王宏超, 陳 進(jìn), 董廣明

(上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200240)

引 言

由于各種干擾源和噪聲的影響，來(lái)自現(xiàn)場(chǎng)傳感器的軸承故障信號(hào)非常復(fù)雜，直接對(duì)這些信號(hào)進(jìn)行故障特征提取是非常困難的。盲源提取(Blind source extraction,BSE)技術(shù)的出現(xiàn)為這個(gè)問(wèn)題的解決提供了新的技術(shù)和手段。BSE技術(shù)是近10年來(lái)新興并引起廣泛重視的一類(lèi)信號(hào)處理方法，有時(shí)也叫盲信號(hào)抽取，它源于盲源分離(Blind source separation, BSS)技術(shù)。BSS技術(shù)在語(yǔ)音、通訊和醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域都有著成功的應(yīng)用[1～3]，但其在旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷中的應(yīng)用有著較大的局限性，其原因可歸結(jié)為如下[4]：瞬時(shí)混合模型的幅值不確定性和順序不確定性；適用于振動(dòng)信號(hào)的多通道卷積混合盲分離算法迄今仍沒(méi)有令人滿(mǎn)意的解決方案；源物理相關(guān)性的不確定性；源數(shù)的估計(jì)存在偶然性；盲源分離要求系統(tǒng)具有可逆性，但實(shí)際工程中很多機(jī)械系統(tǒng)是不可逆的。BSE相對(duì)于BSS有以下優(yōu)點(diǎn)[5]：充分利用被提取對(duì)象的先驗(yàn)信息；僅僅提取感興趣的信號(hào)；無(wú)需估計(jì)源的數(shù)目；計(jì)算量?。惶貏e適用于源數(shù)較多而感興趣信號(hào)較少的情況(如機(jī)械系統(tǒng))。綜上所述，BSE在某種程度上彌補(bǔ)了BSS的缺點(diǎn)。在既有的BSE技術(shù)中，約束獨(dú)立成分分析最具代表性，其最先由Wei Lu等人于2000年提出[5]。隨后Wei Lu分別將CICA用于圖像盲分離與醫(yī)學(xué)信號(hào)盲分離[6，7]，相對(duì)于傳統(tǒng)獨(dú)立成分分析(Independent component analysis, ICA)方法取得了不錯(cuò)的效果。Zhang Z L將CICA方法加以改進(jìn)，提出了基于形態(tài)的CICA方法并將其用于微弱腦電信號(hào)的盲源提取[8]，通過(guò)仿真合成信號(hào)和實(shí)際腦電信號(hào)驗(yàn)證了所提出方法的正確性及實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。在旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷方面，CICA也取得了一定的應(yīng)用[9]，在文獻(xiàn)[9]中Wang Z Y等將CICA用于滾動(dòng)軸承的故障診斷中，并通過(guò)仿真信號(hào)和滾動(dòng)軸承全壽命加速疲勞實(shí)驗(yàn)信號(hào)驗(yàn)證了CICA在旋轉(zhuǎn)機(jī)械盲信號(hào)提取中的有效性。然而，上述CICA在盲源提取中的成功應(yīng)用都需要以下兩個(gè)前提條件：用于構(gòu)建參考信號(hào)的目標(biāo)源信號(hào)基本周期的精確估計(jì)；正確參考信號(hào)的構(gòu)建。如文獻(xiàn)[9]所驗(yàn)證，不正確參考信號(hào)的選取會(huì)造成誤判或漏判的結(jié)果。此外，用于構(gòu)建參考信號(hào)的目標(biāo)源信號(hào)基本周期的估計(jì)值也會(huì)對(duì)提取結(jié)果造成很大的影響。然而在滾動(dòng)軸承的實(shí)際工程應(yīng)用中由于安裝精度、制造誤差及滾子相對(duì)于滾道的隨機(jī)滑動(dòng)等影響，都會(huì)造成目標(biāo)源故障信號(hào)的實(shí)際基本周期與理論計(jì)算基本周期的偏差。這樣就限制了CICA方法在旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷中的應(yīng)用。在文獻(xiàn)[10]中，Barros等提出了一種基于最佳估計(jì)延時(shí)的能快速提取周期信號(hào)的盲提取方法。但所述方法本質(zhì)上還是以目標(biāo)信號(hào)的基本周期或基本周期的整數(shù)倍作為最佳延時(shí)。本文首先用基于二階統(tǒng)計(jì)量的自相關(guān)函數(shù)算法估計(jì)目標(biāo)源信號(hào)基本周期[10]，再與基于高階統(tǒng)計(jì)量的固定點(diǎn)算法相結(jié)合的盲提取方法成功用于復(fù)雜運(yùn)行環(huán)境下滾動(dòng)軸承故障信號(hào)的盲提取[11,12]，此種方法在某種意義上來(lái)講是對(duì)文獻(xiàn)[10]所述方法的改進(jìn)。此外，此種方法相對(duì)于CICA方法具有較強(qiáng)的魯棒性：只需要大致估計(jì)目標(biāo)信號(hào)的基本周期并將其作為所述方法相關(guān)步驟的基本周期即可。同文獻(xiàn)[9]，將所述方法用于滾動(dòng)軸承全壽命加速疲勞實(shí)驗(yàn)故障信號(hào)的盲提取，并與文獻(xiàn)[9]CICA在滾動(dòng)軸承全壽命加速疲勞故障信號(hào)盲提取中的應(yīng)用作以比較，得出前者相對(duì)于后者具有更強(qiáng)的目標(biāo)源信號(hào)基本周期估計(jì)誤差的容錯(cuò)性。

1 問(wèn)題的提出

假設(shè)有一多維觀測(cè)信號(hào)矢量x(t)可表示為

x(t)=As(t)+n(t)

(1)

式中s(t)=[s1(t),s2(t),…,sn(t)]T是n×1滿(mǎn)足統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性的源信號(hào)矢量，x(t)=[x1(t),x2(t),…,xm(t)]T是m×1的混合信號(hào)矢量，矩陣A={aij}是由混合參數(shù)aij構(gòu)成的m×n階的混合矩陣。n(t)=[n1(t),n2(t),…nm(t)]T是與源信號(hào)矢量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的加性噪聲矢量。

(2)

式中 矩陣C=(ci,j)n×n被稱(chēng)為混合-分離復(fù)合矩陣，該矩陣的每一行與每一列有且僅有一個(gè)非零元素。瞬時(shí)混合模型的混合和分離過(guò)程如圖1所示。

圖1 瞬時(shí)混合和分離模型示意圖

根據(jù)傳感器數(shù)m和源數(shù)n的關(guān)系，瞬時(shí)ICA模型可劃分為3種：

當(dāng)m=n時(shí)，此時(shí)混合矩陣A是方陣，稱(chēng)為平方ICA模型；

當(dāng)m

當(dāng)m>n時(shí)，稱(chēng)為超定ICA模型。

本文是基于平方ICA模型展開(kāi)討論的。

此外，為提高計(jì)算速度及簡(jiǎn)化本文算法，首先對(duì)觀測(cè)信號(hào)x(t)進(jìn)行白化處理，即

(3)

式中V稱(chēng)為白化矩陣。以下所述所有觀測(cè)信號(hào)x(t)均為白化信號(hào)。

對(duì)于要提取的目標(biāo)源信號(hào)si，假設(shè)對(duì)一特定整數(shù)τ*有以下關(guān)系式成立

(4)

式中sj為其他非目標(biāo)源信號(hào)，k代表時(shí)間，τ*即為最佳時(shí)間延時(shí)[10]。

J(W)=E{y(k)y(k-τ*)}=WTE{x(k)x(k-τ*)T}W

(5)

在約束條件‖W‖=1下，最大化公式(5)所示的目標(biāo)函數(shù)就可以提取出目標(biāo)函數(shù)si。因?yàn)閷?duì)于目標(biāo)函數(shù)si，其關(guān)于延時(shí)為τ*的延時(shí)自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)大于0的正值，而其他非目標(biāo)源函數(shù)sj關(guān)于τ*的延時(shí)自相關(guān)函數(shù)都將為0。

忽略Rx(τ*)與Rx(τ*)T的微小差距，利用標(biāo)準(zhǔn)梯度算法，可得出文獻(xiàn)[10]的算法

(6)

式中Rx(τ*)=E{x(k)x(k-τ*)T}。盡管文獻(xiàn)[11]所述方法具有算法簡(jiǎn)潔、計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)，但是其具有以下缺點(diǎn)：

(1)即使目標(biāo)源信號(hào)si關(guān)于τ*的時(shí)延自相關(guān)函數(shù)E{si(k)si(k-τ*)}>0，但不能保證其他所有非目標(biāo)源信號(hào)sj關(guān)于τ*的時(shí)延自相關(guān)E{sj(k)sj(k-τ*)}=0(j≠i)；

(2)即使所有源信號(hào)嚴(yán)格獨(dú)立不相關(guān)，但是在實(shí)際計(jì)算中由于用源信號(hào)有限點(diǎn)數(shù)的算術(shù)平均來(lái)代替源信號(hào)的數(shù)學(xué)期望，就會(huì)造成源信號(hào)的自相關(guān)計(jì)算值不為0[15,16]，即：即使有下式成立

(7)

但也極有可能下式成立

(8)

綜上所述，文獻(xiàn)[10]所述基于二階統(tǒng)計(jì)量的盲提取方法受上述兩點(diǎn)限制，其盲提取性能的穩(wěn)定性及精確性就受到了很大的影響，甚至?xí)崛〕龇悄繕?biāo)源信號(hào)。由于本文的研究是基于瞬時(shí)線性ICA基礎(chǔ)上的，也就是假設(shè)源信號(hào)在物理意義上是相互獨(dú)立的，所以可以用高于二階統(tǒng)計(jì)量的更高階的統(tǒng)計(jì)量去改善文獻(xiàn)[10]所述的方法。以下是所述方法的介紹。

2 方法的提出

所用的方法大概分為3個(gè)步驟，如圖2所示。

圖2 所述方法流程圖

各個(gè)步驟的具體計(jì)算過(guò)程如下：

(1)目標(biāo)源信號(hào)基本周期的估計(jì)：當(dāng)滾動(dòng)軸承發(fā)生故障時(shí)，其故障基本周期可以由理論計(jì)算頻率的倒數(shù)得出；

(2)初始目標(biāo)源信號(hào)及分離矩陣計(jì)算：

式(5)所示的目標(biāo)函數(shù)

(9)

(10)

(11)

由式(10)可得出式(11)的相應(yīng)算法如下

(12)

(3)初始分離矩陣W的進(jìn)一步優(yōu)化：

(13)

為提高算法對(duì)野點(diǎn)和沖擊噪聲的魯棒性，可以采用文獻(xiàn)[11]的改進(jìn)固定點(diǎn)算法

(14)

式(13)或(14)收斂時(shí)，即可得到最佳分離矩陣W。以下的仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果均取式(13)，(14)二者之間效果最好的。

圖3 原始信號(hào)

圖4 觀測(cè)信號(hào)

圖5 不同盲提取方法得到的結(jié)果

3 仿 真

圖3為4個(gè)信號(hào)，其中圖3中的s1為準(zhǔn)周期信號(hào)，s2為正弦信號(hào)，s3為余弦信號(hào)，s4為隨機(jī)高斯白噪聲。在Matlab中任意產(chǎn)生一隨機(jī)4×4階的矩陣A對(duì)4個(gè)信號(hào)進(jìn)行混合。圖4為混合后的觀測(cè)信號(hào)。提取目標(biāo)信號(hào)是s1。圖5為用不同方法得到盲抽取結(jié)果。其中圖5中的y1為文獻(xiàn)[10]所述方法的盲抽取結(jié)果，得到了錯(cuò)誤的抽取結(jié)果；圖5中y2為文獻(xiàn)[15]所述方法的提取結(jié)果；圖5中的y3為本文所述方法的提取結(jié)果。雖然直觀上看y2與y3要都為正確的目標(biāo)源信號(hào)s1?？梢杂孟率絹?lái)對(duì)提取結(jié)果y2和y3的盲抽取精度進(jìn)行比較

(15)

將s1和y2，s1和y3分別代入式(15)得到的PI值分別為22.4和47.6 dB，由此，所述方法相對(duì)于文獻(xiàn)[15]所提出的方法具有更高的提取精度。

圖6 基于不同參考信號(hào)的CICA抽取結(jié)果

圖6是CICA方法用不同參考信號(hào)對(duì)觀測(cè)信號(hào)的盲抽取結(jié)果。其中參考信號(hào)r1為正確的參考信號(hào)，將其與觀測(cè)信號(hào)一起輸入到CICA算法中，y11為抽取的結(jié)果。從y11可以看出CICA在正確輸入?yún)⒖夹盘?hào)的情況下可以很好地抽取出目標(biāo)信號(hào)s1；不改變參考信號(hào)r1的方波周期，而改變方波的寬度即得到參考信號(hào)r2，將r2與觀測(cè)信號(hào)一起輸入到CICA算法中，y22為抽取的結(jié)果，可見(jiàn)抽取不出目標(biāo)信號(hào)。同樣不改變r(jià)1方波的寬度，而改變方波的周期得到參考信號(hào)r3，將r3與觀測(cè)信號(hào)一起輸入到CICA算法中，y33為抽取的結(jié)果，可見(jiàn)仍抽取不出目標(biāo)信號(hào)。由此，CICA算法的能否成功應(yīng)用在某種程度上取決于參考信號(hào)的能否正確設(shè)計(jì)，其使用受到了很大的限制。而分別將r1，r3的周期作為所述方法的基本估計(jì)周期(或基本周期的整數(shù)倍)，均能提取出目標(biāo)源信號(hào)s1。限于篇幅限制在此不再給出抽取結(jié)果。

4 實(shí) 驗(yàn)

同樣采用文獻(xiàn)[9]中的滾動(dòng)軸承全壽命加速疲勞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)具體實(shí)施步驟及數(shù)據(jù)采集參數(shù)均可見(jiàn)參考文獻(xiàn)[9]。選用和文獻(xiàn)[9]同一個(gè)故障軸承進(jìn)行分析，文獻(xiàn)[9]給出了故障軸承的全壽命周期的均方根值(Root mean square, RMS)值曲線圖。本文給出故障軸承全壽命周期的峭度指標(biāo)曲線圖，如圖7所示，因?yàn)榍投戎笜?biāo)對(duì)滾動(dòng)軸承發(fā)生故障時(shí)的沖擊特征更為敏感。

圖7 實(shí)驗(yàn)軸承全壽命周期的峭度值

對(duì)第2 304組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。將3個(gè)加速度傳感器采集到的信號(hào)作為觀測(cè)信號(hào)，其時(shí)域圖如圖8所示(注：文獻(xiàn)[9]的時(shí)域圖縱坐標(biāo)單位為加速度，而本文的縱坐標(biāo)單位為電壓)。

圖9為圖8所示信號(hào)相對(duì)應(yīng)的包絡(luò)解調(diào)譜，從圖9中均無(wú)法很好地提取出滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障通過(guò)頻率fi=246 Hz及其諧頻：圖9(a)雖然能大致提取出內(nèi)圈故障通過(guò)頻率，但其諧頻及調(diào)制頻率即轉(zhuǎn)頻提取效果并不好；圖9(b)，(c)的提取結(jié)果會(huì)造成誤判或漏判。

將本文所述方法用于上述觀測(cè)信號(hào)，提取出的信號(hào)的時(shí)域圖及其包絡(luò)解調(diào)譜圖如圖10所示，由包絡(luò)解調(diào)譜可以看出其很好的提取出內(nèi)圈故障通過(guò)頻率fi=246 Hz及其諧頻。在用所述方法對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行處理時(shí)，估計(jì)目標(biāo)信號(hào)的基本周期設(shè)置為T(mén)=(1/fi)×fs=104(用點(diǎn)數(shù)表示，可參考文獻(xiàn)[9])。

圖11是基于不同參考信號(hào)的CICA盲提取結(jié)果，其中圖11(a)的r1是正確參考信號(hào)：周期為T(mén)=104(采用點(diǎn)數(shù)表示，可參考文獻(xiàn)[9])；方波寬度為20(點(diǎn)數(shù))，圖11(b)為盲抽取的信號(hào)，圖11(c)為11(b)的包絡(luò)解調(diào)譜，由此看見(jiàn)，CICA很好地提取了內(nèi)圈故障通過(guò)頻率；改變圖11(a)的周期，即T′=106，方波寬度不變，得到參考信號(hào)r2如圖11(d)；圖11(e)為盲提取結(jié)果的時(shí)域圖，圖11(f)為圖11(e)的包絡(luò)解調(diào)譜，提取不出內(nèi)圈故障頻率；同樣，不改變圖11(a)的周期，而改變方波寬度(方波寬度由20設(shè)置為30)即得到參考信號(hào)r3如圖11(g)；圖11(h)，(i)分別為盲提取結(jié)果的時(shí)域圖及包絡(luò)解調(diào)譜，同樣提取不出內(nèi)圈故障特征頻率?？梢?jiàn)，CICA能否正確地提取故障特征頻率，對(duì)精確參考信號(hào)的設(shè)計(jì)有著苛刻的要求(參考信號(hào)的周期及方波形狀的微小改變都會(huì)對(duì)CICA提取結(jié)果造成很大的影響)。在工程實(shí)際應(yīng)用中，由于設(shè)計(jì)精度、安裝誤差及滾動(dòng)體的隨機(jī)滑動(dòng)都會(huì)造成滾動(dòng)軸承理論計(jì)算故障頻率與實(shí)際故障頻率的誤差。而本文所述的方法只需要大致估計(jì)目標(biāo)源信號(hào)的基本周期即可。圖12為將T=106作為目標(biāo)源信號(hào)的估計(jì)周期，用本文所述方法得到盲提取信號(hào)的時(shí)域圖及其相應(yīng)的包絡(luò)解調(diào)譜，仍可以提取出內(nèi)圈故障特征頻率。說(shuō)明了本文所述方法相對(duì)于CICA方法有較強(qiáng)的目標(biāo)源信號(hào)周期誤差的容錯(cuò)性。

圖8 實(shí)驗(yàn)觀測(cè)信號(hào)

圖9 實(shí)驗(yàn)觀測(cè)信號(hào)的包絡(luò)解調(diào)譜

圖10 所述方法的盲提取結(jié)果

圖13為文獻(xiàn)[15]所述方法的提取效果，從其包絡(luò)解調(diào)譜中無(wú)法提取中滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障通過(guò)頻率。

圖11 用不同參考信號(hào)CICA的提取結(jié)果

圖12 用所述方法以T=106作為估計(jì)基本周期的提取結(jié)果

圖13 用文獻(xiàn)[15]所述方法的盲提取結(jié)果

5 結(jié) 論

本文將一種盲提取方法用于復(fù)雜運(yùn)行環(huán)境下滾動(dòng)軸承故障信號(hào)的盲提取中，取得了不錯(cuò)的結(jié)果。并通過(guò)仿真驗(yàn)證了所述方法相對(duì)于其他盲提取方法有較高的精度；通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所述方法相對(duì)于CICA方法具有目標(biāo)源信號(hào)基本周期誤差容錯(cuò)性的優(yōu)點(diǎn)；此外，所述方法只需要估計(jì)目標(biāo)源信號(hào)的基本周期即可，而CICA方法不但需要目標(biāo)源信號(hào)基本周期的精確估計(jì)，而且還需要構(gòu)建準(zhǔn)確的參考信號(hào)，其使用相對(duì)于所述方法具有較大的局限性。

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