霍穎柳，蘇妙蘭，卜壽亮，黃真賢，劉玉峰，陳 彪，朱姍姍

(嘉應(yīng)學(xué)院物理與光信息科技學(xué)院，廣東梅州514015)

0 引言

根據(jù)經(jīng)典分子動力學(xué)理論［1，2］，物質(zhì)的溫度與構(gòu)成物質(zhì)的原子或分子無規(guī)則熱運動的劇烈程度密切相關(guān).物質(zhì)的溫度越高，相應(yīng)的原子或分子的熱運動越快;反之，物質(zhì)的溫度越低，相應(yīng)的原子或分子的熱運動越慢.目前，人們想當然地認為，質(zhì)量相同、溫度分別為T1、T2的同種類的氣體，所含的分子N1、N2仍然相等，且它們混合后，達到平衡時的溫度是它們原來溫度之和的一半.那為什么會得出這樣的結(jié)果呢?那是因為人們都認為:兩質(zhì)量相同、溫度分別為T1、T2的同種類的氣體的分子數(shù)相同，即N1=N2=N，

則分子平均平動動能分別為［3～6］:

則氣體的分子總動能為:

將溫度分別為T1、T2的同種類的氣體混合，設(shè)它們混合后的分子總動能為為混合后的分子平均平動動能).

由能量守恒可知，混合前的分子總動能與混合后的分子總動能相等，所以有

即

由于混合后的分子平均平動動能為:

我們發(fā)現(xiàn)，眾多的國內(nèi)、外教材都想當然地認為結(jié)果如上所述，幾乎所有的老師和學(xué)生也都對此深信不疑.

然而，根據(jù)狹義相對論［7，8］，物質(zhì)的質(zhì)量隨速率的變化而變化，故對于相同宏觀質(zhì)量，不同溫度的同種氣體，溫度高意味著具有更大的平均分子運動速率，相應(yīng)分子運動質(zhì)量也會隨之變大，反之，溫度低時，相應(yīng)的運動速率變小，分子運動質(zhì)量也將隨之變小.于是，我們可以知道不同溫度的同種氣體在宏觀質(zhì)量相同的情況下，分子的數(shù)目應(yīng)該不相同，因此推出T=(T1+T2)/2的結(jié)論的前提已不再成立了.本項目將結(jié)合分子動力學(xué)和狹義相對論，對此問題進行探索、分析和論證.

1 計算在相同質(zhì)量、不同溫度下同種氣體所含的分子數(shù)

我們先取質(zhì)量同為M，溫度分別為T1、T2的同種氣體，假設(shè)氣體都處于熱平衡狀態(tài)，根據(jù)麥克斯韋速率分布律［3～6］，有

根據(jù)狹義相對論［4］:

當v∈(0，c)時，上式有意義.

由(2)式質(zhì)速方程我們知道，分子的質(zhì)量是隨著分子運動速率的變化而變化，而麥克斯韋速率分布函數(shù)即(1)式是在分子的質(zhì)量不變的情況下得到的，所以麥克斯韋速率分布函數(shù)中的歸一化常數(shù)C將發(fā)生變化.我們對麥克斯韋分布速率函數(shù)(1)式進行修正有:

其中，C0(T)是新的歸一化常數(shù).

設(shè)m0為單個氣體分子的靜止質(zhì)量，N為總的分子數(shù)，根據(jù)麥克斯韋速率分布律，處在速率為v～v+dv區(qū)間內(nèi)的氣體分子總質(zhì)量為

將(3)式代入(5)式得

由速率分布函數(shù)的歸一化條件可得

所以，新的歸一化常數(shù)C0(T):

將(2)式代入(6)式得

根據(jù)(9)式，畫出下圖1所示的曲線，該曲線形象地描述出氣體分子數(shù)N與溫度T之間的關(guān)系:隨著溫度的變化，氣體的分子數(shù)也在不斷變化.而不是人們所認為的那樣:質(zhì)量相同的氣體無論溫度如何改變，分子數(shù)都不變.

2 在狹義相對論的基礎(chǔ)上重新建立更為精確的溫度微觀表達式

由分子動力學(xué)理論中的溫度微觀表達式可知，氣體分子的平均平動動能只與溫度有關(guān)，并與熱力學(xué)溫度成正比，即:，則對于速率在o～ c范圍內(nèi)的氣體分子的平均平動動能為

由(2)、(3)、(10)式，我們可得到更為精確的溫度微觀表達式所應(yīng)滿足的方程如下:

3 物質(zhì)混合前后溫度的變化規(guī)律

假設(shè)同種氣體的溫度分別為T1、T2，總分子數(shù)分別是N1、N2，則它們的分子平均平動動能分別為

混合前的同種氣體分子總動能為

令N1=λN2，因為我們從前面的N－T圖像可知，在不同溫度下，質(zhì)量相同的同種氣體所含分子數(shù)不同，即令N1≠N2，所以λ≠1.

將N1=λN2代入(13)式可得:

進而，由于T1≠T2，λ≠1，

即

故

4 結(jié)論

本文首先論證了質(zhì)量相同、溫度分別為T1、T2的同種氣體的分子數(shù)不相同，推翻了T=(T1+T2)/2成立的前提條件，進而經(jīng)過進一步的推導(dǎo)，證明出混合達到熱平衡后的溫度T≠(T1+T2)/2.同時，在此基礎(chǔ)上建立了更加精確的溫度微觀表達式所應(yīng)滿足的方程.

［1］張志杰.分子動力學(xué)方法計算氣體的物理性質(zhì)［D］.秦皇島:燕山大學(xué)，2010:1－10.

［2］藍建慧.從頭計算分子動力學(xué)方法及其應(yīng)用［J］.石油大學(xué)學(xué)報，2005，29(4):143－146.

［3］李椿，章立源，錢尚武.熱學(xué)［M］.2版.北京:高等教育出版社，2008:44－61.

［4］漆安慎，杜嬋英.力學(xué)［M］.2版.北京:高等教育出版社，2005:421－440.

［5］汪志誠.熱力學(xué)·統(tǒng)計物理［M］.3版.北京:高等教育出版社，2003:246－261.

［6］張輝，劉德磊.經(jīng)典熱力學(xué)發(fā)展概述［J］.廣州化工，2012，40(2):26－28.

［7］張元仲.狹義相對論實驗基礎(chǔ)［M］.北京:科學(xué)出版社，1994:51－63.

［8］黃志洵.論狹義相對論的理論發(fā)展和實驗檢驗［J］.中國工程科學(xué)，2003，5(5):7－17.