張樹楨, 陳 前

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 南京 210016)

引 言

目前浮筏隔振系統(tǒng)廣泛的應(yīng)用于船舶動力設(shè)備的隔振設(shè)計(jì)，其使用的隔振器(鋼絲繩、空氣彈簧及橡膠等形式)均具有不同程度的非線性剛度。由于浮筏系統(tǒng)尺寸較大，從而產(chǎn)生影響結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的柔性變形。因此需要在理論研究階段，分析隔振器的非線性剛度以及筏架和基礎(chǔ)的柔性變形對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。由于平置板式浮筏的結(jié)構(gòu)簡潔、特征明顯，多作為分析和應(yīng)用的重點(diǎn)。

在浮筏隔振系統(tǒng)的建模方面，文獻(xiàn)[1]等在線性隔振條件下，采用四端參數(shù)法、模態(tài)機(jī)械阻抗綜合法等子結(jié)構(gòu)建模理論，分析了剛性筏架和柔性基礎(chǔ)情況下的動力學(xué)響應(yīng)。文獻(xiàn)[2]提出使用柔性多體動力學(xué)理論，基于能量的方法對浮筏整體進(jìn)行建模，方法新穎。由于非線性剛度的引入，導(dǎo)致公式較線性條件下更為復(fù)雜。文獻(xiàn)[3，4]將彈性基礎(chǔ)等效為單自由度的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，該方法根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行計(jì)算，有計(jì)算處理快的優(yōu)點(diǎn)，但經(jīng)驗(yàn)公式難以涵蓋多種尺寸及隔振器布置不同的結(jié)構(gòu)。孟飛將局部非線性條件嵌入到有限元軟件得到的復(fù)雜結(jié)構(gòu)模態(tài)信息中，從而建立起結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納矩陣并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算分析，拓展了復(fù)雜非線性結(jié)構(gòu)的建模途徑[5]。

非線性系統(tǒng)的定量分析方法主要適用于求解低維非線性系統(tǒng)的近似解，即以單自由度系統(tǒng)為代表的二維狀態(tài)空間以及其他三維狀態(tài)空間系統(tǒng)，而實(shí)際中的大多數(shù)動力學(xué)問題具有維數(shù)高、非線性強(qiáng)等特點(diǎn)，所以當(dāng)前對非線性系統(tǒng)的分析以數(shù)值方法為主[6]。

本文將對平置板式浮筏進(jìn)行動力學(xué)特性分析。將筏架和基礎(chǔ)板均處理為柔性板結(jié)構(gòu)，并設(shè)定隔振器具有立方非線性的剛度項(xiàng)，根據(jù)多剛體理論及板結(jié)構(gòu)的偏微分方程，通過子結(jié)構(gòu)方法進(jìn)行線性條件下的建模，并通過多體剛?cè)狁詈戏抡?，?yàn)證理論建模的合理性。在此理論基礎(chǔ)上，引入隔振器剛度的非線性項(xiàng)并建立方程，以對非線性浮筏隔振系統(tǒng)進(jìn)行多尺度法定量和數(shù)值計(jì)算分析，探索浮筏隔振系統(tǒng)的動力學(xué)特性。

1 浮筏隔振系統(tǒng)的動力學(xué)建模

圖1 浮筏隔振系統(tǒng)示意圖

目前，單機(jī)組的雙層隔振以及多機(jī)組的浮筏隔振系統(tǒng)(如圖1)是艦船隔振效果較優(yōu)且較常用的隔振手段。由于結(jié)構(gòu)空間較為復(fù)雜，所以一般采用子結(jié)構(gòu)方法進(jìn)行分析。將整個(gè)系統(tǒng)分為A：機(jī)組；B:上層隔振器；C：中間質(zhì)量或筏架；D：下層隔振器；E：基礎(chǔ)板5個(gè)子結(jié)構(gòu)。

各子結(jié)構(gòu)間的力和位移邊界條件如圖2所示，其中的力及位移符號等均為6個(gè)方向的相關(guān)定義，如圖2中的FAe所表示的激勵力向量。通過考慮實(shí)際結(jié)構(gòu)的工作條件，設(shè)A子結(jié)構(gòu)為剛性體，C，E子結(jié)構(gòu)為柔性體。

圖2 浮筏隔振系統(tǒng)力和位移條件

A系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

(1)

對B子結(jié)構(gòu)分析，其作用力的表達(dá)式為

(2)

(3)

(4)

隔振器6個(gè)方向的剛度和阻尼表達(dá)式為：

其非線性剛度項(xiàng)為U。同理可以得到D子結(jié)構(gòu)的作用力表達(dá)式

(7)

其各變量表達(dá)式和式(3)，(4)，(5)，(6)基本一致，V為對應(yīng)的D子結(jié)構(gòu)的非線性剛度項(xiàng)。不同的是其表示下層第j個(gè)隔振器。

對C和E子結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。柔性板結(jié)構(gòu)彈性曲面微分方程的一般表達(dá)式為[9]

(8)

式中D*為板結(jié)構(gòu)的復(fù)抗彎剛度，W為板的撓度，ρ和h分別為板結(jié)構(gòu)的密度、厚度，F(xiàn)為板表面任意位置處受到的作用力。

取撓度的模態(tài)疊加表達(dá)式為

(9)

式中Wn(x,y)為板的振型函數(shù)，Cn為相應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)。

將式(9)的第n項(xiàng)代入式(8)，通過Galerkin方法處理得到板結(jié)構(gòu)的常微分方程,由于涉及到積分變換，其符號表達(dá)式較為繁雜，所以將下文算例中的物理參數(shù)直接代入，考慮基礎(chǔ)板結(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)，得到表達(dá)式

(10)

中間筏架的剛體運(yùn)動，通過類似式(1)的分析得到

(11)

由上述分析，通過力和位移的邊界條件，可以得到線性和非線性條件下的動力學(xué)方程組。線性方程的計(jì)算較快捷，而非線性計(jì)算由于算法的迭代，其耗時(shí)較長，且為探索非線性條件下的特性，將系統(tǒng)進(jìn)行簡化。在不考慮沖擊等極限工況的前提下，隔振系統(tǒng)的實(shí)際工作環(huán)境較穩(wěn)定，其輪機(jī)工作時(shí)所產(chǎn)生的激勵一般為定頻擾動，則可設(shè)機(jī)組的激勵位置垂直于機(jī)組的重心，由于隔振器一般只在豎直方向存在非線性剛度，豎直方向的擾動不會引起各自由度間的耦合，所以只對豎直方向上的運(yùn)動方程進(jìn)行分析。通過多體動力學(xué)軟件的時(shí)域分析以及理論模型的計(jì)算表明：對該隔振系統(tǒng)所具有的結(jié)構(gòu)形式以及激勵條件而言，柔性結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)對系統(tǒng)的貢獻(xiàn)量最大，所以只對一階模態(tài)引入分析。由此將系統(tǒng)降為平面5個(gè)微分方程的方程組，分別為機(jī)組1和機(jī)組2的豎直運(yùn)動、剛性筏架的豎直運(yùn)動、柔性筏架的柔性變形以及基礎(chǔ)板的柔性變形。設(shè)定彈簧原長為初始位置，由式(1)，(2)，(7)，(10)和(11)進(jìn)行整理得到系統(tǒng)在豎直方向的運(yùn)動微分表達(dá)式。其中剛性筏架柔性基礎(chǔ)條件下的非線性浮筏的微分方程組如下

(12)

式中mz1和mz2分別代表兩臺機(jī)組的負(fù)載質(zhì)量，其位移分別表示為x1和x2。作用于機(jī)組的力FAe分別表示為F1和F2，其大小相等。上層和下層隔振器的剛度項(xiàng)分別為k1和U以及k2和V，阻尼項(xiàng)分別為c1和c2。筏架的質(zhì)量為mzc。表達(dá)式中的大寫字母R均代表模態(tài)變換矩陣。

為保證理論的可信性，需對方程組式(12)及未列出的其他方程組進(jìn)行正確性驗(yàn)證。由于非線性系統(tǒng)的仿真方法不夠全面以及非線性試驗(yàn)條件的欠缺，難以直接對非線性方程的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)際上，對隔振器剛度的非線性項(xiàng)進(jìn)行刪減，即可以得到線性條件下的動力學(xué)方程組，因此合理的線性模型，可以保證非線性模型的合理性。在本文中，圖3為剛?cè)狁詈宪浖抡娣治龊途€性理論計(jì)算結(jié)果的對比，并得到了較好的一致性，從而保證了該建模方法的正確性。另外，有限元軟件的結(jié)果同樣和剛?cè)狁詈戏抡娣治鼋Y(jié)果基本吻合，保證了仿真的可靠性，同時(shí)剛?cè)狁詈戏抡娣椒ǖ挠?jì)算速度較優(yōu)。

將式(12)用矩陣的形式表達(dá)為

(13)

以式(13)為例進(jìn)行多尺度法的定量分析，將算例中的幾何尺寸參數(shù)引入，同時(shí)將xcg表示為x3，xer表示為x4，整理得到各矩陣表達(dá)式如下所示

(14)

其中

由于式(14)的耦合程度較式(13)低，則分析較為快捷。設(shè)定c1=c2=ει，U=ευ，V=εν。引入兩個(gè)時(shí)間尺度進(jìn)行計(jì)算，設(shè)解為

yn=yn0(T0，T1)+εyn1(T0，T1)，n=1,2,3,4

(15)

取ε的零階項(xiàng)，進(jìn)行處理得到

(16)

式中Nn為積分常數(shù)。βn的表達(dá)式，由于篇幅關(guān)系，在此不予展開。

強(qiáng)迫振動成分為

(17b)

初始偏移成分為

(17c)

由式(17)得到系統(tǒng)的解為：yn=ynz+ynq+ynp，n=1，2，3，4，再由X=ΦY，可以得到原系統(tǒng)的響應(yīng)。由于阻尼的存在，自由振動完全衰減后，可以認(rèn)為An=0，n=1，2，3，4，因此一階近似解存在與激勵力頻率相同的強(qiáng)迫振動成分，且不受非線性項(xiàng)影響。剛度的非線性項(xiàng)對結(jié)構(gòu)的影響主要體現(xiàn)在近似解中出現(xiàn)了復(fù)雜的共振項(xiàng)。分析得到系統(tǒng)的共振條件分為內(nèi)共振和外激勵引起的共振，以所在的項(xiàng)整理化簡為例，將共振項(xiàng)可簡單羅列為：ω4-ω1=-εO(1),ω2-3ω1=-εO(1)，ω2-2ω4-ω1=-εO(1)，ω2-ω4+ω3-ω1=-εO(1)等和2ω2-ω-ω1=-εO(1)，ω2-ω+ω3-ω1=-εO(1)等?？梢姽舱駰l件極多，分析其內(nèi)共振和主共振條件難以涵蓋全面?？紤]到實(shí)際系統(tǒng)并不處于共振區(qū)工作，所以本文主要通過數(shù)值計(jì)算，分析系統(tǒng)的非共振響應(yīng)。

2 浮筏隔振系統(tǒng)的算例分析

目前，艦船中的動力機(jī)組以柴油機(jī)組為主，在正常狀態(tài)下其轉(zhuǎn)速分布在800～1 800 r/min，即15～30 Hz，所以重點(diǎn)分析較低頻率段的結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)問題。建立如圖1所示的剛?cè)狁詈戏抡娴母》じ粽裣到y(tǒng)虛擬樣機(jī)模型，考慮到結(jié)構(gòu)重心的調(diào)配，設(shè)定A子結(jié)構(gòu)為2臺相同的機(jī)組，且相對筏架對稱布置；B子結(jié)構(gòu)為機(jī)組和筏架間的隔振器，分2組，各4支隔振器；C子結(jié)構(gòu)為板式筏架；D子結(jié)構(gòu)為筏架和基礎(chǔ)板間的隔振器組，共6支隔振器；E子結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)板。

具體物理參數(shù)為：負(fù)載機(jī)組1和機(jī)組2幾何尺寸為0.8 m×0.8 m×0.4 m，密度為7 800 kg/m3。上下層隔振器根據(jù)負(fù)載質(zhì)量，采用某型號的橡膠隔振器，豎直方向的剛度線性項(xiàng)為1×107N/m，非線性項(xiàng)U=V=1×109N/m3，阻尼比0.01。平置板式筏架的幾何尺寸為2 m×1 m×0.06 m，結(jié)構(gòu)損耗因子為0.01，自由邊界?；A(chǔ)甲板的幾何尺寸為2 m×1 m×0.02 m，結(jié)構(gòu)損耗因子為0.01，簡支邊界。激勵條件為作用于機(jī)組質(zhì)心，豎直向下的簡諧激勵。對浮筏隔振系統(tǒng)，進(jìn)行線性條件下的理論計(jì)算和多體動力學(xué)剛?cè)狁詈戏抡娣治?，以及非線性條件下的Runge-Kutta數(shù)值計(jì)算。

2.1 線性條件下的動力學(xué)特性分析

線性條件下的浮筏隔振系統(tǒng)引入筏架的前3階和基礎(chǔ)的前4階模態(tài)，得到25個(gè)微分方程并進(jìn)行分析。圖3為無阻尼條件下的理論計(jì)算和多體動力學(xué)軟件仿真的速度傳遞函數(shù)曲線。圖4為理論計(jì)算的功率流曲線。

圖3 浮筏隔振系統(tǒng)傳遞函數(shù)曲線圖

圖4 浮筏剛性及柔性筏架功率流曲線

圖3表明，在柔性筏架條件下，其峰值點(diǎn)從左至右依次為機(jī)組A子結(jié)構(gòu)的上下運(yùn)動共振頻率點(diǎn)，筏架C子結(jié)構(gòu)的上下運(yùn)動共振頻率點(diǎn)，基礎(chǔ)E子結(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)頻率點(diǎn)，筏架C子結(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)頻率點(diǎn)，基礎(chǔ)E子結(jié)構(gòu)的第3階模態(tài)頻率點(diǎn)。由于激勵條件對稱，所激發(fā)的模態(tài)頻率點(diǎn)均對應(yīng)于對稱模態(tài)。由多體剛?cè)狁詈戏抡娼夂屠碚摻獾囊恢滦裕?yàn)證了理論建模的可靠性，可以保證非線性分析結(jié)果的可信性，同時(shí)也佐證了該剛?cè)狁詈辖７椒ǖ目尚行浴Ｓ蓤D4所示，當(dāng)將筏架考慮為柔性體，其功率流曲線較剛性筏架更加豐富，體現(xiàn)了筏架柔性的影響。除了筏架共振點(diǎn)外，剛性和柔性筏架條件下，輸入到系統(tǒng)的能量基本一致。中高頻段，柔性筏架所輸出的能量較高，顯然不利于隔振。實(shí)際條件下，筏架的跨度較大，必然要產(chǎn)生柔性變形，因此在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)階段盡可能增大筏架的剛度，以降低不利影響。圖3和4同時(shí)表明，剛性和柔性筏架在低頻段的特性較為一致。

2.2 非線性條件下的動力學(xué)特性分析

分析立方非線性條件下的浮筏隔振系統(tǒng)，其結(jié)果如圖5～8所示。

圖5 機(jī)組1的主共振響應(yīng)曲線

圖6 非線性浮筏剛性及柔性筏架頻譜圖

圖7 機(jī)組1在大激勵幅值下的相圖

圖8 單頻及多頻條件下的頻譜圖

對圖5的分析表明，系統(tǒng)存在跳躍現(xiàn)象，曲線向右側(cè)傾斜，證明了剛度漸硬參數(shù)的正確性。同時(shí)該圖表明了柔性筏架隔振系統(tǒng)的一階共振頻率點(diǎn)較剛性筏架低，原因在于各子結(jié)構(gòu)可等效為彈簧的串聯(lián)，柔性結(jié)構(gòu)的引入導(dǎo)致整體的剛度降低。圖6為非線性條件下，單頻簡諧激勵所產(chǎn)生的諧波分量，由于立方非線性項(xiàng)的存在，導(dǎo)致發(fā)生3倍于激勵頻率的諧波分量。其存在2倍于激勵頻率的諧波成分原因在于機(jī)組和筏架的質(zhì)量作為常數(shù)項(xiàng)出現(xiàn)在方程組(13)中，導(dǎo)致分析時(shí)系統(tǒng)處于非對稱剛度的狀態(tài)，從而發(fā)生偶數(shù)倍的諧波成分，該非對稱性，同樣導(dǎo)致零頻段存在較大的峰值。調(diào)整系統(tǒng)靜平衡位置處的隔振器作用力對稱于變形量，從而消除了方程組(13)中的質(zhì)量常數(shù)項(xiàng)，修改后的結(jié)果如圖8中的單頻激勵曲線所示，其只產(chǎn)生了奇數(shù)倍于激勵頻率的諧波。在實(shí)際工作環(huán)境中，隔振器的剛度在初始條件下難以對稱于變形量，所以只存在立方非線性剛度的隔振器，也極有可能產(chǎn)生偶數(shù)倍的諧波分量。圖5和6表明，非線性浮筏隔振系統(tǒng)，其剛性和柔性筏架條件下的動力學(xué)特性區(qū)別較為明顯，這顯著的不同于線性條件下的系統(tǒng)。

相同的激勵及初始條件下，柔性筏架和柔性基礎(chǔ)的系統(tǒng)可能發(fā)生圖6及7中所示的倍周期運(yùn)動現(xiàn)象，從而導(dǎo)致隔振設(shè)計(jì)難度更大，設(shè)計(jì)中需要對可能存在的激勵頻率進(jìn)行全面的頻譜特性分析。

動力設(shè)備在額定轉(zhuǎn)速條件下也存在多個(gè)諧波分量的擾動，在浮筏系統(tǒng)的分析中，需要對該諧波激勵條件進(jìn)行分析計(jì)算。設(shè)定系統(tǒng)靜平衡位置處的隔振器力-變形曲線對稱于變形量，計(jì)算結(jié)果如圖8所示，其不僅驗(yàn)證了前文中單頻激勵及對稱剛度只產(chǎn)生奇數(shù)倍的諧波分量的結(jié)論，而且多頻激勵在60 Hz處的峰值也證明了諧波激勵條件分析的重要性。

3 結(jié) 論

本文對柔性浮筏系統(tǒng)進(jìn)行了動力學(xué)特性方面的研究。討論了筏架的柔性變形以及非線性隔振器對系統(tǒng)的影響。主要結(jié)論為：

1)當(dāng)激勵幅值較小或非線性項(xiàng)較弱時(shí),浮筏隔振系統(tǒng)處于線性工作條件。在動力學(xué)特性方面，柔性筏架系統(tǒng)相比于剛性筏架的區(qū)別主要體現(xiàn)在中、高頻段。借助于多體動力學(xué)軟件的剛?cè)狁詈戏抡娣治?，不但可以檢驗(yàn)簡單結(jié)構(gòu)的理論建模的正確性，重要的是可以進(jìn)行復(fù)雜結(jié)構(gòu)的虛擬樣機(jī)仿真分析，達(dá)到降低試驗(yàn)成本，縮短設(shè)計(jì)時(shí)間的良好效果。

2)非線性浮筏隔振系統(tǒng)的動力學(xué)特性較線性條件更為復(fù)雜。在線性理論正確性的基礎(chǔ)上，引入隔振器剛度的立方非線性項(xiàng)，進(jìn)行理論建模。通過考慮實(shí)際的工作條件，并以數(shù)值分析作為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，使系統(tǒng)得以簡化。而后通過數(shù)值方法分析了該隔振系統(tǒng)在單頻和多頻條件下的非共振響應(yīng)。在相同的激勵條件下，柔性筏架系統(tǒng)呈現(xiàn)出較剛性筏架更為復(fù)雜的動力學(xué)特性，在頻譜上主要表現(xiàn)為更為多樣的諧波成分，應(yīng)在隔振設(shè)計(jì)時(shí)詳細(xì)分析諧波分量誘發(fā)共振的條件。同時(shí)數(shù)值計(jì)算切實(shí)地表明了在非線性條件下的所有頻段內(nèi)，筏架的特性對系統(tǒng)的動力學(xué)特性影響顯著，而不僅僅局限于線性系統(tǒng)的中、高頻段。

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