

正是由于Lebesgue積分的上述優(yōu)點(diǎn)，使得在現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析中把Lebesgue積分作為計(jì)算分析的主要工具。

3 結(jié)束語(yǔ)

積分概念起源于阿基米德（Archimedes）時(shí)代，但直到17世紀(jì)才出現(xiàn)積分概念嚴(yán)密化的需要。1853年，Riemann提出用Riemann和的極限來(lái)定義積分，使得積分理論趨于成熟。Lebesgue積分是Riemann積分的推廣，Lebesgue觀察到，可通過(guò)擴(kuò)大可測(cè)集的范圍來(lái)擴(kuò)大需要定義其積分的函數(shù)范圍。具體來(lái)說(shuō)就是，當(dāng)可測(cè)集中用可數(shù)無(wú)限復(fù)蓋代替有限復(fù)蓋，在此基礎(chǔ)上推廣了測(cè)度的概念。Lebesgue測(cè)度的主要優(yōu)點(diǎn)在于，它是可數(shù)可加的，即如果 是一個(gè)兩兩互不相交的可測(cè)集合序列，

則它們的并集是可測(cè)的，且

借助于可加性，Legesgue證明了一個(gè)在閉區(qū)間上有界的函數(shù)是Riemann可積的，當(dāng)且僅當(dāng)它的間斷點(diǎn)的集合的測(cè)度為0.

Legesgue積分之所以有力，不僅是由于可積函數(shù)的范圍大大擴(kuò)充了，而且還由于應(yīng)用這種積分很容易處理函數(shù)的極限過(guò)程。在Riemann積分的情況下，比較容易得到的結(jié)果只是當(dāng)fn皆連續(xù)，

且函數(shù)列 一致連續(xù)時(shí)，若 fn（x）=f（x），x∈[a，b]，

則 （10）成立。但對(duì)于

許多應(yīng)用來(lái)說(shuō)，這些條件太強(qiáng)了。對(duì)于Lebesgue積分來(lái)說(shuō)，只要fn是一致有界的，則（10）在Lebesgue積分意義下成立，這說(shuō)明Lebesgue積分具有極好的收斂性。

參考文獻(xiàn)[4]指出，對(duì)于很大的函數(shù)來(lái)說(shuō)，微分和Lebesgue積分是互逆運(yùn)算，若f是[a，b]上的有界可測(cè)函數(shù)，則最多

除了一個(gè)零測(cè)度集外， 處處成立。如果f

是一個(gè)有界可測(cè)函數(shù)，f（a）=0，它的導(dǎo)數(shù)f '在[a，b]上存

在且有界，則 .

這為牛頓和萊布尼茨在直觀概念的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)和廣泛利用的微積分基本定理提供了一個(gè)明確而嚴(yán)格的表述。

參考文獻(xiàn)

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[3]Gonzale-Velasco Erique A. The Lebesgue integral as a Riemann integral[J].1987，10（40）：693-706.

[4]Wheeden， R. L. and Zygnumd， A. Measure and Integral [M].New York：Macel dekker，Inc，1977：83-123.

[5]阿黑波夫，薩多夫尼奇.數(shù)學(xué)分析講義[M].王昆揚(yáng)，譯.北京：高等教育出版社，2006：361-363.

Evolution of the Concept of Integration

Xu Ning

Abstract： It is well known Lebesgue（Lebesgue）integral is Riemann（Riemann）integral promotion， but people rarely explain why it is important to promote and why it is a powerful weapon of pure and applied mathematicians. Compared with the Lebesgue integral Riemann integral， its importance reflected in at least two aspects： First， the two theories dominated convergence theorem， and the other is normed linear space completeness. Through some simple examples to illustrate these arguments and discussions.

Key words： Riemann integral； Lebesgue integral； fat Cantor sets； evolution

義距離d（f，g）=（L） dx，f（x），g（x）

∈L[a，b]. （8）

則L[a，b]是完備的。

事實(shí)上，設(shè){fn（x），n=1，2，…}是關(guān)于距離（8）的柯西列，令ε=2-j，j=1，2，…，于是可取{fkj（x），j=1，2，…} {fn（x），n=1，2，…}滿足：

（9）

令 ∈L[a，b]，i=1，2，…

則它們是單調(diào)遞增的非負(fù)函數(shù)序列，由（9）式可得

所以由單調(diào)收斂定理有

∈L[a，b]，且 類似地有：

∈L[a，b]，i=1，2，…

∈L[a，b]，且

若令f（x）=h（x）-g（x）+fk1（x），則有f（x）∈L[a，b]，

且滿足

所以，fki+1（x）→f（x）a.e.x∈[a，b]，d（fki+1（x），f（x））→0.

又由于{fn（x）}是柯西列，于是有d（fn（x），f（x））→0，從而L[a，b]，是完備的。

若f∶[a，b]→R是有界的，則有s≤

≤S，因而f是Riemann可積的，則f是

Lebesgue可積，且 故R[a，b]

是L[a，b]的子集。

對(duì)于非負(fù)函數(shù)而言，應(yīng)用Lebesgue單調(diào)收斂定理，則其廣義Riemann積分收斂必有Lebesgue積分收斂，且收斂值是一致的，因而它們有相應(yīng)的子集關(guān)系。一般情況下的廣義積分，子

集關(guān)系不一定正確，拿Dirichlet積分 來(lái)說(shuō)，其廣義黎

曼積分 收斂，但 .我們知

道，若函數(shù)f（x）是Lebesgue可積的，則其絕對(duì)值| f（x）|也是

Lebesgue可積的，因而 不存在。所以，去掉非負(fù)

這一條件，它們之間也就沒(méi)有子集關(guān)系了。

正是由于Lebesgue積分的上述優(yōu)點(diǎn)，使得在現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析中把Lebesgue積分作為計(jì)算分析的主要工具。

3 結(jié)束語(yǔ)

積分概念起源于阿基米德（Archimedes）時(shí)代，但直到17世紀(jì)才出現(xiàn)積分概念嚴(yán)密化的需要。1853年，Riemann提出用Riemann和的極限來(lái)定義積分，使得積分理論趨于成熟。Lebesgue積分是Riemann積分的推廣，Lebesgue觀察到，可通過(guò)擴(kuò)大可測(cè)集的范圍來(lái)擴(kuò)大需要定義其積分的函數(shù)范圍。具體來(lái)說(shuō)就是，當(dāng)可測(cè)集中用可數(shù)無(wú)限復(fù)蓋代替有限復(fù)蓋，在此基礎(chǔ)上推廣了測(cè)度的概念。Lebesgue測(cè)度的主要優(yōu)點(diǎn)在于，它是可數(shù)可加的，即如果 是一個(gè)兩兩互不相交的可測(cè)集合序列，

則它們的并集是可測(cè)的，且

借助于可加性，Legesgue證明了一個(gè)在閉區(qū)間上有界的函數(shù)是Riemann可積的，當(dāng)且僅當(dāng)它的間斷點(diǎn)的集合的測(cè)度為0.

Legesgue積分之所以有力，不僅是由于可積函數(shù)的范圍大大擴(kuò)充了，而且還由于應(yīng)用這種積分很容易處理函數(shù)的極限過(guò)程。在Riemann積分的情況下，比較容易得到的結(jié)果只是當(dāng)fn皆連續(xù)，

且函數(shù)列 一致連續(xù)時(shí)，若 fn（x）=f（x），x∈[a，b]，

則 （10）成立。但對(duì)于

許多應(yīng)用來(lái)說(shuō)，這些條件太強(qiáng)了。對(duì)于Lebesgue積分來(lái)說(shuō)，只要fn是一致有界的，則（10）在Lebesgue積分意義下成立，這說(shuō)明Lebesgue積分具有極好的收斂性。

參考文獻(xiàn)[4]指出，對(duì)于很大的函數(shù)來(lái)說(shuō)，微分和Lebesgue積分是互逆運(yùn)算，若f是[a，b]上的有界可測(cè)函數(shù)，則最多

除了一個(gè)零測(cè)度集外， 處處成立。如果f

是一個(gè)有界可測(cè)函數(shù)，f（a）=0，它的導(dǎo)數(shù)f '在[a，b]上存

在且有界，則 .

這為牛頓和萊布尼茨在直觀概念的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)和廣泛利用的微積分基本定理提供了一個(gè)明確而嚴(yán)格的表述。

參考文獻(xiàn)

[1]May， K. O. Measure and the integral[M].1966：177-183.

[2]Rudin，W.Real and Complex Analysis（Third Edition）[M].1987：5-32.

[3]Gonzale-Velasco Erique A. The Lebesgue integral as a Riemann integral[J].1987，10（40）：693-706.

[4]Wheeden， R. L. and Zygnumd， A. Measure and Integral [M].New York：Macel dekker，Inc，1977：83-123.

[5]阿黑波夫，薩多夫尼奇.數(shù)學(xué)分析講義[M].王昆揚(yáng)，譯.北京：高等教育出版社，2006：361-363.

Evolution of the Concept of Integration

Xu Ning

Abstract： It is well known Lebesgue（Lebesgue）integral is Riemann（Riemann）integral promotion， but people rarely explain why it is important to promote and why it is a powerful weapon of pure and applied mathematicians. Compared with the Lebesgue integral Riemann integral， its importance reflected in at least two aspects： First， the two theories dominated convergence theorem， and the other is normed linear space completeness. Through some simple examples to illustrate these arguments and discussions.

Key words： Riemann integral； Lebesgue integral； fat Cantor sets； evolution