王鑫, 袁曉光, 楊星

(1.西北工業(yè)大學 航天學院, 陜西 西安 710072; 2.西安電子科技大學 電子工程學院, 陜西 西安 710071

主要符號定義

飛行器攜帶特種分離載荷的飛行任務模式目前成為航空航天領域一個研究的熱點。此類飛行器在大氣層內(nèi)飛行,在大縱深預定的目標區(qū)域上空將有效載荷分離釋放,以完成偵查、打擊、預警、數(shù)據(jù)通訊、熱點區(qū)域監(jiān)視等任務[1]。此類任務中有效載荷作為分離體從運載平臺脫離的過程中,由于仍在大氣層中,因此其多體分離過程與傳統(tǒng)航天器在真空環(huán)境下的拋罩分離過程顯著不同[2]，分離過程的氣動和姿態(tài)動力學特性將直接影響到分離體后續(xù)的飛行態(tài)勢。

在此類飛行器分離體的氣動仿真工作中,需要涉及到多體動力學微分方程的求取與計算,可以應用拉格朗日力學方法來建立飛行器運動過程的狀態(tài)方程,并進行多體動力學模型的簡化和求解[3]。拉格朗日力學是分析力學的一種,是對經(jīng)典力學的一種新的數(shù)學表述,其引入了廣義坐標的概念,并運用達朗貝爾原理得到與牛頓第二定律等價的拉格朗日方程。拉格朗日方程在多體系統(tǒng)領域具有更普遍的意義和更廣泛的適用范圍;并且在選取恰當?shù)膹V義坐標后,可以使多體動力學方程得到簡化,其微分方程形式規(guī)范,物理意義明確[4]。

本文研究的飛行器在近空間大氣層內(nèi)拋離頭部的有效載荷，飛行器本體和有效載荷分離體將作為一個多體系統(tǒng)來考慮。在整個分離過程中,忽略瞬時分離火工品的作用(相比分離過程而言,時間很短),則分離體僅受分離過程前后的重力和氣動力的作用。由于在氣動環(huán)境下分離體的姿態(tài)特性將對飛行器的飛行態(tài)勢產(chǎn)生重要影響,本文重點研究如何使用拉格朗日力學方法計算出分離體的姿態(tài)參數(shù)變化情況。

1 分離體模型建立

1.1 建立動力學模型

分離體與飛行器分離之后,沒有自主的動力,只受氣動力和重力的作用，其中氣動力為外力,重力是與勢能相關的力。以分離體作為研究對象的動力學系統(tǒng)可視為非保守系統(tǒng),并假設分離體運動過程中不受約束,或認為受到常值的定常約束。分離方式及坐標系定義見圖1。

圖1 有效載荷分離方式及坐標系示意圖

1.2 坐標系選取

1) 慣性參考系

如圖1所示,取分離體與飛行器初始分離時刻為t=0時刻。選取慣性參考系AX0Y0Z0,與地球固聯(lián)。原點A取t=0時刻分離體質心O在地面投影。AX0軸在水平面內(nèi),取t=0時刻分離體速度在水平面內(nèi)投影為正;AY0軸與地面垂直,向上為正;AZ0軸按右手定則確定。

2) 本體動坐標系

取本體坐標系OXYZ固聯(lián)于分離體本體,原點O與分離體質心重合;初始時刻t=0各軸方向規(guī)定如下:AX軸在水平面內(nèi),取初始速度在水平面內(nèi)投影方向為正;AY軸垂直于水平面,向上為正;AZ軸按右手定則確定。本體坐標系隨分離體的位置和姿態(tài)的變化而變化。

2 拉格朗日廣義坐標與廣義力的選取

廣義坐標是用以確定系統(tǒng)位形的一組獨立參變數(shù),坐標的選擇通常是直觀的并決定于系統(tǒng)的特征,所以可選擇合適的系統(tǒng)變量構建廣義坐標。拉格朗日方程采用廣義坐標來描述完整約束系統(tǒng),對于簡化方程的求解有很大幫助,本文所研究的情況雖沒約束存在,但引入廣義坐標概念,可方便采用不同參數(shù)、更好地運用拉格朗日方程。

根據(jù)廣義坐標的性質,一個系統(tǒng)需要設定的廣義坐標數(shù)目,等于該系統(tǒng)的自由度數(shù)目。針對本文中研究的分離體擁有6個自由度,對應地需要定義6個適當?shù)膹V義坐標來描述該系統(tǒng)。

6個廣義坐標設為q(q1,q2,q3,q4,q5,q6),其中r(q1,q2,q3)亦表示為r(x,y,z),分別表示本體坐標系相對于慣性參考系AX0Y0Z0軸上的位置坐標值;θ(q4,q5,q6)亦表示為θ(α,β,γ),分別表示本體坐標系相對于慣性參考系的3個姿態(tài)角是由本體系依次繞OX、OY、OZ軸旋轉相應角度得到。

此外定義與廣義坐標相對應的廣義力,記為Qj;根據(jù)拉格朗日力學分析,廣義力的數(shù)目等于廣義坐標的數(shù)目。當qj的量綱是長度時,Qj的量綱就是力的量綱;當qj的量綱是角度時,Qj的量綱就是力矩的量綱,于是Q1～Q3為系統(tǒng)所受力F的廣義形式,Q4～Q6為力矩M的廣義形式。

3 建立分離體姿態(tài)動力學方程組

3.1 廣義坐標簡化

對分離體姿態(tài)動力學推導之前,有必要先引入拉格朗日方程的有關結論及公式。拉格朗日方程如下:

(1)

式中：

(2)

系統(tǒng)實速度的廣義坐標表示式:

(3)

式中：

ri=ri(q1,…,q6,t)

(4)

根據(jù)拉格朗日力學理論,當系統(tǒng)只有定常約束的情況下,(4)式將不顯含t。本文假設分離后的有效載荷僅受重力和氣動力,故分離過程可視為只有恒為零的定常約束動力學過程,故(3)式可簡化成為:

(5)

3.2 分離體的拉格朗日動力學方程

分離體動力學方程需要選取合適的廣義坐標來表示系統(tǒng)動能T,本文分離動力學模型的系統(tǒng)動能T可表示為:

(6)

代入(5)式及角速度的廣義坐標表達式,即:

式中：

需要注意到由于存在坐標系轉換,本文分離體的姿態(tài)角是指機體坐標系相對慣性系的角度,其導數(shù)也是相對慣性系而言[5];而分離體的角速度則是繞機體坐標系3個坐標軸旋轉的速度,是相對于機體坐標系而言的,這點不等同于姿態(tài)角的單純導數(shù)。

根據(jù)本文廣義坐標的選取規(guī)則可得出,表示位置關系的矢徑r可用廣義坐標標記為:

(7)

在(6)式系統(tǒng)動能表達式中,可將動能分為兩部分,即Tv和Tω,分別表示為分離體質心平動和繞質心轉動的動能,分別由(8)式和(9)式表示:

(8)

(9)

至此系統(tǒng)動能T已變?yōu)橛蓮V義坐標qj表示的形式,再將T的廣義坐標表達式代入(1)式后可得:

(10)

分離體的姿態(tài)角和角速度解算采用如下方程：

(11)

式中：

(12)

經(jīng)過上述方程的變換,可化為分離體所受力和力矩與廣義坐標的方程。最終可得包含6個廣義坐標的力和力矩的方程組形式如下:

(13)

4 數(shù)值求解及仿真結果分析

4.1 分離姿態(tài)信息的數(shù)值求解

上節(jié)中得出了微分方程形式的分離體姿態(tài)動力學方程組,建立了分離體所受力和力矩與分離體的速度、角速度關系的模型,可以用于分離體由所受力和力矩來計算和估計自身的位置信息和姿態(tài)信息。實際仿真實驗中,由于獲得的數(shù)據(jù)都是隨時間離散的,求取微分方程(13)的解析解比較困難,故在進行數(shù)據(jù)處理之前,需要將(13)式化為以qj為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程組,然后進行編程并進行離散化數(shù)值仿真。本文仿真程序使用ODE45求解器來求取微分方程的數(shù)值解。ODE45表示采用四階、五階Runge-Kutta單步算法,算法的截斷誤差為(Δx)3。

本文研究的關注點在于分離體的姿態(tài)角度和姿態(tài)角速度信息,以廣義坐標(q4,q5,q6)為例重點分析(13)式的姿態(tài)變化規(guī)律。多體分離過程中,作用在飛行器頭部分離體的氣動力矩隨分離時間變化的實驗值如圖2所示,為仿真提供了數(shù)據(jù)輸入。上方的實線表示分離過程中作用在分離體上的俯仰力矩,下方虛線表示偏航力矩的值。

圖2 分離過程中作用在分離體上的氣動力矩

編寫仿真程序帶入上述實驗數(shù)據(jù),并設定仿真步長為1 ms,對待求的微分方程組進行迭代求解。最終得到的結果包含了分離過程中分離體的姿態(tài)信息。(13)式的位置廣義坐標(q1,q2,q3)分析方法與此類似,是以氣動力數(shù)據(jù)為輸入的,其仿真從略。

4.2 仿真及結果分析

設定在每個仿真步長內(nèi),分離過程的力矩值為連續(xù)變化值,在單個仿真步長內(nèi)不存在力矩的突變。采用ODE45編寫仿真計算程序。姿態(tài)角相關的廣義坐標(q4,q5,q6)初值均設為0,對分離體在氣動力矩作用下姿態(tài)角度及角速度的求解進行仿真。具體仿真結果如圖3和圖4所示。

圖3 慣性系下姿態(tài)角變化曲線

圖4 機體坐標系下角速度變化曲線

5 結 論

對于飛行器多體分離過程中有效載荷分離體的運動過程,本文采用拉格朗日力學方法進行分析,選取了廣義坐標,建立了分離體的姿態(tài)動力學方程,探索了分離體姿態(tài)動力學方程組的數(shù)值求解方法。本文對推導得出的分離體姿態(tài)動力學模型進行了編程仿真,獲得了慣性系下姿態(tài)角和機體坐標系下角速度的數(shù)值仿真結果。最后總結了分離體姿態(tài)角及角速度參數(shù)的變化規(guī)律,為相關的多體分離系統(tǒng)設計提供了參考。

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