閆 凱，田 宙，郭永輝，董 楠

（西北核技術(shù)研究所，陜西 西安710024）

輻射輸運(yùn)的模型問題一直是強(qiáng)爆炸火球數(shù)值模擬中的一個(gè)主要難點(diǎn)［1］。在早期的火球計(jì)算中，對輻射輸運(yùn)的描述往往采用根據(jù)區(qū)域劃分為不同近似的方法。H.L.Brode等［2－3］對輻射輸運(yùn)過程的描述采用雙流近似和較簡單的P1近似方法。陳健華等［4］依據(jù)溫度的分布采用輻射熱傳導(dǎo)近似、輻射熱輸出近似描述輻射輸運(yùn)過程?；鹎虻陌l(fā)展過程中光學(xué)薄和光學(xué)厚區(qū)域同時(shí)存在，采用上述簡單劃分的模型不能準(zhǔn)確描述火球的輻射場，并且由于輻射場是連續(xù)的，因此對輻射場的描述也應(yīng)該采用連續(xù)的模型。王心正等［5］、田宙等［6］采用最大熵變Eddington因子P1近似，即 Minerbo近似，描述輻射輸運(yùn)過程，該模型可以連續(xù)地描述輻射場。

Eddington近似由于其具有計(jì)算簡單、適合大規(guī)模并行計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)，在天體物理、強(qiáng)爆炸火球等領(lǐng)域的數(shù)值模擬中得到了廣泛的應(yīng)用［5－6，8－11］。如何構(gòu)造一個(gè)合適的Eddington因子一直是該方法的一個(gè)難點(diǎn)。C.D.Levermore等［12］和A.M.Anile等［13］依據(jù)輻射熵原理分別獨(dú)立地提出了一個(gè) Eddington因子近似模型。該模型又被稱為M1近似，目前已被廣泛應(yīng)用在天體物理的數(shù)值模擬中［8－11，14－15］，但其在強(qiáng)爆炸火球數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用還未見報(bào)道。本文中，將M1近似引入到強(qiáng)爆炸火球的數(shù)值計(jì)算中，并將計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)有輻射輸運(yùn)模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。

1 計(jì)算模型

1.1 輻射流體力學(xué)方程組

本文中，采用Euler型一維球?qū)ΨQ輻射流體動力學(xué)方程組，其基本表達(dá)式由輻射輸運(yùn)方程：

和Euler方程：

耦合構(gòu)成。式中：r為空間坐標(biāo)，t為時(shí)間坐標(biāo)，c為光速，υ為光子運(yùn)動的頻率，Ω 為光子運(yùn)動的方向，i為輻射強(qiáng)度，j為發(fā)射率，κ為吸收系數(shù)；p、ρ、u、T 分別為氣體的壓力、密度、速度和溫度；Em為氣體體積內(nèi)能；I為單位矩陣；Er，F(xiàn)r和pr分別為輻射能密度、輻射能流和輻射壓力，其定義如下：

一般來說，由于光子頻率、光子運(yùn)動方向等引起的復(fù)雜性，直接求解輻射流體方程組是極其困難的.在強(qiáng)爆炸和天體物理的數(shù)值模擬中，一個(gè)常見的做法就是對輻射輸運(yùn)方程做角度積分，這樣可以得到輻射輸運(yùn)的零階矩方程和一階矩方程組成的方程組：

方程組（4）是輻射輸運(yùn)矩方程在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系下的形式，如果考慮流體速度帶來的相對論效應(yīng)，方程組形式將更復(fù)雜［16－17］。如果忽略散射和相對論效應(yīng)，采用局部熱力學(xué)平衡、灰體近似條件，輻射輸運(yùn)矩方程組將簡化為：

式中：κ′為考慮到受激輻射后的吸收系數(shù)，a為Boltzmann常數(shù)。

1.2 Eddington方法

輻射輸運(yùn)矩方程組的一個(gè)基本問題是它不封閉，以方程組（5）為例，除去流體的物理量，矩方程組有3個(gè)未知量，卻只有2個(gè)方程。為了封閉方程組，一個(gè)流行的作法是引入Eddington張量f，令：

對于多維模擬，f是一個(gè)對稱張量。本文中只討論一維情形，此時(shí)f為標(biāo)量。Eddington因子可以定義為：

如果f＝1/3，那么該近似就是P1近似，又稱為常Eddington因子近似。對于輻射近似各向同性的輻射場，P1近似是一個(gè)很好的近似；同時(shí)，P1近似方程簡單，計(jì)算量小，在強(qiáng)爆炸火球數(shù)值模擬早期了得到廣泛應(yīng)用［2－4］。P1近似的缺點(diǎn)也很明顯，輻射波速度恒定為倍光速，它不適合描述光子在光學(xué)薄區(qū)域的傳播。

20世紀(jì)70年代，G.N.Minerbo［7］發(fā)現(xiàn)輻射強(qiáng)度角分布與輻射能流Fr定義的方向的方位角無關(guān)，其根據(jù)最大熵原則對Eddington因子f給出了一個(gè)有理逼近式：

式中：R為各向異性因子，R＝0～1。R＝0，意味著輻射場為各向同性；R＝1，即光子朝一個(gè)方向運(yùn)動。該模型構(gòu)建的f具有一般Eddington因子都具有的性質(zhì)，即f（0）＝1/3，f（1）＝1，f（R）隨R 的增大而增大。王心正等［5］和田宙等［6］利用該模型對強(qiáng)爆炸早期火球進(jìn)行了數(shù)值模擬，取得了較好的效果。

1.3 M1近似

A.M.Anile等［13］分析了一維輻射輸運(yùn)矩方程組，提出Eddington因子應(yīng)該滿足以下條件：

（1）由于f是輻射輸運(yùn)方程歸一化的二階矩，因此需要滿足R2≤f≤1；

（3）在光子朝一個(gè)方向運(yùn)動時(shí)，應(yīng)滿足f（1）＝1；

（4）f應(yīng)該是R 的一個(gè)凸函數(shù)，即f″（R）≥0；

（5）在自由流中，奇異點(diǎn)應(yīng)該以光速傳播；

（6）能流限制器應(yīng)隨各向異性因子的增大而減小，由此推出f′（R）－2R≤0。

最后，A.M.Anile等根據(jù)輻射熵原理構(gòu)造的Eddington因子表達(dá)式為：

該表達(dá)式最早被 C.D.Levermore［12］提出，目前已被廣泛應(yīng)用于天體物理的數(shù)值模擬中［8－11］，在強(qiáng)爆炸火球的數(shù)值計(jì)算中則未見報(bào)道。

2 一維輻射輸運(yùn)矩方程的特征值問題

假定輻射波在真空中傳播，則此時(shí)可忽略耦合項(xiàng)，輻射壓力采用Eddington因子的表達(dá)式，則一維輻射輸運(yùn)矩方程組可以寫成：

容易證明P1近似和M1近似下的一維輻射輸運(yùn)矩方程屬于雙曲型方程。對于雙曲方程，其特征值可以反映方程特征波的波速。針對不同的輻射壓力模型，可以計(jì)算得到其最大特征值隨各向異性因子R的變化關(guān)系。其法向通量的Jacobi矩陣為：

考慮Fr＞0的情況，此時(shí)：

通過化簡Jacobi矩陣的變量，可以得到：

對于 Minerbo近似［7］：

對于 M1近似［13］：

Jacobi矩陣的特征值可以表示為：

則矩陣的最大特征值應(yīng)該為：

圖1給出了不同近似模型中Eddington因子f隨各向異性因子R的變化關(guān)系。從圖中可以看出，變Eddington因子P1近似和M1近似所構(gòu)造的Eddington因子均符合一般Eddington因子的性質(zhì)，但不能區(qū)分兩者之間優(yōu)劣。

圖2給出了不同近似下輻射輸運(yùn)矩方程的最大特征值λmax與各向異性因子R的關(guān)系。從圖中可以看出，P1近似下的輻射波波速與R無關(guān)，其速度為恒定值；Minerbo近似在R比較大的時(shí)候出現(xiàn)了較明顯的超光速現(xiàn)象，R＝1時(shí)其輻射波波速接近1.2倍光速；M1近似下的輻射波波速在R＝0時(shí)，即各向同性時(shí)，與P1近似下的輻射波波速一致，R＝1時(shí)，即光子朝一個(gè)方向運(yùn)動時(shí)，輻射波波速和光速一致。由于輻射輸運(yùn)方程組的最大特征值實(shí)際反映了輻射波波速，因此可以看出，在M1近似下得到的輻射波波速更符合物理規(guī)律。對于Fr＜0的情況，可以得到類似的結(jié)果，這里不再贅述。

圖1 不同近似下Eddington因子隨各向異性因子的變化Fig.1Eddington factor varied with anisotropy factor for different approach models

圖2 不同近似下輻射輸運(yùn)矩方程的最大特征值隨各向異性因子變化Fig.2The largest eigenvalues of moment equations of radiative transfer varied with anisotropy factor for different approach models

3 強(qiáng)爆炸火球的數(shù)值模擬

本文中，利用M1近似構(gòu)造的輻射輸運(yùn)模型對一維強(qiáng)爆炸火球問題進(jìn)行數(shù)值模擬，并將計(jì)算結(jié)果與已有結(jié)果進(jìn)行比較。

計(jì)算中選取的強(qiáng)爆炸當(dāng)量為1kt TNT，等壓球半徑為0.75m。源區(qū)物質(zhì)等價(jià)于實(shí)際氣體，其密度為海平面空氣密度；初始時(shí)刻火球?yàn)榈葔呵?，處于輻射平衡狀態(tài)；火球內(nèi)邊界采用對稱條件，外邊界采用透射條件。圖3給出了采用M1近似計(jì)算得到的1kt TNT當(dāng)量下強(qiáng)爆炸的火球陣面和沖擊波走時(shí)以及 H.L.Brode［2］和田宙等［6］的計(jì)算結(jié)果。

H.L.Brode［2］對輻射輸運(yùn)方程的描述采用了雙流近似，即火球內(nèi)部采用P1近似、外部采用輻射熱輸出近似。圖3中火球陣面的傳播過程分為輻射擴(kuò)張階段、過渡階段和沖擊波傳播階段，對應(yīng)火球擴(kuò)張的主要原因分別是輻射輸運(yùn)、輻射輸運(yùn)與流體力學(xué)過程共同作用和沖擊波擴(kuò)張。在火球擴(kuò)張的前0.2μs，采用M1近似得到的火球陣面剛開始超過了H.L.Brode［2］計(jì)算得到的火球陣面，這是由于在早期X射線火球處于非平衡輻射擴(kuò)散中，各向異性因子R接近1，因此采用M1近似計(jì)算得到的輻射熱波傳播速度高于采用雙流近似的情況。0.2μs后的一段時(shí)間內(nèi)，火球內(nèi)部開始接近輻射平衡，M1近似下的輻射熱波速度下降很快，而雙流近似下的輻射熱波傳播速度受輻射輸運(yùn)的影響較小，因此出現(xiàn)M1近似下的輻射波陣面落后雙流近似的情況。幾微秒后，火球進(jìn)入過渡階段，輻射輸運(yùn)對火球陣面的擴(kuò)張作用越來越小，因此采用這2種方法計(jì)算得到的火球陣面趨于一致。由于雙流近似中沒有考慮輻射壓力對熱空氣動量的影響，因此雙流近似下得到的彈殼沖擊波陣面明顯落后于M1近似下得到的彈殼沖擊波陣面。后期，輻射輸運(yùn)的影響越來越弱，因此采用這2種近似得到的結(jié)果又趨于一致。

在強(qiáng)爆炸火球數(shù)值模擬中，本文中采用的空氣狀態(tài)方程和吸收系數(shù)均與田宙等［6］采用的條件一致，因此兩者的結(jié)果最具有對比性。田宙等［6］在強(qiáng)爆炸火球數(shù)值模擬中對輻射輸運(yùn)方程的描述采用了變Eddington因子P1近似，即Minerbo近似。圖3中M1近似下的火球陣面落后于Minerbo近似下的計(jì)算結(jié)果［6］；而M1近似下的彈殼沖擊波的產(chǎn)生時(shí)間及走時(shí)均與Minerbo近似下的計(jì)算結(jié)果［6］一致。值得注意的是，在火球發(fā)展的中后期，即過渡階段及以后，M1近似下的輻射波和沖擊波走時(shí)與雙流近似下的計(jì)算結(jié)果［2］和Minerbo近似下的計(jì)算結(jié)果［6］均符合較好，這說明不同的輻射輸運(yùn)模型對輻射擴(kuò)張階段計(jì)算結(jié)果的影響較明顯，而對火球發(fā)展的過渡階段及沖擊波擴(kuò)張階段計(jì)算結(jié)果的影響開始減弱。

圖3 采用M1近似計(jì)算得到的強(qiáng)爆炸的火球陣面和沖擊波走時(shí)與已有結(jié)果［2，6］的比較Fig.3Fireball and shock wave fronts calculated by MI approach compared with existent results［2，6］

4 結(jié) 束 語

針對P1近似只適合于光學(xué)厚區(qū)域，Minerbo近似在光學(xué)薄區(qū)域出現(xiàn)了超光速現(xiàn)象等問題，本文中將M1近似模型引入到強(qiáng)爆炸火球數(shù)值計(jì)算中，并比較了3種不同輻射輸運(yùn)模型下火球陣面和沖擊波陣面走時(shí)的計(jì)算結(jié)果。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在火球輻射的擴(kuò)張階段采用不同的輻射輸運(yùn)模型得到的計(jì)算結(jié)果有較明顯的區(qū)別，初步定性分析了本文中采用模型的合理性，下一步將進(jìn)一步定量驗(yàn)證M1近似模型用于強(qiáng)爆炸火球數(shù)值模擬的合理性。

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