劉文政， 葉繼紅

(1.東南大學(xué)混凝土與預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點實驗室，江蘇 南京 210018；2.山東省建筑科學(xué)研究院, 山東 濟南 250031)

引 言

網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的截面優(yōu)化設(shè)計是指在滿足規(guī)范和規(guī)程要求的條件下，通過優(yōu)化桿件截面尺寸使結(jié)構(gòu)重量減輕，達到減小用鋼量、降低結(jié)構(gòu)造價的目的。早期國內(nèi)外學(xué)者采用傳統(tǒng)優(yōu)化方法對網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化研究[1～4]。近幾年來，以遺傳算法、模擬退火算法為代表的一些智能優(yōu)化算法在網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的應(yīng)用日益廣泛[5～12]。遺傳算法(GA)是基于達爾文的生物進化理論和孟德爾的遺傳學(xué)說，通過模擬自然選擇和有性繁殖，尋找優(yōu)化問題的相對最優(yōu)解[13]。與傳統(tǒng)優(yōu)化方法相比，遺傳算法的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在：變量采用編碼處理；直接以目標(biāo)函數(shù)值作為搜索信息，不受目標(biāo)函數(shù)和約束空間的連續(xù)性或可導(dǎo)性限制；隱含的并行性；概率轉(zhuǎn)移規(guī)則。模擬退火算法(SA)是模擬統(tǒng)計物理學(xué)中固體退火過程而建立的一種隨機搜索算法[14]。它是通過Metropolis算法迭代實現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化。模擬退火算法的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在：概率接受準(zhǔn)則，能夠避免陷入局部最優(yōu)；通用性和靈活性，適用于目標(biāo)函數(shù)難以求導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)不存在的優(yōu)化問題。然而采用上述兩種智能優(yōu)化方法對實際結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化時，遺傳算法存在局部搜索能力不強和后期收斂速度慢的缺點，模擬退火算法存在計算效率低的缺點。

單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)在地震作用下主要存在兩種倒塌破壞模式，即動力失穩(wěn)和強度破壞[15]，其中動力失穩(wěn)模式的延性和耗能能力較差，破壞具有突然性，是一種非理想的破壞模式。如果單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)在未預(yù)料的強震作用下發(fā)生此類無征兆破壞，就會危及人民生命安全并造成巨大經(jīng)濟損失。因此有必要在單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計過程中對其倒塌模式進行控制。本文以結(jié)構(gòu)桿件重量最輕為優(yōu)化目標(biāo)，以桿件截面尺寸為優(yōu)化變量，考慮長細比、撓度、桿件強度及穩(wěn)定性為約束條件，建立了單層球殼結(jié)構(gòu)倒塌破壞模式優(yōu)化模型。同時基于構(gòu)形易損性理論，將構(gòu)形度作為約束條件用于控制結(jié)構(gòu)在強震下的倒塌破壞特征。將遺傳算法和模擬退火算法相結(jié)合，基于混合策略構(gòu)造出遺傳-模擬退火算法(GASA)。采用C++語言編制GASA計算程序，并與APDL語言編寫的單層球殼結(jié)構(gòu)ANSYS分析命令流相結(jié)合，得到GASA-ANSYS優(yōu)化程序。應(yīng)用GASA-ANSYS優(yōu)化程序?qū)σ粋€跨度為70 m的K6型單層球殼結(jié)構(gòu)進行截面優(yōu)化，并通過優(yōu)化前后構(gòu)形易損性分析和地震動力時程分析對優(yōu)化結(jié)果進行驗證。

1 單層網(wǎng)殼破壞模式優(yōu)化模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

以結(jié)構(gòu)桿件重量最輕為優(yōu)化目標(biāo)，即

(1)

式中W為單層球殼結(jié)構(gòu)的桿件重量，ρ為桿件材料密度，Ai為第i根桿件的截面積，Li為第i根桿件的幾何長度，nm為桿件數(shù)量。

1.2 優(yōu)化變量

以桿件截面尺寸為優(yōu)化變量，即

(2)

式中Di為第i根桿件的外徑，ti為第i根桿件的壁厚，Dmin和Dmax分別為桿件外徑的最小值和最大值，tmin和tmax分別為桿件壁厚的最小值和最大值，其余符號同式(1)。實際結(jié)構(gòu)桿件的外徑Di與壁厚ti取值均為離散型數(shù)據(jù)。本文優(yōu)化過程中變量Di和ti均按照GB/T 8162-2008《結(jié)構(gòu)用無縫鋼管》取值[16]，本文選取128種桿件規(guī)格(表1所示)，其中外徑Di的取值范圍為89～180 mm，壁厚ti的取值范圍為3.5～12 mm。

表1 鋼管規(guī)格表

1.3 約束條件

(1)長細比約束條件[17]

(3)

式中λi為第i根桿件的長細比；l0i為第i根桿件的計算長度；ii為第i根桿件的截面回轉(zhuǎn)半徑；[λ]為單層球殼結(jié)構(gòu)的容許長細比。其中受壓桿件的容許長細比取150，受拉桿件的容許長細比取300。

(2)位移約束條件[17]

(4)

式中wmax為單層球殼結(jié)構(gòu)節(jié)點的最大撓度；L為結(jié)構(gòu)跨度。

(3)強度約束條件[18]

(5)

式中Ni為第i根桿件的軸力值；Ani為第i根桿件的凈截面積；Mxi和Myi分別為第i根桿件兩個主軸方向的彎矩值；γx和γy為截面塑性發(fā)展系數(shù)，此處取值為1.15；Wnxi和Wnyi分別為第i根桿件兩個主軸方向的凈截面抵抗矩；f為構(gòu)件材料的強度設(shè)計值。

(4)穩(wěn)定約束條件[18]

(i=1,2,3,…,nm)

(6)

(7)

式中λi為第i根桿件的長細比，Ai為第i根桿件的毛截面面積。

(5)構(gòu)形度約束條件

Blockley教授基于圖論針對桿系結(jié)構(gòu)建立了構(gòu)形易損性理論[19～21]。Ye等將構(gòu)形易損性理論用于研究單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的失效機理[22]，通過振動臺試驗結(jié)果與構(gòu)形易損性分析結(jié)果對比，得出網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)在地震作用下的倒塌破壞模式與構(gòu)形度Q值密切相關(guān)，即構(gòu)形度Q值變化均勻，則結(jié)構(gòu)整體剛度均勻，地震作用下易出現(xiàn)強度破壞倒塌模式；構(gòu)形度Q值變化不均勻，則結(jié)構(gòu)存在薄弱區(qū)域，地震作用下易出現(xiàn)動力失穩(wěn)倒塌破壞模式?；谏鲜龅顾鷻C理，在優(yōu)化過程中通過控制構(gòu)形度Q值的對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差，使整個網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的構(gòu)形度Q值變化均勻，結(jié)構(gòu)在強震作用下的倒塌模式具有強度破壞特征，即

(8)

(9)

式中d為節(jié)點數(shù)量，qk為節(jié)點jk的構(gòu)形度，qk計算如下

(10)

式中Kkk為結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣中與節(jié)點jk對應(yīng)的子矩陣，c為子矩陣Kkk的維數(shù)，λi為子矩陣Kkk的特征值，稱為節(jié)點主剛度系數(shù)，det(Kkk)為子矩陣Kkk的行列式值。

2 優(yōu)化算法及程序

2.1 遺傳-模擬退火算法

遺傳算法(GA)是基于生物進化理論和遺傳學(xué)說而形成的一種隨機概率搜索算法。在遺傳算法中采用染色體表示優(yōu)化問題的解，通過對染色體的適應(yīng)度評價和基因的遺傳操作，有效利用已有的信息指導(dǎo)搜索，最終收斂于問題的近似最優(yōu)解。遺傳算法主要實施步驟如下：(1)編碼和生成初始種群；(2)計算適應(yīng)度；(3)選擇、交叉和變異；(4)收斂性判斷。模擬退火算法(SA)是基于統(tǒng)計物理學(xué)中固體退火過程而建立的一種隨機搜索算法。在模擬退火算法中，將問題的解對應(yīng)固體的微觀狀態(tài)，目標(biāo)函數(shù)值對應(yīng)固體處于該微觀狀態(tài)的能量，控制參數(shù)t代替固體退火過程中的溫度。模擬退火算法的具體實施步驟如下：對于控制參數(shù)t的每一個取值，算法從某個初始解開始，持續(xù)進行“產(chǎn)生新解—概率準(zhǔn)則判斷—接受/舍棄”的迭代過程；經(jīng)過大量變換后，可以得到在給定控制參數(shù)t值下優(yōu)化問題的相對最優(yōu)解；然后減小控制參數(shù)t的數(shù)值，重復(fù)上述迭代過程。當(dāng)t趨于0時，算法最終收斂于問題的最優(yōu)解。

遺傳算法和模擬退火算法能夠解決復(fù)雜、高度非線性和具有隱式約束的優(yōu)化問題。當(dāng)采用這兩種算法對實際結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化時，遺傳算法存在局部搜索能力不強和早熟收斂的問題，而模擬退火算法存在計算效率低下的問題。針對這兩種算法存在的優(yōu)缺點，本文采用混合策略構(gòu)造出遺傳-模擬退火算法(GASA)，其混合策略的內(nèi)容如下：遺傳算法利用模擬退火算法的解作為初始種群，通過選擇、交叉和變異使后代個體模式更加優(yōu)良，搜索過程快速進入最有希望的重點區(qū)域，防止優(yōu)化效率遲滯；模擬退火算法對遺傳算法得到的種群進行進一步優(yōu)化，高溫下的概率接受準(zhǔn)則有利于優(yōu)化過程中狀態(tài)大范圍的遷移，避免陷入局部最優(yōu)；低溫下的概率接受準(zhǔn)則有利于優(yōu)化過程中狀態(tài)的局部小范圍移動，防止過早收斂。這種混合策略實現(xiàn)了兩種算法優(yōu)化機制的融合和優(yōu)化行為的互補，為解決網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)復(fù)雜優(yōu)化問題提供了路徑。遺傳-模擬退火算法的具體實施步驟如下：

(1)編碼：本文采用二進制編碼方案，其優(yōu)點是搜索能力強，交叉和變異等遺傳操作便于實現(xiàn)，并且適用于處理離散變量的優(yōu)化問題。設(shè)問題的某個離散優(yōu)化變量xi在取值范圍內(nèi)存在d個值，則此變量對應(yīng)的二進制編碼串位數(shù)mi應(yīng)該滿足下式

(11)

(2)適應(yīng)度函數(shù)：適應(yīng)度函數(shù)用于評價個體的優(yōu)良程度。本文的優(yōu)化目標(biāo)是使結(jié)構(gòu)桿件重量最輕，因此構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)如下

(12)

式中x為當(dāng)前種群中的一條染色體，f(x)為個體x對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值；Wmax為當(dāng)代種群中個體目標(biāo)函數(shù)的最大值。優(yōu)化模型中存在約束條件(式(3)～(8)所示)，需要采用懲罰函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為無約束條件的優(yōu)化問題。本文采用Gen和Cheng的懲罰函數(shù)[23]，其構(gòu)造如下：

(3)選擇、交叉和變異：本文采用輪盤賭選擇法，根據(jù)當(dāng)前種群中每個個體的適應(yīng)度值，選擇比較優(yōu)良的個體進行下一步的交叉和變異操作，實現(xiàn)“優(yōu)勝劣汰”。交叉操作是以一定的交叉概率Pc交換父代染色體的部分基因構(gòu)成新個體。變異操作是以一定的變異概率Pm改變?nèi)旧w編碼串中某些基因值構(gòu)成新個體。交叉和變異是遺傳算法中產(chǎn)生新個體的主要操作，交叉概率和變異概率是影響遺傳算子效率的重要參數(shù)。本文采用自適應(yīng)策略根據(jù)種群實際情況隨機調(diào)整交叉概率Pc和變異概率Pm的大小[24]，即

(4)SA狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)及溫度參數(shù)：SA狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)采用二變換法，即隨機產(chǎn)生兩個基因座位置，對處于這兩個基因座位置之間的基因采取逆序操作。為了避免初始溫度對于算法優(yōu)化質(zhì)量和優(yōu)化效率的影響，采用自適應(yīng)策略[25]，根據(jù)初始種群中個體適應(yīng)度確定初始溫度t0，即

t0=-|F0,max-F0,min|/lnpr

(18)

式中F0,max，F(xiàn)0,min為初始種群個體適應(yīng)度的最大值和最小值，pr為初始接受概率。溫度衰減函數(shù)采用指數(shù)函數(shù)，即

tk+1=αtk

(19)

式中α為溫度下降系數(shù)，k為算法當(dāng)前迭代次數(shù)。

(5)概率接受函數(shù)：采用Metropolis概率接受準(zhǔn)則，即

(20)

式中t為控制參數(shù)，F(xiàn)(j)，F(xiàn)(i)分別代表新舊個體的適應(yīng)度值。從上式可以看出：在算法開始階段，控制參數(shù)t較高，算法可以接受較差的惡化解；隨著t值的減小，只能接受較好的惡化解；最后當(dāng)t值趨于0時，不能接受惡化解。

(6)內(nèi)外循環(huán)終止準(zhǔn)則：Metropolis算法的迭代次數(shù)采用固定長度法。算法進程的終止準(zhǔn)則采用遺傳算法的停止準(zhǔn)則，即達到最大進化代數(shù)。

2.2 GASA-ANSYS優(yōu)化程序

采用C++語言編寫GASA算法主程序。采用APDL語言編寫單層球殼結(jié)構(gòu)有限元分析命令流，用于判斷種群中的個體是否滿足式(3)～(7)所示長細比、位移、桿件強度及穩(wěn)定的約束條件。采用C++語言編制單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)構(gòu)形易損性分析程序，計算種群中個體的構(gòu)形度標(biāo)準(zhǔn)差，用于判斷種群中的個體是否滿足式(8)所示的構(gòu)形度約束條件。C++程序編譯平臺為Visual C++6.0，ANSYS有限元分析軟件版本為10.0，操作系統(tǒng)為Windows XP。Visual C++6.0編程平臺具有高度靈活的開放式結(jié)構(gòu)，能夠與ANSYS有限元分析相結(jié)合實現(xiàn)批處理操作，因此整個程序?qū)崿F(xiàn)連續(xù)化計算，提高了運算效率。優(yōu)化程序流程如圖1所示。

圖1 單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化程序流程

3 單層球殼倒塌模式截面優(yōu)化

3.1 結(jié)構(gòu)布置

K6型單層球殼結(jié)構(gòu)的跨度為70 m，矢跨比為1∶3.5，徑向分割數(shù)為10，結(jié)構(gòu)布置如圖2所示。整個結(jié)構(gòu)共有930根桿件和331個節(jié)點，采用固定支座，分布在結(jié)構(gòu)最外環(huán)的每一個節(jié)點處。結(jié)構(gòu)桿件均采用Q345鋼管，彈性模量為2.06×108kN/m2，鋼材密度為7.85×103kg/m3，泊松比為0.3。根據(jù)《建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范》(GB50009-2012)，作用于網(wǎng)殼上的各種荷載標(biāo)準(zhǔn)值如下：球殼自重為0.4 kN/m2，節(jié)點自重為0.1 kN/m2，屋面板自重為0.6 kN/m2，設(shè)備管道自重為0.4 kN/m2，屋面活荷載為0.5 kN/m2，因此作用于單層球殼結(jié)構(gòu)上的均布荷載設(shè)計值為：q=1.2×恒荷載+1.4×活荷載=2.5 kN/m2，以等效集中荷載的形式作用于節(jié)點上，節(jié)點等效荷載為20.5 kN。優(yōu)化前根據(jù)靜力滿應(yīng)力條件確定結(jié)構(gòu)桿件的初始截面尺寸。

圖2 K6型單層球殼結(jié)構(gòu)布置圖

3.2 優(yōu)化參數(shù)

為了減少優(yōu)化變量的數(shù)量，將結(jié)構(gòu)對稱位置上的桿件進行歸類，每一類桿件的截面規(guī)格均相同。歸類處理后，整個結(jié)構(gòu)的桿件分為9類，即存在9組優(yōu)化變量Di×ti(i=1,2,…,9)。優(yōu)化變量與桿件位置的對應(yīng)關(guān)系及桿件初始截面尺寸如表2所示。優(yōu)化過程中，桿件截面尺寸優(yōu)化變量Di×ti(i=1,2,…,9)按照離散變量進行取值，其取值范圍如表1所示。可以看出每個截面尺寸優(yōu)化變量Di×ti的取值存在128種，根據(jù)式(11)得出每個優(yōu)化變量Di×ti對應(yīng)的二進制編碼串位數(shù)為7位，所以一條染色體對應(yīng)的二進制編碼串位數(shù)為7×9=63位。

表2 單層球殼結(jié)構(gòu)的桿件分類

3.3 優(yōu)化結(jié)果

為了對比GA算法和GASA算法的優(yōu)化性能，分別采用GA算法和GASA算法對該結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化。參照GA算法和SA算法常規(guī)的計算參數(shù)[26,27]，本文算例的優(yōu)化參數(shù)如表3所示。最終得到的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值隨算法進程的變化曲線如圖3所示，可以看出結(jié)構(gòu)重量隨算法進程逐漸降低，與GA算法相比，GASA算法可以有效避免搜索進程陷入局部最優(yōu)。GASA算法的最終目標(biāo)函數(shù)值為50 965 kg，小于GA算法得到的目標(biāo)函數(shù)值54 711 kg，與優(yōu)化前相比結(jié)構(gòu)重量減輕12%。GA算法和GASA算法的優(yōu)化結(jié)果如表4所示，可以看出，兩種算法得到的優(yōu)化結(jié)果均滿足式(3)～(8)的約束條件。

圖3 單層球殼優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)值變化曲線

表3 單層球殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化參數(shù)

表4 單層球殼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果

圖4 優(yōu)化后球殼的荷載-節(jié)點位移全過程曲線

圖5 優(yōu)化后球殼的自由簇構(gòu)形度Q值變化曲線

圖6 優(yōu)化后球殼的地震波峰值-最大節(jié)點位移曲線 (縱坐標(biāo)為輸入PGA/優(yōu)化前的臨界PGA)

按照一致缺陷模態(tài)法，對優(yōu)化后的單層球殼施加L/300初始缺陷，采用弧長法對其進行彈塑性穩(wěn)定全過程分析，其荷載-位移曲線如圖4所示?？梢钥闯?，優(yōu)化后的單層球殼結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)臨界荷載為104.2 kN，大于5倍的等效節(jié)點力，滿足靜力穩(wěn)定性要求?；跇?gòu)形易損性理論，對優(yōu)化后的單層球殼結(jié)構(gòu)進行構(gòu)形易損性分析，得到自由簇構(gòu)形度Q值的變化規(guī)律如圖5所示?？梢钥闯?，與優(yōu)化前相比，優(yōu)化后單層球殼結(jié)構(gòu)的自由簇構(gòu)形度變化均勻，沒有較大波動，說明優(yōu)化后的單層球殼結(jié)構(gòu)整體剛度均勻。

采用ANSYS有限元軟件對優(yōu)化后的單層球殼結(jié)構(gòu)進行動力時程分析。桿件采用BEAM189單元。BEAM189是ANSYS中的三節(jié)點梁單元，基于Timoshenko梁元理論，該梁在非線性分析中能考慮大變形、大轉(zhuǎn)角和大應(yīng)變效應(yīng)?？紤]鋼材的本構(gòu)關(guān)系，假設(shè)材料為理想彈塑性，屈服準(zhǔn)則采用Miss屈服準(zhǔn)則。同時考慮幾何非線性，阻尼假定為Rayleigh阻尼，阻尼比取0.02，基底分別三向輸入El-Centro地震波和TAFT地震波。結(jié)構(gòu)的重力荷載代表值為q=恒荷載+0.5×雪荷載=1.75 kN/m2，以等效集中質(zhì)量的形式作用于節(jié)點上。逐級提高輸入地震波加速度峰值(PGA)，直至結(jié)構(gòu)發(fā)生倒塌破壞，得到兩種地震波作用下結(jié)構(gòu)相對地震波加速度峰值-最大節(jié)點位移曲線如圖6所示。優(yōu)化前結(jié)構(gòu)在El-Centro地震波和TAFT地震波作用下的極限PGA分別為2 200和2 000 gal；優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的極限PGA分別為2 120和1 900 gal，仍然達到了抵御未預(yù)料的罕遇地震設(shè)防水平。從圖6可以看出，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)在隨機選取的兩種地震波作用下，強度破壞特征均更加顯著，結(jié)構(gòu)延性增強，即球殼在較低水平PGA下，產(chǎn)生一定撓度，可被使用者察覺和及時加固修復(fù)，進而避免結(jié)構(gòu)一旦經(jīng)受未預(yù)料的強震時發(fā)生突然性倒塌破壞。

4 結(jié) 論

(1)本文以結(jié)構(gòu)重量最輕為優(yōu)化目標(biāo)，以桿件截面為優(yōu)化變量，建立單層球殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型。優(yōu)化模型考慮了長細比、撓度、桿件強度及穩(wěn)定性約束條件，保證優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)滿足規(guī)范和規(guī)程要求。同時基于結(jié)構(gòu)在強震下的倒塌模式與構(gòu)形度關(guān)系，將構(gòu)形度標(biāo)準(zhǔn)差亦作為約束條件，保證優(yōu)化后結(jié)構(gòu)在強震下呈現(xiàn)理想的、有征兆的強度破壞特征。

(2)以遺傳算法(GA)為主體流程，將模擬退火算法(SA)的優(yōu)化機制引入其中，基于混合策略得到遺傳-模擬退火優(yōu)化算法(GASA)。GASA算法通過GA控制算法流程和種群并行搜索策略，與SA算法相比，提高了計算效率。通過SA的概率接受準(zhǔn)則，賦予搜索過程中各狀態(tài)可控的概率突跳性，與GA算法相比，能夠避免陷入局部最優(yōu)。同時，采用自適應(yīng)策略削弱了算法對計算參數(shù)的依賴性。

(3)采用C++語言編寫GASA優(yōu)化程序，與APDL語言編寫的結(jié)構(gòu)有限元分析命令流相結(jié)合，得到GASA-ANSYS優(yōu)化程序。采用該優(yōu)化程序?qū)缍葹?0 m的單層球殼結(jié)構(gòu)進行桿件截面尺寸優(yōu)化。優(yōu)化結(jié)果表明：優(yōu)化后結(jié)構(gòu)重量較優(yōu)化前有較為明顯的下降，同時在強震下的倒塌模式具有明顯的強度破壞特征，因此GASA-ANSYS優(yōu)化程序適用于大型單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)強震下倒塌破壞模式的截面優(yōu)化問題，且優(yōu)化效果顯著。

參考文獻：

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