譚貌，段斌，周嘯，李友芝

(湘潭大學(xué) 智能計算與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗室，湖南 湘潭，411105)

軋制規(guī)程設(shè)計是板帶鋼材重要生產(chǎn)管理環(huán)節(jié)，合理的軋制規(guī)程可以在滿足設(shè)備及工藝約束前提下降低軋機(jī)負(fù)荷，節(jié)約生產(chǎn)能源[1]。軋制規(guī)程設(shè)計最重要的工作是合理分配道次板厚壓下量，壓下分配滿足多階段最優(yōu)決策基本條件[2]。動態(tài)規(guī)劃法可以有效求解多階段決策問題。張曉丹等[2]以總軋制能耗最小、張海東等[3]以改善板形為目標(biāo)，采用動態(tài)規(guī)劃法進(jìn)行軋制規(guī)程優(yōu)化，計算時間短，方法實(shí)用性強(qiáng)，但不足之處在于對板厚壓下量進(jìn)行離散化處理，算法效率提高的同時降低了求解精度。群體演化計算是目前廣泛研究的優(yōu)化算法，適合求解連續(xù)優(yōu)化問題。魏立新等[4-6]采用遺傳算法、蟻群算法、蛙跳算法等幾種典型群體演化算法實(shí)現(xiàn)了軋制規(guī)程優(yōu)化求解，效果較好，但是，對工程計算復(fù)雜性考慮不足。粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization，PSO)是一種新的群體演化算法[7]。王建輝等[8-9]基于PSO 算法進(jìn)行板帶軋制規(guī)程優(yōu)化，針對問題特點(diǎn)進(jìn)行算法改進(jìn)，應(yīng)用效果良好。PSO 算法改進(jìn)的常用方法有慣性權(quán)重動態(tài)調(diào)整[10-11]、加速系數(shù)動態(tài)調(diào)整[12]、引入鄰域平均值[13]以及智能算法混合[14]等?，F(xiàn)有研究中，基于PSO 的軋制規(guī)程優(yōu)化用于板帶連軋較多，中厚板軋制為多道次單軋，軋制過程參數(shù)計算更加復(fù)雜、耗時，對算法收斂速度要求高，同時軋件變形程度大，軋制規(guī)程優(yōu)化時目標(biāo)搜索空間增大，算法更易陷入局部收斂。為此，本文作者提出一種改進(jìn)PSO 算法，通過構(gòu)造新的慣性權(quán)重和加速系數(shù)非線性同步調(diào)整策略平衡算法在不同階段的全局搜索和精確搜索能力，引入局部平均值的同時構(gòu)造非線性局部加速系數(shù)，以盡量減小對收斂速度的影響；綜合考慮設(shè)備能力及工藝約束，以最小化軋制能耗為目標(biāo)建立軋制規(guī)程的能量優(yōu)化模型，基于改進(jìn)PSO 規(guī)劃最佳道次板厚分配實(shí)現(xiàn)軋制能耗最小化。

1 問題描述及相關(guān)計算模型

1.1 問題描述

中厚板軋制過程熱力耦合，其中最大的能量消耗為使金屬產(chǎn)生形變所做的功[15]。

若總計n 個軋制道次，第i 個道次的軋制能耗為Ai，軋制過程消耗的總能量為各個道次能耗累加值。壓下規(guī)程能量優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為

優(yōu)化過程同時滿足以下設(shè)備能力和工藝約束條件。

(1) 各道次軋制壓力Pi應(yīng)滿足

0＜Pi≤Pimax

其中：Pimax為第i 道次機(jī)架的最大軋制壓力。

(2) 各道次軋制力矩Mi應(yīng)滿足

0＜Mi≤Mimax

其中：Mimax為第i 道次機(jī)架的最大軋制力矩。

(3) 各道次軋制功率Ni應(yīng)滿足

0＜Ni≤Nimax

其中：Nimax為第i 道次機(jī)架的最大軋制功率。

(4) 各道次壓下率ei應(yīng)滿足

eimin≤ ei≤eimax

其中：eimin和eimax分別為第i 道次允許的最小和最大道次壓下率。

1.2 相關(guān)計算模型

軋制過程參數(shù)計算是熱軋領(lǐng)域的經(jīng)典問題，基于文獻(xiàn)[15-16]，對其進(jìn)行介紹。

1.2.1 軋制力計算

軋制力P 采用經(jīng)典SIMS 公式進(jìn)行計算：

式中：W 為軋件寬度；R′為考慮彈性壓扁的軋輥半徑；Δh 為軋件的厚度壓下量；Qp為應(yīng)力狀態(tài)系數(shù)函數(shù)；σ為軋件材料的平均變形抗力。

軋輥壓扁半徑R′ 可采用式(3)和式(4)所示的Hitchcock 公式進(jìn)行計算：

其中：E 為軋輥彈性模量；v 為軋件泊松比，熱軋中可近似等于0.3。軋制力和壓扁半徑反復(fù)迭代計算，直至壓扁半徑保持穩(wěn)定。

粗軋和精軋階段Qp分別采用式(5)所示的采利柯夫公式和式(6)所示的回歸公式進(jìn)行計算：

式中：lc為軋輥與軋件接觸弧的水平投影長度；hc為軋制前后的軋件平均厚度；ε 為厚度壓下率。

平均變形抗力采用以下計算式進(jìn)行計算：

式中：σ0，a1，a2，a3，a4，a5和a6為與材料化學(xué)成分相關(guān)的系數(shù)，具體取值由實(shí)驗數(shù)據(jù)回歸分析確定；T為軋件表面熱力學(xué)溫度；μ 為采用對數(shù)應(yīng)變方法計算的壓下變形速度；e 為對數(shù)應(yīng)變系數(shù)。

1.2.2 軋制力矩計算

根據(jù)軋制力和力臂計算求軋制力矩M：

式中：a 為軋制力臂長度；φ 為力臂系數(shù)。

1.2.3 軋制功率計算

軋制功率N 由軋制力矩和軋輥轉(zhuǎn)速計算取得：

式中：ω 為軋輥轉(zhuǎn)動角速度。

1.2.4 軋制能耗計算

單道次軋制過程的能量能耗A 與軋制力矩間存在等式計算關(guān)系：

則

式中：φ 為軋件通過軋輥期間內(nèi)軋輥的轉(zhuǎn)角；ω 為軋輥轉(zhuǎn)動的角速度；t 為軋制時間；l1為軋件的軋后長度；f 為軋制前滑值。

1.2.5 溫降計算

變形抗力是軋制力計算的重要組成部分，溫度直接參與變形抗力計算。在軋制過程中，能量消耗的計算需將溫度因素考慮在內(nèi)。板帶軋制時，一般認(rèn)為對流和傳導(dǎo)所散失的熱量與變形功所轉(zhuǎn)化的熱量抵消，主要考慮高溫下軋件熱輻射帶來的溫降以及高壓水除磷帶來的溫降。

輻射溫降ΔTf計算方法為

式中：k1為考慮散熱條件的系數(shù)；t 為冷卻時間；h 為軋件厚度。

高壓水除磷溫降ΔTd計算方法為

式中：T0為環(huán)境熱力學(xué)溫度；εr為軋件相對黑度。

2 改進(jìn)PSO 算法

粒子群優(yōu)化算法(PSO)由Kennedy 和Eberhart 于1995 年提出[7]，是一種基于群體智能的演化計算方法。在粒子群算法的每一個演化代，粒子的信息被組合起來作為速度用以調(diào)整每一維上的分量，繼而被用來計算新的粒子位置。粒子在多維空間中不斷改變它們的狀態(tài)，直到種群達(dá)到平衡或算法達(dá)到最大迭代次數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)PSO算法[17]在原始PSO算法[7]基礎(chǔ)上引入慣性權(quán)重，粒子速度更新公式為

式中：w 為慣性權(quán)重，用于控制粒子歷史速度對當(dāng)前速度的影響；c1和c2分別為認(rèn)知加速系數(shù)和社會加速系數(shù)，分別表示粒子的個體和全局最優(yōu)位置對當(dāng)前速度的影響；r1和r2為在[0,1]范圍內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)；Pib為粒子的個體歷史最好位置；Pgb為粒子的全局歷史最好位置；xid,n為第n 個演化代粒子的位置；vid,n和vid,n+1分別為第n 代和n+1 個演化代粒子的速度。

中厚板軋制過程熱力耦合，軋制規(guī)程計算復(fù)雜、耗時，軋件變形程度大，目標(biāo)搜索空間大，對算法收斂速度和全局搜索能力要求均較高。PSO 本質(zhì)上是一種隨機(jī)搜索算法，其全局搜索能力受慣性權(quán)重和全局最優(yōu)粒子影響很大，w 越大，則粒子全局搜索能力越強(qiáng)；w 越小，則粒子局部搜索能力越強(qiáng)[9]。本文改進(jìn)PSO 算法的粒子速度更新策略，通過三角函數(shù)的平移和縮放，在一定值域同時非線性動態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重值和加速系數(shù)。

動態(tài)調(diào)整的計算函數(shù)為：

式中：cmax和cmin分別為系數(shù)最大和最小取值；n 為當(dāng)前迭代次數(shù)；kmax為最大迭代次數(shù)。與線性調(diào)整相比，f1使得較大的系數(shù)取值在迭代初期較好保持，而在迭代中后期快速減小，f2反之。

算法中慣性權(quán)重和加速系數(shù)非線性調(diào)整的指導(dǎo)思想是：在搜索前期大范圍搜索內(nèi)充分發(fā)揮個體的尋優(yōu)能力，提高收斂速度，而在搜索中后期迅速加強(qiáng)粒子的局部搜索能力，快速獲取精確解。

改進(jìn)的慣性權(quán)重、認(rèn)知加速系數(shù)和社會加速系數(shù)分別按下式進(jìn)行計算：

式中：wmax，wmin和wn分別為粒子速度的最大慣性權(quán)重、最小慣性權(quán)重和第n 次迭代后的慣性權(quán)重；c1max，c1min和c1,n分別為粒子的最大、最小和第n 次迭代后的認(rèn)知加速系數(shù)；c2max，c2min和c2,n分別為粒子的最大、最小和第n 次迭代后的社會加速系數(shù)。

為使粒子擺脫局部極值，在粒子速度更新公式中引入粒子局部平均值[13]，并與本文的非線性系數(shù)調(diào)整策略相結(jié)合構(gòu)造局部加速系數(shù)。局部加速系數(shù)非調(diào)整的指導(dǎo)思想是：前期大范圍搜索時盡量減小對粒子個體尋優(yōu)能力的干擾，不影響收斂速度，后期逐步增大局部擾動，輔助粒子擺脫局部極值。

改進(jìn)的粒子速度更新公式為：

式中：c3為局部加速系數(shù)；r3為[0,1]范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；Plb為粒子群環(huán)形邏輯結(jié)構(gòu)上若干最近粒子的位置平均值[13]；c3max，c3min和c3,n分別為局部加速系數(shù)c3的最大、最小和第n 次迭代后的取值。

3 軋制規(guī)程能量優(yōu)化設(shè)計

3.1 決策變量選取

本文通過規(guī)劃最佳道次板厚分配實(shí)現(xiàn)軋制能耗目標(biāo)最優(yōu)，板厚分配由道次壓下率確定，若直接采用道次壓下率作為決策變量，則問題中關(guān)于決策變量還隱含下式連乘約束條件：

式中：hsrc為原始板坯厚度；hdest為最終目標(biāo)鋼板厚度；ei為第i 個道次的壓下率。該約束條件為關(guān)于道次壓下率決策變量的非線性約束條件，計算處理較復(fù)雜，若強(qiáng)行轉(zhuǎn)化為線性約束條件，則可能導(dǎo)致較大誤差。為此，重新選取道次軋件出口厚度作為決策變量，定義x=[x1x2… xn]。其中，xi為第i 道次軋件出口厚度，x1=hsrc，xn=hdest，則壓下率約束條件轉(zhuǎn)化為如下線性不等式約束條件：

以軋件出口厚度為決策變量，以軋制能耗最小為優(yōu)化目標(biāo)，粒子群優(yōu)化的適應(yīng)度函數(shù)為

3.2 軋制規(guī)程能量優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)

中厚板軋制規(guī)程能量優(yōu)化流程如圖1 所示。

圖1 軋制規(guī)程能量優(yōu)化流程圖Fig.1 Flowchart of energy optimization for rolling schedule

優(yōu)化方法的基本思想是：令道次壓下量基于原始壓下規(guī)程按比例上下浮動，得到粒子位置取值上下限；為保證鋼板板形和質(zhì)量，設(shè)置道次壓下率限制；基于改進(jìn)PSO 算法搜索適應(yīng)度函數(shù)值最小的軋制規(guī)程方案；基于該軋制規(guī)程計算軋制參數(shù)，根據(jù)軋機(jī)參數(shù)限制和道次壓下率限制校核軋制規(guī)程。

在算法優(yōu)化過程中對約束條件進(jìn)行校核，若粒子位置不滿足約束條件則慣性權(quán)重清零。粒子速度更新不再受歷史速度的影響，但是，在社會加速、個體加速以及局部加速的影響下粒子還能繼續(xù)移動。達(dá)到限定迭代次數(shù)后若仍未找到滿足約束條件的解，則重新啟動計算過程。本文在已有軋制規(guī)程上進(jìn)行優(yōu)化，壓下率調(diào)整限定在一定幅值內(nèi)，且工廠經(jīng)驗規(guī)程對設(shè)備能力和工藝約束留有一定裕量，所以，不滿足約束的情況不頻繁，該種處理方法是適用的。

3.3 算法參數(shù)選取

在實(shí)際應(yīng)用中，必須對算法參數(shù)進(jìn)行實(shí)例化，參照文獻(xiàn)中常用取值進(jìn)行試驗修正。本文PSO 算法的參數(shù)值選取如下。

粒子群規(guī)模設(shè)定為50，迭代次數(shù)n 限定為200 次，w 的調(diào)整范圍為[0.90, 0.40]，c1的調(diào)整范圍為[1.25,0.50]，c2的調(diào)整范圍為[0.50,1.25]，c3的調(diào)整范圍為[0.30,0.75]，w，c1，c2和c3分別按式(18)，(19)，(20)和(22)在各自值域內(nèi)非線性調(diào)整；粒子的飛行速度按式(21)的改進(jìn)速度更新公式調(diào)整。

4 實(shí)驗及結(jié)果分析

以雙機(jī)架中厚板軋機(jī)軋制規(guī)程優(yōu)化設(shè)計為例，按設(shè)定軋機(jī)參數(shù)值和算法參數(shù)值，基于本文改進(jìn)PSO 算法進(jìn)行優(yōu)化計算。

軋機(jī)參數(shù)設(shè)定如表1 所示。

表1 雙機(jī)架中厚板軋機(jī)參數(shù)Table 1 Parameters of dual rack plate mill

以常見的Q235 鋼種作為軋件材料，設(shè)定材料相關(guān)系數(shù)的回歸分析值[16]。板坯料長×寬×厚為2 900 mm×2 450 mm×245 mm，軋后目標(biāo)鋼板長×寬×厚為59 208 mm×2 450 mm×12 mm；軋件初始溫度為1 150 ℃，軋制速度按原始規(guī)程軋制確定；原始規(guī)程包含12 個道次，前5 個道次為粗軋道次，道次間隔時間為5 s，后5 個道次為精軋道次，道次間隔時間為10 s，軋制規(guī)程優(yōu)化不涉及整形和展寬道次。

使用上述軋機(jī)參數(shù)值和3.3 節(jié)中選取的算法參數(shù)值，基于改進(jìn)PSO 算法進(jìn)行優(yōu)化計算。

原始軋制規(guī)程各道次的軋件出口厚度為x = [178.0, 140.0, 108.0, 83.0, 64.0, 49.0, 38.0, 29.0,22.0, 17.0, 13.5, 12.0] mm。

為保證鋼板板形和質(zhì)量，道次壓下率限定在30%以內(nèi)，末道次壓下率限定為10%～15%。令道次壓下量基于原始軋制規(guī)程上下浮動3%，計算軋件出口厚度范圍。粒子群搜索過程中基于軋機(jī)參數(shù)限制和道次壓下率限制校核壓下規(guī)程的有效性。

計算得到的最佳適應(yīng)度函數(shù)值為

對應(yīng)的優(yōu)化后各個道次的軋件出口厚度為x = [178.7, 134.7, 103.8, 79.8, 61.5, 47.1, 36.5, 27.9,21.6, 17.2, 14 1]。

優(yōu)化后軋制規(guī)程的詳細(xì)參數(shù)與原始軋制規(guī)程參數(shù)的對比情況見表2。

表2 原始軋制規(guī)程與優(yōu)化后軋制規(guī)程參數(shù)對比Table 2 Parameter comparison of original rolling schedule and optimized rolling schedule

從表2 可以看出：優(yōu)化后軋制規(guī)程滿足軋機(jī)參數(shù)限制和道次壓下率限制，軋制規(guī)程有效；同時，采用改進(jìn)PSO 算法優(yōu)化后的軋制規(guī)程與原始軋制規(guī)程相比，各道次累計軋制能耗降低：[(1 572.21 -1 545.87)/1 572.21] ×100%=1.7%。

為檢驗算法效果，分別選用遺傳算法GA[4]、標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法 BPSO[17]、線性慣性權(quán)重粒子群算法LWPSO[10]、考慮環(huán)形鄰域平均值的粒子群算法LAPSO[13]和本文改進(jìn)算法IPSO，GA 算法按表3 設(shè)置參數(shù)值，PSO 算法按表4 設(shè)定參數(shù)值，運(yùn)行1 次的適應(yīng)度函數(shù)曲線對比結(jié)果如圖2 所示。

從圖2 可以看出：除LWPSO 外，幾種算法限定迭代次數(shù)內(nèi)均求得相同最優(yōu)解；LWPSO 局部收斂在于其慣性權(quán)重快速收縮導(dǎo)致全局搜索能力降低；BPSO依賴于較大慣性權(quán)重提高全局搜索能力，在110 次迭代后搜索到最優(yōu)解；LAPSO 適應(yīng)度函數(shù)曲線在多個平緩階段后繼續(xù)下降，110 次迭代搜索到最優(yōu)值，其擺脫局部極值的能力得以體現(xiàn)；IPSO 受改進(jìn)粒子速度更新策略中多重因素影響，收斂速度較快，約迭代75次即達(dá)到最優(yōu)值，搜索的最優(yōu)值與前述算法一致；GA約120 次迭代后收斂到最優(yōu)，其尋優(yōu)速度與BPSO 和LAPSO 的尋優(yōu)速度近似。

表3 GA 算法參數(shù)選取Table 3 Values of GA parameters

表4 PSO 算法參數(shù)選取Table 4 Values of PSO algorithm parameters

圖2 適應(yīng)度函數(shù)曲線對比Fig.2 Comparison of fitness function curve

群體演化算法存在一定隨機(jī)性。為進(jìn)一步檢驗算法效果，采用幾種算法對本文實(shí)例分別運(yùn)行20 次，對全局搜索能力和收斂速度進(jìn)行對比分析。

算法全局搜索能力評價由各個獨(dú)立運(yùn)行周期中得到的適應(yīng)度函數(shù)值統(tǒng)計判定，各個算法適應(yīng)度函數(shù)值的盒圖對比情況如圖3 所示。

圖3 適應(yīng)度函數(shù)值統(tǒng)計對比Fig.3 Statistical comparison of fitness function values

圖3 中，不同算法多次運(yùn)行的適應(yīng)度函數(shù)最小值相同，表示最好情況下算法優(yōu)化結(jié)果一致，但是，算法統(tǒng)計性能差異較大：LWPSO 效果較差，最大值及上四分位值偏大，且中位值與上四分位值的差距大，表明運(yùn)行結(jié)果有較多次數(shù)結(jié)果不佳；BPSO 最大值和上四分位值稍大，略比LWPSO 的大；本文所采用的GA 算法效果比BPSO 和LWPSO 的效果優(yōu)，但不穩(wěn)定，存在多次最終搜索結(jié)果無法收斂到最優(yōu)的情況。造成該現(xiàn)象的最大的原因是受限于算法收斂速度，迭代取值次數(shù)不夠大；LAPSO 和IPSO 算法效果最好，其最大、最小值重合，表明所有運(yùn)行次數(shù)中算法均收斂到最優(yōu)。此外，BPSO 和LWPSO 算法統(tǒng)計結(jié)果中存在離群點(diǎn)且與最小值絕對差值較大，LAPSO 無離群點(diǎn)，IPSO 有1 個離群點(diǎn)但與最小值絕對差值很小，這說明引入局部平均值的LAPSO 和IPSO 全局搜索能力強(qiáng)，優(yōu)化結(jié)果可靠性高。

算法收斂速度由20 次運(yùn)行中各個獨(dú)立運(yùn)行周期內(nèi)搜索到最優(yōu)值的迭代次數(shù)體現(xiàn)，統(tǒng)計對比結(jié)果見圖4。

圖4 迭代次數(shù)統(tǒng)計對比Fig.4 Statistical comparison of iterations

從圖4 可以看出：LWPSO 迭代次數(shù)統(tǒng)計的最小值、中位值、最大值以及上、下四分位值均最小，表明該算法收斂最快，但是，因為容易陷入局部極值，在本文實(shí)例場景中應(yīng)用效果不佳；BPSO 迭代次數(shù)統(tǒng)計結(jié)果比LWPSO 的差，且全局搜索能力無明顯增強(qiáng)，算法效果一般；與BPSO 和LWPSO 相比，LAPSO 的各項統(tǒng)計指標(biāo)明顯增大，說明算法全局搜索能力增強(qiáng)的同時收斂速度下降代價太大；IPSO 與LAPSO 相比除最小值外，其他幾項指標(biāo)明顯領(lǐng)先，說明算法收斂速度較大提高，綜合考慮其全局搜索能力，效果最優(yōu)。與各種PSO 算法相比，GA 算法達(dá)到搜索最優(yōu)值所需的迭代次數(shù)最多，收斂速度最慢，充分體現(xiàn)出PSO 算法速度快的優(yōu)點(diǎn)。

實(shí)驗結(jié)果綜合統(tǒng)計分析表明：本文的改進(jìn)PSO 算法應(yīng)用于軋制規(guī)程優(yōu)化的實(shí)際運(yùn)行效果滿足應(yīng)用需求。

5 結(jié)論

(1) 提出一種改進(jìn)PSO 算法，通過構(gòu)造新的慣性權(quán)重和粒子加速系數(shù)非線性調(diào)整策略平衡算法不同階段的全局搜索能力和精確搜索能力，引入局部平均值輔助粒子擺脫局部極值的同時構(gòu)造非線性局部加速系數(shù)，減小對收斂速度的影響。

(2) 以雙機(jī)架中厚板軋機(jī)軋制規(guī)程優(yōu)化設(shè)計為例，綜合考慮設(shè)備能力和壓下率約束條件，基于改進(jìn)PSO 算法進(jìn)行軋制規(guī)程能量優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化后軋制規(guī)程所需軋制能耗明顯降低。

(3) 與遺傳算法、標(biāo)準(zhǔn)PSO 及幾種常用的改進(jìn)算法相比，本文算法全局搜索能力強(qiáng)且收斂速度快，綜合性能好。

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