邢明明， 董世民

(燕山大學機械工程學院，河北 秦皇島 066004)

引 言

游梁式抽油機皮帶傳動系統(tǒng)具有如下特點：負載扭矩波動大、雙向交變；電動機轉速存在波動，特別是超高轉差電動機驅動的游梁式抽油系統(tǒng)，電動機轉速波動率可達到20%以上。負載扭矩以及電動機轉速的大范圍波動導致皮帶縱向振動加劇，增大了皮帶的摩擦功率損失，降低了皮帶傳動效率[1]。

皮帶傳動在大、中、小型機械中都有著廣泛的應用。皮帶在運轉過程中，由于受離心力、帶輪轉速波動及負載扭矩波動等的綜合影響，導致皮帶彈性體存在振動。皮帶傳動系統(tǒng)的特性決定了皮帶彈性體的振動受到帶輪慣性質量的影響。皮帶的振動不僅降低了皮帶的傳動精度和使用壽命，而且降低了帶的傳動效率[2～7]。為此關于皮帶振動的研究引起了國內外學者的廣泛關注，并提出了大量的有關帶振動問題的模型[8～18]。文獻[8～10]建立了帶橫向振動以及帶的縱向振動模型，給出了帶的滑移率與帶振動的固有頻率，分析了各結構參數(shù)對滑移因子的影響。文獻[11～15]建立了帶的動力學模型，提出了帶振動及滑移率的測試方法，并分析了預緊力、阻尼等參數(shù)對帶振動的影響。對于皮帶縱向振動的研究文獻[9,16]廣泛采用以兩個帶輪轉角為廣義坐標的兩自由度扭轉振動力學模型，該模型將皮帶簡化為無質量的彈簧，兩個帶輪簡化為兩個具有轉動慣量的圓盤；文獻[14,17,18]將皮帶簡化為質量分布均勻的彈性體，建立了皮帶縱向振動的數(shù)學模型，但沒有考慮帶輪轉動慣量對皮帶縱向振動的影響。鑒于目前皮帶縱向振動模型的不足以及皮帶縱向振動對游梁式抽油系統(tǒng)動力特性具有顯著影響，本文進一步研究了游梁式抽油機皮帶縱向振動特性仿真的力學與數(shù)學模型。該分析方法對以帶傳動為基礎的機械系統(tǒng)動態(tài)特性的設計具有參考價值。

1 皮帶縱向振動的力學模型

圖1(a)為皮帶傳動裝置示意圖。

圖1 皮帶傳動系統(tǒng)力學模型

S1為小帶輪包角所對應圓弧的長度(m)；S2為大帶輪包角所對應圓弧的長度(m)；R1為小帶輪半徑(m)；R2為大帶輪半徑(m)；Lt為皮帶切線段長度(m)；L為皮帶節(jié)線長度(m)；Je1為簡化到小帶輪處的等效轉動慣量(kg·m2)；Je2為簡化到大帶輪處的等效轉動慣量(kg·m2)；me1為簡化到皮帶上切點A1的等效質量(kg)；me2為簡化到皮帶上切點C1的等效質量(kg)；E為皮帶材料彈性摸量(Pa)；ρ為皮帶材料密度(kg/m3)；Med為簡化到小皮帶輪處的等效驅動力矩(N·m)；Mbf為簡化到大皮帶輪處的等效阻力矩，即負載扭矩(N·m)；Fed為簡化到小皮帶輪處的等效驅動力(N)；Fef為簡化到大皮帶輪處的等效阻力(N)。

其中等效轉動慣量和等效質量之間的關系，等效力矩與等效力之間的關系如下：

(1)

(2)

2 皮帶縱向振動的數(shù)學仿真模型

(3)

其中

(4)

式中a為聲音在皮帶中的傳播速度(m/s)；ω1為小帶輪的角速度(rad/s)；f(y,t)為皮帶截面y在時刻t所受的分布激振力(N)；ρ為皮帶線密度(kg/m)；A為皮帶橫截面面積(m2)；u*為皮帶基礎運動(m/s)；Sx為任意時刻t皮帶截面X在運動曲線坐標系中的幾何位置(m)。

由圖1(b)所示的靜止坐標系可見，分布力f(y,t)只在等效質點處作用有集中力Fed、Fef，其它截面分布力為零。根據動坐標與靜坐標的變換關系，分布激勵力f(y,t)為

(5)

Sx為任意時刻t皮帶截面X′在靜坐標系中的幾何位置。由于皮帶沿節(jié)線做周期性循環(huán)運動，而坐標x的取值范圍為0≤x≤L，故Sx由下式計算

(6)

集中力Fed取決于小皮帶輪處的等效驅動力矩Med；Fef取決于大皮帶輪處的等效阻力矩Mef。限于篇幅，等效驅動力矩Med、等效阻力矩Mef的計算方法見文獻[1]，本文不再贅述。鑒于本文重點是研究皮帶的縱向振動特性，同時根據實際油井等效驅動力矩Med與等效阻力矩Mef的變化規(guī)律，將Med和Mef簡化為[18]

(7)

式中M0，M1和M2為系數(shù)；ω為大皮帶輪轉動的平均角速度(rad/s)。ω與抽油機懸點沖程次數(shù)n之間的關系為

(8)

式中iBox減速箱傳動比。

游梁式抽油機工作時，曲柄軸凈扭矩周期性波動，即電動機負載扭矩周期性波動，從而導致電動機轉速周期性波動，即小皮帶輪轉速周期性波動。由公式(3)可見，小皮帶輪角速度波動是皮帶縱向振動的激勵，相當于振動理論中基礎運動所導致的系統(tǒng)受迫振動。小皮帶輪角速度可以展開為傅式級數(shù)，為便于討論小皮帶輪角速度波動對皮帶縱向振動特性的影響，將小皮帶輪角速度簡化為

ω1=ω0+K0cos(ωt)

(9)

式中ω0為小帶輪平均角速度(rad/s)；K0為小皮帶輪角速度波動幅值(rad/s)。

3 自由振動的固有頻率與振型函數(shù)

系統(tǒng)自由振動方程為

(10)

系統(tǒng)自由振動的通解

u(x,t)=U(x)sin(ωnt+φ)

(11)

式中ωn為系統(tǒng)自由振動的固有頻率(rad/s)；φ為任意常數(shù)，由系統(tǒng)初始條件決定。

振型函數(shù)U(x)為

(12)

式中b=ωn/a；B1，B2，D1和D2為由邊界條件決定的待定系數(shù)。

皮帶縱向振動在兩個質點me1和me2處滿足連續(xù)性條件

(13)

將式(11)和(12)代入上式可得固有頻率方程

A1A2-A3+A4=0

(14)

式中 參數(shù)A1，A2，A3和A4由下式計算

(15)

式中 參數(shù)C1，C2和C3和C4表示為

(16)

方程(14)是關于未知數(shù)b的超越代數(shù)方程，應用數(shù)值法可求得前n個根b1，b2，…，bn以及皮帶縱向振動的前n階固有頻率為ωni=abi(i=1，2，…，n)。與ωni對應的第i階振型函數(shù)為：

(17)

式中 系數(shù)λ1i，λ2i和λ3i為

(18)

式中 系數(shù)ψ1i，ψ2i，ψ3i和ψ4i的表達式為

(19)

式中E1i，E2i，E3i和E4i的表達式為

(20)

4 受迫振動的穩(wěn)態(tài)響應

根據主振型對質量的正交性，可得正則振型函數(shù)

(21)

(22)

式中

(23)

式中 參數(shù)QNi表達式為

(24)

正則激振力為

pi(t)=Fed(t)UNi(x)|x=0-Fef(t)·UNi(x)|x=L1-

(25)

正則坐標下的運動微分方程

(26)

通過運用振型疊加原理，將皮帶彈性體的縱向振動偏微分方程(3)簡化為式(26)所示的n個相互獨立的無阻尼單自由度系統(tǒng)的受迫振動微分方程。應用四階龍格庫塔法并采用零初始條件分別求正則坐標qi(i=1，2，…，n)的穩(wěn)態(tài)響應。

系統(tǒng)受迫振動的動態(tài)響應

(27)

要得到運動坐標下系統(tǒng)受迫振動的動態(tài)響應，需通過變換公式。UNi(x)與UNi(y)變換關系如下：

當0≤Sx

(28)

當L1≤Sx

(29)

系統(tǒng)在運動坐標系下受迫振動的動態(tài)響應

(30)

式中UNi(y)為陣型函數(shù)；qi(t)為模態(tài)坐標。

5 仿真實例與結果分析

以下仿真計算的基本參數(shù)為：傳動帶長度L=4 m；帶切線段長度Lt=0.97 m；單根皮帶線密度ρ=0.37 kg/m；皮帶根數(shù)z=4；單根皮帶橫截面積A=1.55×10-4m2；摩擦系數(shù)μ=0.6；小帶輪半徑R1=0.15 m；大帶輪半徑R2=0.45 m；皮帶彈性模量E=2×108Pa；沖次n=6 min-1；減速箱傳動比iBox=35；減速箱傳動效率ηBox=95%；大皮帶輪平均角速度ω=21.99 rad/s。

5.1 系統(tǒng)對轉速波動的響應

當ω0=65.97 rad/s，k0=150 rad/s；M0=1 200 N·m；M1=0；M2=0；時，圖2和3給出了皮帶傳動系統(tǒng)對轉速波動的動態(tài)響應曲線。

圖2 皮帶某點縱向振動的瞬時位移隨時間變化曲線

圖3 皮帶某點瞬時速度隨時間變化曲線

5.2 系統(tǒng)對載荷激勵的響應

當M0=-400 N·m；M1=400 N·m；M2=1 500 N·m；ω0=65.97 rad/s，k0=0時，圖4～5給出了皮帶傳動系統(tǒng)對載荷激勵的穩(wěn)態(tài)響應曲線。

圖4 皮帶某點縱向振動的瞬時位移隨時間變化曲線

圖5 皮帶某點的瞬時速度隨時間變化曲線

由圖2～5可得以下結論：

(1) 系統(tǒng)轉速波動加劇了皮帶的縱向振動，影響了皮帶的瞬時位移與瞬時速度，皮帶的瞬時位移和速度出現(xiàn)劇烈波動；

(2) 與系統(tǒng)轉速波動激勵的響應相比，外載荷波動激勵對皮帶縱向振動產生較大的影響，皮帶的瞬時位移與瞬時速度不僅出現(xiàn)劇烈波動而且振幅較大。

5.3 系統(tǒng)對轉速與載荷激勵的響應

圖6 帶輪振動的瞬時位移隨時間變化曲線

圖7 帶輪瞬時轉速隨時間變化曲線

圖8 主從動帶輪的轉差隨時間變化曲線

當M0=-400 N·m；M1=400 N·m；M2=1 500 N·m；ω0=65.97 rad/s，k0=150 rad/s時，圖6和7給出了大小帶輪瞬時位移與瞬轉速隨時間變化曲線，圖8給出了傳動系統(tǒng)大小帶輪的轉差隨時間變化曲線由以上圖可知：

(1) 考慮帶輪的慣性質量對皮帶縱向振動的影響，帶輪的瞬時位移呈周期性波動，小帶輪的瞬時振動位移明顯大于大帶輪的瞬時振動位移；

(2) 帶輪的瞬時轉速呈周期性波動，小帶輪的瞬時速度高于大帶輪轉化到小帶輪處的瞬時等效轉速，說明大小帶輪之間存在瞬時轉差；

(3) 受皮帶縱向振動的影響，大小帶輪瞬時轉差呈現(xiàn)簡諧波動；當瞬時轉差為負值時，小帶輪被拖動；瞬時轉差的存在說明皮帶傳動系統(tǒng)瞬時傳動比不恒定，皮帶與帶輪之間存在滑差。

6 結 論

(1) 考慮帶輪慣性質量對皮帶縱向振動的影響建立了兩坐標系彈性體縱向振動的力學與數(shù)學模型。應用坐標變化法求解系統(tǒng)受迫振動的響應，仿真分析了轉速波動以及負載扭矩的波動對皮帶縱向振動的影響。該分析方法對帶輪附件驅動系統(tǒng)的動態(tài)特性的設計具有理論與實際意義；

(2) 轉速波動激勵與載荷波動激勵使得皮帶縱向振動的瞬時位移與瞬時速度出現(xiàn)周期波動；其振動幅值受到帶輪慣性質量的影響；

(3) 帶輪瞬時振動位移受其慣性質量的影響，慣性質量越小瞬時振動位移越大；帶輪瞬時轉差的存在說明皮帶瞬時傳動比不恒定，皮帶與帶輪之間存在相對滑動。

參考文獻：

[1] 董世民.抽油機井動態(tài)參數(shù)計算機仿真與系統(tǒng)優(yōu)化[M].北京:石油工業(yè)出版社, 2003．Dong Shimin.Couputer Simulation of Dynamic Parameters of Rod Pumping System and System Optimization[M]. Beijing: Petroleum Industry Press,2003.

[2] Musselman M, Djurdjanovic D. Tension monitoring in a belt-driven automated material handling system[J]. CIRP Journal of Manufacturing Science and Technology, 2012，(5): 67—76.

[3] Tan Feng Lee, An ChyauHuang. Vibration suppressioninbelt-drivenservosystemscontaininguncertain nonlineardynamics[J]. Journal of Soundand Vibration, 2011，(330): 17—26.

[4] Shirong Zhang, Xiaohua Xia. Optimal control of operation efficiency of belt conveyor systems[J]. Applied Energy, 2010, (87): 1 929—1 937.

[5] Jean-Philippe Gauthier, Philippe Micheau. A model based on experimental data for high speed steel belt CVT[J]. Mechanism and Machine Theory, 2010, (45): 1 733—1 744.

[6] Zhang ShaoJun, Wan Zhong, Liu GuangLian. Global optimization design method for maximizing the capacityof V-belt drive[J]. Science China Technological Sciences,2011：140—147.

[7] Shirong Zhang, Xiaohua Xia. Modeling and energy efficiency optimization of belt conveyors[J]. Applied Energy, 2011，(88): 3 061—3 071.

[8] Igor V. Andrianov, Wim T. van Horssen. On the transversal vibrations of a conveyor belt:Applicability of simplified models[J]. Journal of Sound and Vibration，2008，(313)：822—829.

[9] 羅善明, 余以道, 郭迎福，等.帶傳動理論與新型帶傳動[M]. 北京：國防工業(yè)出版社, 2006: 62—78．Luo Shanming, Yu Yidao, Guo Yingfu，et al. Theory of Belt Driving and New Belt Driving [M]. Beijing: National Defence Industry Press, 2006:62—78.

[10] 王小莉, 上官文斌, 花正明. 單根多楔帶傳動系統(tǒng)帶橫向振動的計算方法[J]. 振動工程學報，2010, 23(6)：604—615．Wang Xiaoli, Shangguan Wenbin, Hua Zhengming. A method for calculating belt transverse vibration in serpentine belt drive systems[J]. Journal of Vibration Engineering, 2010, 23(6): 604—615.

[11] Ulsoy Ag, Whitesel Je, Hooven Md. Design of belt-tensioner systems for dynamic stability[J]. Journal of Vibration Acoustics Stress and Reliability in Design，1985,107:282—290．

[12] 王紅云, 上官文斌, 張少飛. 阻尼多楔帶傳動系統(tǒng)建模及帶滑移控制分析[J]. 振動、測試與診斷, 2011, 31(1): 59—63.Wang Hongyun, Shangguan Wenbin, Zhang Shaofei. Model construction of serpentine belt drive systems with multi-ribbed belt damping and belt slipping control [J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2011, 31(1): 59—63．

[13] 上官文斌, 張智, 許秋海. 多楔帶傳動系統(tǒng)輪—帶振動的實測與計算方法研究[J]. 機械工程學報, 2011, 47(21): 28—36.Shangguan Wenbin, Zhang Zhi, Xu Qiuhai. Experiment and calculation method for pulley-belt vibrations in serpentine belt drive system[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47(21): 28—36．

[14] Hou Youfu, Meng Qingrui. Dynamic characteristics of conveyor belts[J].Journal of China University Mining & Technology, 2008, (18): 629—633．

[15] Gregor epon, Lionel Manin, Miha Boltezar. Introductionofdampingintotheflexiblemultibodybelt-drivemodel: Anumerical and experimental investigation[J]. Journal of Soundand Vibration, 2009, (324): 283—296.

[16] 邢明明, 董世民, 崔陽, 等. 游梁式抽油機皮帶傳動效率的仿真模型[J]. 工程力學, 2013,30(7): 242—247.Xing Mingming, Dong Shimin, Cui Yang, etal. Simulation model of transmission efficiency of the belt-driving systems of beam pumping units[J]. Engineering Mechanics, 2013, 30(7): 242—247.

[17] Dong Shimin, Xing Mingming. Simulating sliding efficiency of belt driving acted on by bi-directional alternating load [A]. Advanced Materials Research[C]. 2011, 308-310: 1 900—1 909.

[18] 邢明明, 董世民. 游梁式抽油機井皮帶滑動效率的仿真研究[J]. 中國機械工程,2013,24(2):245—251.Xing Mingming, Dong Shimin. Simulation of sliding efficiency for belt driving in beam pumping unit[J].China Mechanical Engineering, 2013, 24(2):245—251.

[19] Pravin M, Singru, Jayant P, Modak. Dynamics of arm of a flat belt drive pulley with explanationof belt flutter[J]. Journal of Sound and Vibration, 2005 (279): 1 037—1 070.