文永奎， 胡九戰(zhàn)， 盧文良

(北京交通大學土木建筑工程學院， 北京 100044)

引 言

實際工程中經(jīng)常采用的對稱、準對稱或局部對稱結(jié)構(gòu)，往往會在一窄段頻率范圍內(nèi)存在多階模態(tài)。特別是由空中廊橋聯(lián)接的雙子建筑或處于施工階段由貓道聯(lián)接的懸索橋主塔等結(jié)構(gòu)，會出現(xiàn)典型的由兩階模態(tài)組成的密集頻率結(jié)構(gòu)[1]，即雙密頻結(jié)構(gòu)；而且該型結(jié)構(gòu)因具有柔性大、阻尼小、低頻等特點，容易在外荷載激勵下發(fā)生大幅振動。因此研究具有對稱形式的雙密頻結(jié)構(gòu)的減振將具有重要工程意義。而作為相對成熟的減振措施，TMD因能適應于多種荷載作用下的結(jié)構(gòu)振動控制，被廣泛應用。

經(jīng)典的TMD在設計時通常采用單自由度主結(jié)構(gòu)模型，即視結(jié)構(gòu)為單自由度或?qū)⒔Y(jié)構(gòu)簡化為單自由度系統(tǒng)。其中，Den hartog 最早給出能使單自由度結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應峰值最小的TMD優(yōu)化頻率和阻尼比[2]；Jacquot采用了廣義質(zhì)量比，將TMD的優(yōu)化結(jié)果推廣到梁結(jié)構(gòu)[3]；Warburton假定結(jié)構(gòu)頻率非密集分布，進一步將復雜連續(xù)結(jié)構(gòu)簡化為單自由度系統(tǒng)以優(yōu)化TMD參數(shù)[4]。此外，為提高TMD減振的魯棒性，多質(zhì)量阻尼器(Mutiple Tuned Mass Dampers, MTMD)的動力性能得到研究[5～8]，但MTMD采用中心TMD對結(jié)構(gòu)某階頻率調(diào)諧，且在該頻率一定范圍內(nèi)分布多個TMD的方式，仍是針對單自由度主結(jié)構(gòu)的減振。

研究表明，針對TMD設計的單自由度主結(jié)構(gòu)模型，并不適用于密集頻率結(jié)構(gòu)的減振設計[9,10]。為有效實現(xiàn)對密集頻率結(jié)構(gòu)的減振，Abé指出需要采用不少于所控模態(tài)數(shù)的多個TMD，且須考慮TMD的空間分布，并給出了在合理布置條件下TMD參數(shù)的簡化計算方法，但未對TMD的參數(shù)優(yōu)化問題進行探討[1]。近年來，一些研究通過定義不同的目標函數(shù)并采用梯度優(yōu)化的數(shù)值方法，實現(xiàn)了對單自由度主結(jié)構(gòu)減振的MTMD參數(shù)優(yōu)化，大大提高了在參數(shù)較多時的優(yōu)化效率[6～8]。其中，Warnitchai以梁和板結(jié)構(gòu)為例，將Davidon-Fletcher-Powell優(yōu)化算法進一步推廣到多模態(tài)減振的TMD參數(shù)優(yōu)化，給出了相應的優(yōu)化結(jié)果和減振效果[11]。此外，文永奎對定義的H2性能目標，通過線性矩陣不等式實現(xiàn)對多階頻率調(diào)諧的TMD參數(shù)優(yōu)化，但在TMD個數(shù)多時優(yōu)化的效率低下[12]。

可見，針對密集頻率結(jié)構(gòu)的減振，已有的成果對多個TMD參數(shù)優(yōu)化的過程、影響因素以及減振性能評價等方面的研究仍有不足，尚待深入探討。本文以經(jīng)典的對稱2自由度雙密頻結(jié)構(gòu)為例，基于H2性能的梯度優(yōu)化法，研究針對多階模態(tài)減振且空間布置的分布式TMD的參數(shù)優(yōu)化，闡明模態(tài)控制權(quán)重和模態(tài)密集度等因素對優(yōu)化結(jié)果和減振效果的影響。在建立適合閉環(huán)靜力反饋控制的組合系統(tǒng)模型的基礎上，將基于H2性能的梯度優(yōu)化法擴展至分布式TMD的參數(shù)優(yōu)化；定義結(jié)構(gòu)多模態(tài)振動的無量綱響應作為評價指標，以廣義模態(tài)坐標響應構(gòu)成控制輸出向量，分析并指出能使評價指標峰值相等的模態(tài)控制最優(yōu)權(quán)重，給出優(yōu)化參數(shù)和減振性能隨模態(tài)密集度的變化規(guī)律；與經(jīng)典單TMD設計等方法相對比，分析并驗證基于H2性能優(yōu)化的分布式TMD的減振效果，并確認在TMD個數(shù)增多時基于H2性能的梯度優(yōu)化法的優(yōu)化效果。

1 系統(tǒng)模型

為實現(xiàn)對密集頻率結(jié)構(gòu)的減振分析，本文考慮一個典型的2自由度對稱主結(jié)構(gòu)[1,9]。如圖1所示，主結(jié)構(gòu)由2個相同的主振子組成，每個振子具有質(zhì)量ms、相對基礎的剛度ks和粘滯阻尼cs；兩個振子通過剛度為βks的彈簧耦聯(lián)。當耦聯(lián)彈簧的剛度較小時，主結(jié)構(gòu)的2個頻率將呈現(xiàn)密集狀態(tài)，此時主結(jié)構(gòu)為雙密頻結(jié)構(gòu)。

圖1 雙密頻結(jié)構(gòu)與分布式TMD

φTDTP(t)+φTTTfd(t)

(1)

(2)

式中qdi和udi=Tu(s,t)分別為第i個TMD的位移以及相應位置處的主振子位移；cdi，kdi分別為第i個TMD的阻尼、剛度。此時，TMD的運動方程為

(3)

將式(2)代入式(1)和(3)，并組合式(1)和(3)得

(4)

式(4)的狀態(tài)空間形式為

(5)

式中x為2p維狀態(tài)向量(p=2+n)；A*為系統(tǒng)矩陣；Bw為外激勵影響矩陣；w為外激勵輸入，分別表示為：

(6a)

(6b)

(6c)

(6d)

為使減振系統(tǒng)適應于閉環(huán)靜力反饋控制的H2控制理論，將式(5)改寫為

(7)

u=Fdy

(8)

y=Cyx

(9)

(10)

2 基于H2性能的梯度優(yōu)化法

采用多個TMD對結(jié)構(gòu)多階模態(tài)振動減振時，簡化的設計可通過經(jīng)典的單TMD參數(shù)優(yōu)化方法實現(xiàn)。經(jīng)典的單TMD參數(shù)優(yōu)化采用動力放大系數(shù)作為性能目標函數(shù)；假設TMD的安裝對結(jié)構(gòu)動力性能影響較小或可被忽略，而且所調(diào)諧頻率與鄰近模態(tài)頻率間為非密頻狀態(tài)，進而將結(jié)構(gòu)簡化為用模態(tài)坐標表示的單自由度結(jié)構(gòu)。根據(jù)TMD的安裝位置和所需控制的模態(tài)，依次優(yōu)化各TMD的參數(shù)，從而實現(xiàn)多TMD的參數(shù)設計[4,13]。

對穩(wěn)態(tài)隨機激勵，系統(tǒng)的H2范數(shù)反映了單位能量輸入時輸出響應的均方根值，并成為能夠衡量結(jié)構(gòu)響應程度的指標。以H2范數(shù)為目標函數(shù)，可通過線性矩陣不等式或梯度優(yōu)化法實現(xiàn)多個TMD的參數(shù)優(yōu)化[7，12]，其中Zuo采用梯度優(yōu)化法實現(xiàn)的針對單自由度主結(jié)構(gòu)減振的MTMD的參數(shù)優(yōu)化，提高了參數(shù)較多時的優(yōu)化效率，為本文所借鑒。本文進一步發(fā)展，實現(xiàn)針對多階模態(tài)減振的分布式TMD參數(shù)優(yōu)化，并進行相關(guān)的影響因素和減振性能分析。

為建立H2性能目標，將外激勵輸入w假定為單位白噪聲，即外激勵輸入w的功率譜密度Sw=1。若定義T(jω)為外激勵輸入w到控制輸出z的傳遞矩陣，則系統(tǒng)的H2范數(shù)T(jω)2為控制輸出z的均方根值， 即

(11)

式中E[]為括號中量值的期望；tr[]為括號中矩陣的跡；上標H為復共軛轉(zhuǎn)置。H2范數(shù)可通過以下求解過程獲得：

考慮靜力反饋輸入后，式(7)和(10)可表示為

(12)

(13)

(14)

式中J即為H2性能目標，是待求參數(shù)矩陣Fd的函數(shù)；K為對稱矩陣(可觀性格拉姆矩陣)，通過Lyapunov方程求解

(15)

由此，分布式TMD的參數(shù)優(yōu)化就變成使得式(14)值最小，且滿足約束方程(15)的Fd值。為便于優(yōu)化計算，需將其轉(zhuǎn)換為無約束優(yōu)化問題。為此，引入拉各朗日乘子矩陣L(對稱矩陣)，并定義等價的目標函數(shù)得

BuFdCy)+(A+BuFdCy)TK+

(16)

由式(16)通過矩陣運算，性能目標J對參數(shù)矩陣Fd的梯度可表達為

(17)

式中 運算符“⊙”表示矩陣中的對應元素相乘；FP與參數(shù)矩陣Fd同維，且與Fd中非零元素相對應的元素值為1，其余值為零而形成的矩陣。式(16)中的矩陣K由式(15)求出，而矩陣L可由下式(Lyapunov方程)求解，即

(18)

式(15)和(18)為線性方程，易于求解。為確保剛度和阻尼參數(shù)非負，在求解過程中可通過將Fd中元素改寫為平方的形式，再進行梯度矩陣計算來實現(xiàn)[7]。進而，由式(17)得到的梯度矩陣，可便于采用梯度優(yōu)化法求解。其過程如下：

步1：給出Fd初始值Fd,k，F(xiàn)d中分量kdi和cdi可通過經(jīng)典單TMD設計給定，下標i表示迭代步；令k=0。

步2：由給定的Fd,k，通過式(15)和式(18)求解矩陣K和L；進而由式(17)計算矩陣梯度Gk=?L/?Fd,k，若‖?L/?Fd,k‖足夠小則停止，其中‖·‖表示求Euclidean范數(shù)。

步3：用BFGS或修正的BFGS等方法求解搜索方向Pk；用Armijo或Wolfe準則求解搜索步長λk；反饋增益更新為Fd,k+1=Fd,k+λkPk； 令k=k+1，轉(zhuǎn)步2。

3 雙密頻結(jié)構(gòu)減振

與單自由度主結(jié)構(gòu)的MTMD參數(shù)優(yōu)化不同，對圖1所示的雙密頻結(jié)構(gòu)，因具有2個自由度，構(gòu)成H2性能目標的控制輸出向量z中的分量及其權(quán)重，直接影響了分布式TMD的優(yōu)化參數(shù)。根據(jù)控制目標的需要，z中的分量可選擇為結(jié)構(gòu)的位移、速度或加速度響應。當主結(jié)構(gòu)發(fā)生雙密頻模態(tài)振動時，無論選擇何種結(jié)構(gòu)響應，結(jié)構(gòu)的密集模態(tài)對該響應的影響都不可忽略。因此為實現(xiàn)對主結(jié)構(gòu)雙密頻振動減振，分布式TMD在優(yōu)化設計時直接取兩階模態(tài)的廣義坐標，定義控制輸出向量z=[α1][q1q2]T，其中α為模態(tài)控制權(quán)重。

此外，雙密頻結(jié)構(gòu)的頻率密集程度也是影響分布式TMD參數(shù)設計和減振性能的重要因素。為定量判別頻率密集程度，定義頻率密集度為[14]

(19)

(20)

若主結(jié)構(gòu)為單自由度，則式(20)即為結(jié)構(gòu)的動力放大系數(shù)。

4 參數(shù)優(yōu)化及減振性能

針對密頻結(jié)構(gòu)的多TMD減振問題時，Abé在研究中已指出就結(jié)構(gòu)每階密集模態(tài)的振動至少需要安裝一個TMD以實現(xiàn)有效減振，且TMD的安裝位置也非常重要[1]。本文先采用2個TMD分布安裝在雙密頻結(jié)構(gòu)的振子上，以簡單實例來研究分布式TMD參數(shù)優(yōu)化的過程和影響因素，再進一步實現(xiàn)分布式TMD在TMD個數(shù)較多時的減振設計。

4.1 給定密集度時的減振

在主結(jié)構(gòu)的2個振子上各安裝一個TMD，并取md1=md2=0.01ms。取小值β=0.04，此時2個振子通過彈簧弱耦聯(lián)，主結(jié)構(gòu)的兩階頻率滿足ω2=1.04ω1，為雙密頻結(jié)構(gòu)。假設2個TMD分別對主結(jié)構(gòu)1階和2階頻率調(diào)諧，采用基于H2性能的梯度優(yōu)化法進行2個TMD的參數(shù)設計。并以頻率范圍0.8ω1～1.2ω1對第一個主振子進行諧荷載掃頻激勵，對減振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)響應進行數(shù)值計算。

圖2 不同模態(tài)控制權(quán)重時的無量綱響應

圖3 無量綱響應最大值隨權(quán)重的變化

圖4 TMD的頻率比和阻尼比隨權(quán)重的變化

圖5 基于H2性能設計的優(yōu)化減振效果

圖5分別給出了基于H2性能、經(jīng)典方法和密頻均值調(diào)諧法對2個TMD優(yōu)化設計時，主結(jié)構(gòu)的無量綱響應隨激振頻率比的變化[1]。采用經(jīng)典方法時，忽略密集頻率的影響，依據(jù)主結(jié)構(gòu)的兩階模態(tài)將其簡化為2個單自由度系統(tǒng)，由TMD安裝位置和所控制的模態(tài)，通過動能理論計算每個單自由度系統(tǒng)的等效質(zhì)量[4,13]，進而計算TMD質(zhì)量比，分別優(yōu)化2個TMD的參數(shù)；經(jīng)計算得出，每個TMD質(zhì)量與結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量之比均為0.005，2個TMD的優(yōu)化頻率比和阻尼比分別為0.995和0.044。采用密頻均值調(diào)諧法時，2個TMD對主結(jié)構(gòu)的兩階頻率的均值調(diào)諧，并取經(jīng)典方法中的優(yōu)化頻率比和阻尼比。由圖5可見基于H2性能優(yōu)化設計的TMD能夠使控制系統(tǒng)的無量綱響應峰值最小，減振效果明顯優(yōu)于經(jīng)典方法和密頻均值調(diào)諧法。

4.2 不同密集度時的減振

圖6 最優(yōu)權(quán)重隨頻率密集度的變化

圖7 TMD優(yōu)化頻率比和阻尼比隨頻率密集度的變化

圖8 優(yōu)化后的無量綱響應值隨頻率密集度的變化

②當β值在0.02～0.08區(qū)間變化時，由圖7可知基于H2性能的2個TMD的優(yōu)化頻率值在主結(jié)構(gòu)的2個密頻間分布，與經(jīng)典方法優(yōu)化的TMD頻率分布相異；與采用經(jīng)典方法時相比，圖8顯示基于H2性能優(yōu)化所得的TMD的減振性能明顯優(yōu)于前者；

③當β向高值趨近時(如由0.08向0.09變化時)，β值與期望的附加模態(tài)阻尼比相比顯然已較大，主結(jié)構(gòu)將變?yōu)榉敲茴l結(jié)構(gòu)，由圖7可見基于H2性能的2個TMD的優(yōu)化頻率比都小于1，與經(jīng)典方法優(yōu)化的TMD頻率分布規(guī)律趨近；圖8顯示，相比經(jīng)典方法，基于H2性能優(yōu)化結(jié)果仍能取得優(yōu)于前者的減振效果。

④由圖8可見，密頻均值調(diào)諧法作為一種簡化設計方法，僅在β值較小時適用；相比于基于H2性能優(yōu)化和經(jīng)典方法，所設計的TMD的減振效果較差，并隨β值的變大減振效果急劇降低。

4.3 分布式TMD個數(shù)多時的減振

圖9 各TMD優(yōu)化的頻率比和阻尼比

圖10 不同TMD個數(shù)時的無量綱響應

5 結(jié) 論

以典型的2自由度雙密頻結(jié)構(gòu)為例，建立了適合閉環(huán)靜力反饋控制的組合系統(tǒng)模型，將基于H2性能的梯度優(yōu)化法擴展至分布式TMD的參數(shù)優(yōu)化；通過定義針對密集模態(tài)振動的控制輸出和無量綱評價指標，闡明了模態(tài)控制權(quán)重和模態(tài)密集度對分布式TMD參數(shù)優(yōu)化和減振效果的影響；確認了基于H2性能的梯度優(yōu)化法設計分布式TMD的高效性。研究發(fā)現(xiàn)：

(1)對密集頻率結(jié)構(gòu)，以模態(tài)響應為控制輸出并通過合理選擇模態(tài)控制權(quán)重，可使得評價指標峰值相等，此時分布式TMD達到最優(yōu)的設計參數(shù)和減振效果。

(2)相對于經(jīng)典方法，基于H2性能優(yōu)化的分布式TMD在一定模態(tài)密集度范圍內(nèi)減振效果更佳；在密集度減小至重頻結(jié)構(gòu)，或增大至非密頻結(jié)構(gòu)時，雖仍能取得優(yōu)于前者的減振效果，但減振效果趨近于經(jīng)典方法。

(3)基于H2性能的梯度優(yōu)化法具有良好的優(yōu)化效率，特別是在分布式TMD的個數(shù)較多時，目標函數(shù)的峰值也增多，減振效果更佳。

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